河南清华附中郑州学校2025-2026学年高二下学期第三次学情调研数学试卷

**基本信息** 聚焦高二核心知识，融合能源数据、国防竞赛等现实情境，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|向量垂直、椭圆方程、等比数列求和等|基础概念与运算结合，如第5题条件概率考查数学思维| |多选题|3|正态分布、排列组合、函数极值|选项分层设计，如第10题排列问题覆盖相邻与不相邻情境| |填空题|3|线性回归预测、条件概率、随机游走|第14题质点移动结合概率模型，体现数学眼光| |解答题|5|数列通项与求和、二项式定理、线性回归（能源数据）、概率统计（国防竞赛）、导数应用|17题能源发电量回归分析具时代性，18题国防竞赛概率考查数据应用能力，突出数学语言表达|

高二下期学情调研试题 数学 一、单选题 1．已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 3．已知等比数列的前4项和为30，且，则（    ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（    ） A．15 B．45 C．135 D．405 5．一个盒子里有6只好的晶体管、4只坏的晶体管，任取两次，每次取一只晶体管，每一次取后不放回，在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 7．已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（   ） A． B． C． D．无法确定 二、多选题 9．已知随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 10．羽毛球比赛结束后，4名选手和甲、乙两名裁判站成一排拍照留念，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙相邻的排法有480种 B．甲、乙不相邻的排法有480种 C．甲在乙的右边（可以不相邻）的排法有360种 D．甲不在排头，且乙不在排尾的排法有504种 11．已知函数，是的一个极值点，则（   ） A． B．若方程只有一个解，则 C．的图象关于点对称 D．对 三、填空题 12．通过市场调查，得到某种产品的资金投入x(单位:万元)与获得的利润y(单位:万元)的数据，如表1所示: 表 1 资金投入x 2 3 4 5 6 利润y 0.4 0.6 1 1.2 1.8 根据表格提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程为，现投入资金15万元，求获得利润的估计值（单位：万元）为_____________. 13．盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是_____． 14．如图1，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大． 图 1 四、解答题 15．已知数列的前项和为，且；等差数列满足;； (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 16．已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比为． (1)求的值； (2)若展开式的第项是有理项，求的取值集合； (3)记展开式中所有奇数项的系数之和为，偶数项的系数之和为，求． 17．2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 表 2 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 图 2 (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 18．为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛． (1)已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为． （i）求的分布列及其数学期望； （ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望． 19．已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明： 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下期学情调研试题答案 数学 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C C B A A ABD BCD 题号 11 答案 BCD 1．【详解】已知向量，，则，，，由与互相垂直， 则，解得 2．【详解】抛物线的焦点为， 双曲线的焦点为， 所以，又，则，所以椭圆方程为. 3．【详解】设等比数列的公比为，依题意，，而，解得， 数列的前4项和为，即，解得，所以. 4．【详解】解：对于，令，可得各项系数和为，又二项式系数和为， 所以，解得，所以展开式的通项为，令，解得，所以； 5．【详解】设事件=“第一次取到好晶体管”，事件=“第二次取到好晶体管”，所求为， 由题意：，，. 即在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为. 6．【详解】对求导得，当时，，， 曲线在处的切线方程为. 设切线与相切于点，对求导得， 由切线斜率为得，解得，将切点代入切线方程得，解得. 7．【详解】直线，由，得， 显然无论取什么实数，直线都过点，将化为标准形式，因为，所以点在圆内，而圆的圆心，由圆的性质知，当时，弦AB的长取最小值，又直线的斜率，所以. 8．【详解】注意到，，均在直线上．故， 而不在该直线上，即四点不共线，故．于是． 9．【详解】由，则，故A正确；因为，所以，所以，故B正确；，故C错误；由方差性质，，故D正确. 10．【详解】对于A，当甲、乙相邻时，将甲、乙捆绑在一起，其排法数共有种排法，故A错误；对于B，将4名选手全排列，再将甲、乙二人插入4名选手产生的5个空中，共有种排法，故B正确；对于C，因为甲在乙的右边与甲在乙的左边各占全排列的一半，所以甲在乙的右边共有种排法，故C正确；对于D，当甲排在排尾时，乙自然不在排尾，此时有种排法； 当甲不排在排尾时，甲只能排在中间4个位置中的一个，乙只能排在除排尾和甲所占的位置剩下的4个位置中的一个，其余的人全排列，共有种排法， 所以一共有种排法，故D正确. 11．【详解】求导得 ， 由题意得，解得或，由得，故A错误； 令，得或，当时，，所以函数单调递增， 当时，，所以函数递减，当时，，所以函数递增. 所以的极大值为，的极小值为. 为三次函数，要使只有一个解，只需的极小值或的极大值.所以或，故B正确；因为函数，所以， ，故，则的图象关于点对称，故C正确；易知，则， 即 恒成立，故D 正确. 12．【详解】由表中数据可得，所以过点，代入可得，所以，当时，，即获得利润大约为万元. 13．【详解】从盒中任取1球，是红球记为，黑球记为，白球记为， 则，，彼此互斥，设第二次抽出的是红球记为事件B， 则，，，，，， . 14．【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数，即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得，即，且，则时，最大，则质点最终的位置为. 15．(1)，； (2) 【详解】（1）由已知，当时，，即，． 当时，，，两式相减，得，即，，∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列，∴数列的通项公式为．；；，设等差数列的公差为，则,所以； （2）由第（1）问，，∴设，① ①，得，，② ∴①-②，得， . 16．(1) (2) (3) 【详解】（1）展开式的通项公式为， 由题意得，即，解得. （2）由（1）得展开式的第项为，所以由题意得且，解得，所以的取值集合为. （3）由（1）得展开式的第项为， 所以，，设多项式，其系数，则，， 令，则，令，则，所以. 17．(1)，可用线性回归模型拟合与的关系 (2)，（万亿千瓦时） 【详解】（1）因为，所以， 所以， 故可用线性回归模型拟合与的关系； （2）， 则，则经验回归方程为， 令，则，故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时） 18．(1)（i）分布列见解析，2；（ii） (2)244.8元 【详解】（1）（i）由题意可知：的可能取值有1，2，3， 则；；； 所以的分布列为 X 1 2 3 P 且的期望； （ii）由条件概率公式得. （2）设“选手乙获得的奖金”为随机变量Y，则的可能取值为0，100，200，600， 则；； ；； 所以， 所以乙获得的奖金的数学期望为244.8元. 19．(1) (2)证明见解析 【详解】（1）∵在上是减函数， ∴在定义域上恒成立，∴，设，则，由，得，由，得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴．∴．故实数m的取值范围是． （2）由（1）知，∵函数在上存在两个极值点，，且， 则由，两式相加、相减分别可得与， ∴，∴， 设，则，要证， 只需证，只需证，只需证， 构造函数，则， ∴在上单调递增， ∴，即，∴． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $