3.3探索与表达规律（课件）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“探索与表达规律”，涵盖数字、图形、算式规律及“列举-观察-猜想-验证-列式”解题步骤。通过日历情境导入，从套色方框9个数之和与中间数关系切入，延伸至十字形、H形框规律探究，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如日历规律用字母a推导体现抽象能力和推理意识，图形规律题培养几何直观。采用情境探究、分层练习，学生能提升规律归纳与符号表达能力，教师可获得系统教学资源与多样化例题，提高教学效率。

北师大版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月2日 3.3探索与表达规律 第三章 整式及其加减 北师大版七年级上册数学3.3探索与表达规律练习题 一、本节核心知识点 1. 核心思想：通过观察、对比、归纳一组数字或图形的变化特征，找出变化规律，并用代数式表示通用规律。 2. 常见规律类型 （1）数字规律：等差规律、奇偶规律、正负交替规律、平方/倍数规律； （2）图形规律：图形个数、边长、数量随序数变化的规律； （3）算式规律：一组等式呈现的固定运算规律。 3. 解题通用步骤 ①列举：写出前3–5组对应数据；②观察：对比相邻数据的差、倍数、符号变化；③猜想：归纳通用变化规律；④验证：代入序号检验规律是否成立；⑤列式：用含n（n为正整数）的代数式表示规律。 4. 高频易错点 正负交替规律遗漏符号、序数对应错误、规律只适用于前几项、代数式化简不彻底。 二、同步练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 数列：2，4，6，8，10……第n个数是（） A. $$n$$ B. $$2n$$ C. $$n+1$$ D. $$2n+1$$ 2. 数列：1，3，5，7，9……第n个数是（） A. $$2n$$ B. $$2n-1$$ C. $$2n+1$$ D. $$n+2$$ 3. 数列：1，4，9，16，25……第n个数是（） A. $$n^2$$ B. $$2n$$ C.$$n+3$$ D. $$n^2-1$$ 4. 正负交替数列：-1，1，-1，1……第n个数的符号规律是（） A. 恒正 B. 恒负 C. $$(-1)^n$$ D. 无规律 5. 数列：2，5，8，11……相邻两个数的差为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 一组数：1，2，4，8，16……规律为（） A. 等差规律 B. 倍数规律 C. 递减规律 D. 无规律 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 探索规律的最终目的是用________表示通用变化规律。 2. 数列：3，6，9，12……第n个数为________。 3. 数列：2，5，8，11……第n个数为________。 4. 正负数列：1，-2，3，-4……第n个数符号为________。 5. 数列：0，3，8，15……第n个数为$$n^2-1$$，则第10个数是________。 6. 图形规律解题关键是找准________与图形数量的对应关系。 三、判断题（每题3分，共18分） 1. 所有数列规律都可以用代数式表示。（） 2. 数列1，3，5，7…第n个数是$$2n-1$$。（） 3. 规律总结只需看前2项即可。（） 4. $$(-1)^n$$可表示正负交替的数列符号。（） 5. 数列2，4，7，11是等差规律。（） 6. 找到规律后需要代入验证是否成立。（） 四、解答题（共34分） 1.（16分）观察下列数列，写出第n项的代数式： （1）4，8，12，16…… （2）1，4，7，10…… （3）2，5，10，17…… （4）-2，4，-6，8…… 2.（10分）观察算式规律：$$1\times3+1=4$$，$$2\times4+1=9$$，$$3\times5+1=16$$，写出第n个等式。 3.（8分）简述探索数字与图形规律的解题步骤。 三、参考答案 一、选择题 1.B 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 二、填空题 1. 代数式 2. $$3n$$ 3. $$3n-1$$ 4. $$(-1)^{n+1}$$5. 99 6. 序数n 三、判断题 1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.× 6.√ 四、解答题 1.（1）$$4n$$ （2）$$3n-2$$ （3）$$n^2+1$$ （4）$$(-1)^n\cdot2n$$ 2. 第n个等式：$$n(n+2)+1=(n+1)^2$$ 3. ①列举前几组数据，观察变化特征；②分析相邻数据的差、倍数、符号变化；③归纳猜想通用规律；④代入数值验证规律；⑤用含n的代数式表示最终规律。 经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过计算验证规律的过程 在活动中发展观察、合作、交流等能力，认识探索规律的必要性，体会数学学习的乐趣。 情境引入 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 你说我猜： 探索新知 日历中的数学规律 探究点1 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 观察如图所示的日历图，回答下列问题： 问题1 (1)日历图中的数有什么规律？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (2) 日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ 套色方框九个数之和=9×正中间的数。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ 成立 a–6 a+8 a–1 a+7 a+1 a–7 a a–8 a+6 a-8+a-7+a-6-a-1+a+a+1+a+6+a+7+a+8=9a 。 设正中间的数为a，则月历中数的排列规律： 所以这9个数的和为正中间的数的9倍。