北京市第五十七中学2025-2026学年高三下学期考前自测数学试题

北京市第五十七中学2026届高三三模 数学试题 一、选择题，每题4分，共计40分． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若是奇函数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 3．已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，为右支上一点．若的一条渐近线方程为，则（ ） A． B． C． D． 5．已知等差数列与等比数列的首项均为-3，且，，则数列（ ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 6．已知直线：与直线：的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，无零点”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度（单位：，记作[]）和氢氧根离子的物质的量浓度（单位：，记作[]）的乘积等于常数．已知值的定义为，健康人体血液值在区间内，则健康人体血液中的可以为（ ）（参考数据：，） A．5 B．7 C．9 D．10 10．已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：每题5分，共计25分． 11．已知复数，则________，其中复数的虚部=________． 12．在的展开式中，若二项式系数的和等于64，则________，此时的系数是________．（用数字作答） 13．若点关于轴对称点为，写出的一个取值为________． 14．已知点是边长为4的正方形的中心，点是正方形所在平面内一点，，若．（1）的取值范围是________．（2）当取得最大值时，________． 15．已知函数给出下列四个结论： ①若有最小值，则的取值范围是； ②当时，若无实根，则的取值范围是； ③当时，不等式的解集为； ④当时，若存在，满足，则．其中所有正确结论的序号为________． 三、解答题：共计6道题目，总分85分． 16．（本小题13分）在中，． （1）求的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长． 条件①：的面积为；条件②：；条件③：． 17．（本小题14分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，是棱的中点，在棱上，且平面． （Ⅰ）求证：是棱的中点； （Ⅱ）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：平面平面；条件②：． 18．（本小题13分）某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电桩（每个充电桩只支持一种充电方式）．该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从中随机抽取1000个，记录并整理数据如下表： 不超过5次 超过5次 慢充 140 60 快充 200 400 超级快充 60 140 （1）从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用不超过5次的概率； （2）假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为10元、10元、30元．从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取2个，设为抽取的2个充电桩的日均维护费用之和，求的分布列和数学期望； （3）电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种，已知该公司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为7∶3．在日均使用不超过5次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为；在日均使用超过5次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为0.75．试比较与0.75的大小．（结论不要求证明） 19．（本小题15分）已知椭圆：（）的左顶点为，圆：经过椭圆的上、下顶点． （Ⅰ）求椭圆的方程和焦距； （Ⅱ）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，不在坐标轴上），且直线与轴平行，线段的垂直平分线与轴交于点，圆在点处的切线与轴交于点．求线段长度的最小值． 20．（本小题15分）已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）若，求的单调区间； （3）若，且（），证明：． 21．（本小题15分）已知数列，的项数均为（），且，，，的前项和分别为，，并规定．对于，定义，其中，表示数集中最大的数． （1）若，，，，，，求，，，的值； （2）若，且，，求； （3）证明：存在，，，，满足，，使得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第五十七中学2026届高三三模 数学试题答案 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C B C A D A B B D 二、填空题： 11． 12．6 135 13． 14．， 15．②③④ 三、解答题： 16．【小问1详解】 由正弦定理及， 得．① 2分 因为， 所以．② 4分 由①②得． 因为，所以． 所以． 5分 因为， 所以． 6分 【小问2详解】 选①，的面积为， 即，即，解得， 因为，由余弦定理得， 即，解得， 由基本不等式得，但， 故此时三角形不存在，不能选①， 选条件②：． 由（1）知，． 7分 所以 8分 ． 9分 所以． 因为，所以． 所以，即． 10分 所以是以为斜边的直角三角形． 因为， 11分 所以． 12分 所以边上的中线的长为． 13分 选条件③：． 由余弦定理得，即． 8分 设边上的中线长为，由余弦定理得 ． 13分 所以边上的中线的长为1． 17．解：（Ⅰ）取中点，连接，． 因为，分别是，的中点．所以． 因为，所以， 1分 所以四点、、、确定平面． 2分 因为平面，平面，平面平面， 所以． 4分 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以．所以是的中点． （Ⅱ）选条件①： 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面． 因为平面，所以． 8分 选条件②： 因为，，， 所以，所以． 因为，，，平面，， 所以平面． 因为平面，所以． 8分 则有，，两两垂直，建系如图． ，，，，． 设平面的一个法向量为 ，，， 10分 ，令，则，． 即． 12分 平面的一个法向量为． 则． 14分 由于平面与平面夹角为锐角，所以其余弦值为． 18．【小问1详解】 随机抽取1000个充电桩中，日均使用次数不超过5次的有：个， 设事件：“从该公司运营的所有电动车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用不超过5次”， 则． 4分 【小问2详解】 设事件：“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，其所需维护费用为10元”， 依题意可得，，， 6分 随机变量的所有可能取值有20、40、60， 7分 ，，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 20 40 60 故． 10分 【小问3详解】 快充充电桩共600个，公用和专用充电桩数量之比为7∶3，故公用充电桩的个数为， 日均使用超过5次的快充充电桩的个数为400个，其中公用占比为0.75， 故公用充电桩的个数为， 日均使用不超过5次的快充充电桩的个数为200个， 设公用占比为，则公用充电桩的个数为， 由题意可得，解得，故． 13分 19．解：（Ⅰ）由题意，，， 所求椭圆方程为． 因为， 所以焦距． 4分 （Ⅱ）设（）且． 由题意，设（）且． 因为，所以线段的中点为． 6分 又直线的斜率为， 7分 所以线段的中垂线的斜率为． 8分 故线段的中垂线方程为． 令，得． 9分 由，可得， 代入上式，得， 10分 所以． 因为直线的斜率为， 所以圆在点处的切线斜率为． 11分 所以切线方程为． 令得， 所以． 12分 所以线段长度 ． 14分 （当且仅当，即时等号成立） 所以线段长度的最小值为． 15分 20．解：【详解】（1）由，所以，． 1分 所以， 2分 又， 3分 所以曲线在处的切线方程为， 即． 4分 （2）由，定义域为， ． 5分 令得或（）． 6分 因为，所以． 所以， 列表： 0 - 0 + 0 - 递减 递增 递减 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 9分 （3）因为， 又，（）， 所以，是方程的两个根． 依题意，有， 10分 所以，即， 11分 所以 ， 12分 令，则， 令，则． 因为，所以， 13分 所以在上是增函数， 所以，所以在为减函数， 14分 所以，即． 15分 21．（本小题15分） 【详解】（1）由题意可知：，，，，，，，， 当时，则，，，故； 当时，则，，，，故； 当时，则，，，，故； 当时，则，，，故； 综上所述：，，，． 4分 （2）由题意可知：，且， 因为，，则，，当且仅当时，等号成立， 所以，， 又因为，则，即， 可得， 反证：假设满足的最小正整数为， 当时，则；当时，则， 则， 又因为，则， 假设不成立，故， 即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以，． 9分 （3）（ⅰ）若，构建，，由题意可得：，且为整数， 反证，假设存在正整数，使得， 则，，可得， 这与相矛盾，故对任意，，均有． ①若存在正整数，使得，即， 可取，，，使得； ②若不存在正整数，使得， 因为，且， 所以必存在，使得， 即，可得， 可取，，，，使得： （ⅱ）若，构建，，由题意可得：，且为整数， 反证，假设存在正整数，使得， 则，，可得， 这与相矛盾，故对任意，，均有． ①若存在正整数，使得，即， 可取，，，使得： ②若不存在正整数，使得， 因为，且， 所以必存在，使得， 即，可得， 可取，，，，使得； 综上所述：存在，使得． 15分 学科网（北京）股份有限公司 $