山西运城市康杰中学2026届高三下学期冲刺模拟（六）数学试题

康杰中学2026届冲刺模拟卷（六）数学 参考答案 1．A 2．C 3．C 4．A 5．B 6．B 7．A 8．B 9．AC 10．ACD 11．AC 12． 13． 14．1或 15．（1）令，则，，， 2分 通过上表计算可得：， 4分 因为回归直线过点，所以， 6分 故关于的回归方程； 7分 （2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天，所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3，；；； 11分 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的期望值， 13分 16．（1）因为， 所以，即， 3分 由正弦定理可得：，所以， 5分 由于，故． 6分 （2）因为为中点，所以，则， 8分 所以，即，解得或（舍）， 10分 由余弦定理知，，所以， 12分 所以，则，所以， 14分 所以． 15分 17．（1）证明：因为底面是正方形，所以， 又，，，平面，所以平面， 2分 又平面，所以平面平面． 4分 （2）设交于点，过作，垂足为点，因为平面平面，平面平面，所以平面，又，，，所以，所以， 所以，所以，以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 6分 在，，所以， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 由得，取，得 ， 7分 设平面的法向量为， 由得，取，得， 8分 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 10分 （3）连接，由（2）知，又为的中点，所以， 又，所以， 12分 所以四棱锥的所有顶点在球的球面上，所以球的半径， 13分 所以球的体积． 15分 18．（1）由题意得在区间内有解， 1分 令，则，可得， 所以在区间内单调递减 3分 因为，， 5分 为了满足在区间内有零点，则必有，解得， 故的取值范围是． 7分 （2）证明：由（1）知时，，在区间上单调递增，当时，， 因为，所以在区间内有唯一零点． 9分 因为，所以由（1）知在区间内有解， 可知在区间内先增后减，又因为，， 所以在区间内不存在零点． 10分 当时，令，则， 所以在区间内单调递增， 11分 又因为，， 所以存在唯一，使得，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，因为，所以，又，所以存在唯一，使得，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 因为，， 所以存在唯一，使得． 14分 当时，，单调递增，又因为，， 所以根据零点存在定理，在时仅有1个零点． 16分 综上，当时，在区间内有且仅有3个零点． 17分 19．（1）在空间中，到直线的距离为1的点的轨迹是以直线为轴，底面半径为1的圆柱形曲面，平面截该圆柱形曲面形成椭圆，设椭圆的方程为， 由题意知，椭圆的短半轴长为， 2分 由直线与平面所成的角为，知椭圆的长轴长为， 4分 所以椭圆的方程为； 5分 （2）（ⅰ）因为椭圆关于轴对称，过点的任意一条直线均有一条直线与之关于轴对称， 所以以为直径的任意一个圆都存在另一个圆与之关于轴对称， 所以为直径的圆过定点，则由对称性可知该定点必在轴上，设为点， 若直线的斜率存在，设其方程为，点，， 联立，消去化简可得， 所以，， 7分 由得， ， 8分 即，即， 所以，故以为直径的圆过 9分 若直线斜率不存在，以为直径的圆显然过， 10分 综上，以为直径的圆过定点； 11分 （ⅱ）由（ⅰ）知，，所以，， 12分 因为，所以，即， 也即， 13分 所以，取线段中点为，则， 因为，所以点的坐标为， 14分 当时，，符合题意， 15分 当时，，则，解得． 16分 综上，或，即直线的斜率为或． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 康杰中学2026届冲刺模拟卷（六） 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．若集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的最大值为（ ） A．1 B．2 C．5 D．6 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为，众数为，平均数为，则（ ） A． B． C． D． 5．已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知数列的各项均为整数，，，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则（ ） A．8 B．16 C．64 D．128 7．设，，，则（ ） A． B． C． D． 8．若椭圆上存在点，使得点到椭圆的两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”，则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的是（ ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆锥展开图中圆心角为 D．若，一只蚂蚁沿着表面从爬到则最短距离为 10．将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（ ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．当且仅当 D．若方程在区间上有两个不等实根，则 11．定义：在一个任何一项都不为0的数列中，从第一项开始，连续三项的积都为同一个常数，称这个数列为类等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知类等积数列的前项和为，且，，，则（ ） A． B． C．公积为3 D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，满足，，，则_______________． 13．小王到某公司面试，一共要回答3道题，每道题答对得2分，答错减1分，设他每道题答对的概率均为（），且每道题答对与否相互独立，记小王答完3道题的总得分为，则当取得最大值时，______________． 14．若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：（）与（天）之间近似满足关系式，其中，均为常数． （1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； （2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：令，，，，，，，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 16．（15分）中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若，为中点，，求． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）四棱锥的所有顶点都在同一球面上，求该球的体积． 18．（17分）已知函数． （1）若在区间内存在极值点，求的取值范围； （2）证明：当时，在区间内有且仅有个零点． 19．（17分）已知直线与平面所成的角为，动点在平面内，如果点到直线的距离总是，则点的轨迹为椭圆，如图所示．以该椭圆的中心为坐标原点，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求椭圆的方程； （2）点，过点的直线交于，两点． （ⅰ）求证：以为直径的圆过定点； （ⅱ）当直线的斜率存在时，记的外接圆和内切圆的半径分别为，，且，求直线的斜率． 学科网（北京）股份有限公司 $