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？请用代数式表示。 (1) 在问题1的日历图中，能否使框中9个数的和为144？180 呢？为什么？ 问题2 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 可以为144，不可以为180。 (2) 在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号? 这个月的第一个星期日是2号。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)如图，如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？如果改为 H 形框呢？它们有什么共同规律？ 问题3 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 十字形框中五个数之和=5×正中间的数， H 形框中七个数之和=7×正中间的数。 共同规律： 框住的几个数的平均数，都等于正中间的数。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (2)你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗？ W形框 X形框 1. 一组数 ， ， ， ，…，按一定规律排列着， 请你根据排列规律，推测这组数的第n个数应为(　B) A. B. C. D. B 2. 按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4， 16a5，25a6，…，第n个单项式是(　A　) A. n2an＋1 B. n2an－1 C. nnan＋1 D. (n＋1)2an A 随堂练习 3. 用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆 下去，则摆第n个“口”字需用棋子(　A　) A. 4n枚 B. (4n－4)枚 C. (4n＋4)枚 D. n2枚 A 随堂练习 4. 如图，用灰、白两色正方形瓷砖铺设地面，第n 个图案中白色瓷砖块数为 块(用含n的 代数式表示). (3n＋2)　 随堂练习 5. 观察下面的几个算式： 1＋2＋1＝4； 1＋2＋3＋2＋1＝9； 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16； 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25. 根据上面几道题的规律，计算下面的题： (1)1＋2＋3＋…＋9＋…＋3＋2＋1＝ ⁠； (2)用含n的代数式表示以上规律：1＋2＋3＋…＋n ＋…＋3＋2＋1＝ ⁠； 81　 n2　 随堂练习 1. ［2025泸州月考］按一定规律排列的单项式：2， ， ,,， ，则第 个单项式是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 19 2. 计算3的正整数次幂：； ； ；；；； ； ； ，归纳各计算结果中的个位数字规律，可得 的个位数字为( ) B A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 返回 考试考法 20 3. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按 一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈， 第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个 小圆圈， ，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数 为( ) D A. 64 B. 77 C. 80 D. 85 返回 考试考法 21 4. 中国古代算筹计数法可追溯到公元前5世纪， 算筹（小棍形状的记数工具）有纵式和横式两种摆法 （如图）.计数方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千 位为横， ，这样纵横依次交替，零以空格表示，则 “ ”所表示的数是( ) C A. 402 B. 411 C. 398 D. 389 返回 考试考法 22 5. 若一个自然数能表示为相邻两个自然数的 平方差，则称这个自然数为“智慧数”.比如： ，3 就是“智慧数”.从0开始，不大于2 026的“智慧数”共有( ) B A. 1 010个 B. 1 013个 C. 1 012个 D. 以上都不对 返回 考试考法 23 （第6题） 6. ［2024绵阳］如图，将全体正偶数 排成一个三角数阵，从上向下数有无数 多行，其中第一行有1个数为2，第二行 有2个数为4，6， ，第行有 个数…. 探究其中规律，你认为第 行从左至右 第3个数不可能是( ) C A. 36 B. 96 C. 226 D. 426 返回 考试考法 24 7. 数学是将科学现象升华到科学本质认识的 重要工具，比如在化学中，甲烷的化学式是 ，乙烷的化 学式是，丙烷的化学式是， ，设碳原子的数目 为为正整数 ，则它们的化学式都可用下列哪个式子来表 示？( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 25 （第8题） 8. ［2025济南历下区期末］如图，在 边长为1的正方形网格纸中连接相邻格 点构造“回形线”，“回形线”交射线 于 点，，， ，.从点到点 的“回形线” 记 为第1圈，其长度为7，从点到点 的 D A. 99 B. 144 C. 480 D. 799 “回形线”记为第2圈，其长度为15， , 依次类推，则“回形 线”第 圈的长度有可能是( ) 考试考法 26 知识结构 基本策略：观察横行、竖列、斜列上各数之间的数量关系 通性通法： 观察 基本策略：用代数式表示数，按算法规律得到结果 通性通法： 发现规律 表示规律 揭示规律 探索与表达规律 日历图中数的规律 数学游戏中的规律解释 猜想 归纳 验证 $