河南信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高二下学期04月测试（二）数学试题

**基本信息** 结合白舍窑茶杯（文化传承）、机器学习闵氏距离（科技前沿）等情境，通过数列、立体几何翻折、椭圆定点探究等综合题，梯度考查数学眼光、思维与语言，适配高二下期月考能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数单调性、充要条件|符号函数结合充要条件考查逻辑推理| |多选题|3/18|等差数列、函数零点、正三棱台|正三棱台轨迹问题融合空间想象| |填空题|3/15|排列组合、函数零点、闵氏距离|机器学习距离模型体现应用意识| |解答题|5/77|解三角形、数列、立体几何翻折、函数导数、椭圆|翻折问题与椭圆定点探究考查综合能力|

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二下期04月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．已知符号函数则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知等比数列的前n项和为，若，，则公比（    ） A．－2 B．2 C． D． 6．白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（    ）（单位：） A． B． C． D． 7．如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线和圆，点F是抛物线C的焦点，圆M上的两点满足，，其中O是坐标原点，动点P在圆M上运动，则点P到直线AB的最大距离为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知等差数列的公差，前n项和为，若，，成等比数列，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．若函数有且只有两个正零点，则（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，为上一点，且，则下列结论正确的有（   ） A．正三棱台的高为 B．点的轨迹长度为 C．高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内 D．过点，，的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.恰好有一个空盒，有____种放法. 13．设函数在上恰有两个零点，则__________. 14．作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 16．（15分）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 17．（15分）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．    (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（17分）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）已知的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于､两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)①求证：直线必过定点，并求定点的坐标. ②点为坐标原点，求面积的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二下期04月测试（二) 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D 0 B 0 B ABD BCD BCD 12.144 14.2 13. 子我 15.4-号 (2)4√5 【分析】(1)由余弦定理及三角形的面积公式求解. (2)由1)知，6c=12,而6=25,4=骨，得8C为等边三角形，即可求解。 【详解】(1)由余弦定理得b2+c2-a2=2bcc0sA, 因为b2+c2-a2=12,所以bcc0sA=6. 由三角形面积公式得S=bcsin4, 2 又因为S=3V3,所以besinA=6V3, 所以tanA= esinA=√5， bccosA 因为4e(0,所以A=骨 (2)由(1)知，bcsin元=65，得bc=12, 3 而6=25，得c-25,又4=骨 得ABC为等边三角形，得a=25, 故a+c=4V5 16.(1)证明见解析 (2)2n2+3n 【分析】(1)先根据等差中项列式，再根据完全平方公式计算化简，由定义得出等差数列： (2)先写出等差数列的通项公式，再应用{b}的分组求和得出T,.即可. 【详解】(1)因为√S是1-Sn与S+1的等差中项，所以2√S1=1-Sn+S, 所以Sn=1+S1-2√S=(VSn1-1°， 因为数列an}的各项均为正数，所以Sn>0, 所以VSn=VS-l,所以VSn-√Sn=l, 所以数列{√Sn}是公差为1，首项为√S,=√a,=1的等差数列： (2)因为数列{S}是公差为1，首项为√S=1的等差数列， 所以VSn=1+(n-l)×1=n, 所以Sn=n2,当n=1时，a1=1, 当n22时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 所以an=2n-1, 所以bn=(-1)“(Sn+an）, T2n=-S,-a1+S2+a2-S3-a3+S4+a4+…+S2n+a2n =(S2-S,）+(S4-S,)+…+(S2n-Sm-)-(a1-a2+…-a2n =a2+a4+…+a2n-（a1-a2+…-a2n =-(a1+a3+…+am-i+2(a2+a4+…+a2n =-na+a-+2xna,+a,n】 2 2 =-n1+4n-3 +2xn3+4n-1) 2 2 =-n(2n-1）+n(4n+2）=2n2+3n 17.(1)证明见解析 2存在点N,此时BN=1 BC4 【分析】(1)利用余弦定理和勾股定理可证明CD⊥平面ABD,再由线面垂直的性质即可得 CD⊥AB: (2)以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得结果. 2 【详解】(1)因为AD1IBC,且BC=2AD=2AB=2V2,AB⊥BC, 可得AD=AB=√2，BD=√AB2+AD2=2, 又因为∠DBC=∠4DB=45°，可得CD=22+(22-2x2x2V2s45°=2， 所以BD2+DC2=BC2,则CD1BD, 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABDO平面BCD=BD,且CDC平面BCD, 所以CD⊥平面ABD, 又因为ABC平面ABD, 所以CD⊥AB; (2)因为CD⊥平面ABD,且BDC平面ABD,所以CD⊥BD, 如图所示，以点D为原点，建立空间直角坐标系， B C 可得A1,0,1,B(2,0,0),C0,2,0),D(0,0,0), 所以CD=(0,-2,0),AD=(-1,0,-1. [i.CD=-2y=0 设平面ACD的法向量为元=(x,y,z),则 元·AD=-x-z=0 令x=1,可得y=0,z=-1,所以i=(1,0,-1, 假设存在点N，,使得AN与平面ACD所成角为60， 设BN=1BC,(其中0≤元≤1)，则N(2-22,2元，0)，AN=(1-2元，2元，-1， n.AN 1-22+1 所以sin60° 5 aN1-2+222+-12x22' 整理得82+2以-1=0，解得元=或=分〔舍去)。 所以在线段BC上存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60°，此时 BN 1 BC-41 18.(1)函数定义域为x>0,求导得fx)=1nx+1-a' 当0<x<e时，y<0'f刘单调递减， 当x>e时，f>0'f(刘单调递增， 六单调递减区间为0.e,单调遍增区间为c,+n” (2)由f(x)≥0对任意x>0恒成立，得 1 a≤lnx+ x ,1,则 g(x)=Inx+ 8(x=-1: 当0<x<1时，gx<0'g单调递减， 当x>1时，g(x>0'g)单调递塔， “g(xm=g(1四=1' …a≤1 19.0 43 a0证明见解新A小：® 4 【分折】1)椭图C:三+茶=1的上顶点到右项点的卸离为万，离心幸为5，列出方程 y2 a2 求解a,b,得到椭圆的标准方程。 (2)①设直线MN方程x=my-1,M(x,y),N(x2,y,),E(-4,y,),联立直线与椭圆方程，利 用韦达定理求解直线EN方程，然后得到定点坐标. ②由①中△=144m2+1>0,利用弦长公式，求解三角形的面积表达式，然后求解最大值 即可 Va2+b2=万 【详解】(1)由题意可得 c I ,解得a=2,b=V3, a 2 a2=b2+c2 故椭圆C的标准方程为兰+ 2 =1. 43 (2)①证明：由题意知，结合对称性可知点P在x轴上，又F(-1,0), 设直线MN方程：x=y-1,设M(x,y),N(x2,2),E(-4,y), x=my-1 联立方程父+上=1得(3m+4产-6mv-9=0, -=1 43 6m -9 2 所以y+%3m+4'%3m+4所以%+为=专， 又发治，所以直线EN方程为：-为=气4x+4, x2+4 空0则4飞+44m+现42仍+/+3列 y2-y y2-乃 y2-片 42山切 35 =-4+ y2-y 22 所以直线E过定点P利 ②由①中△=144m2+1>0,所以meR, 又y-y=Vy+}2-4yy2= 12√m2+1 3m2+4 8a0m- 令1=m+1≥1，则f利=15 31, 令g0=+g10=3-,当121时，g四20， 故s回=3++上单调递塔，测=15 3中在，+)上单调递减， 岛 ,1在[1，+oo)上单调递减， 5 15 所以1=1时，(Soew)x= 4 6