精品解析：2026年安徽合肥市第四十二中学 九年级第三次绿色评价数学试卷

2026九年级三模绿色评价数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数与互为倒数的是（ ） A. B. C. D. 2. 北京国际车展上，芯擎科技正式发布了纳米车规级舱驾融合芯片“龍鹰二号”，该芯片计划于年第一季度启动适配工作．已知纳米米，因此纳米用科学记数法可表示为米，则，的值分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 3. 下列几何体均是由四个大小相同的小正方体搭建而成的，其主视图与左视图的面积和最大的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的正实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是半圆的直径，为半圆弧上一点，已知，则长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知、是一次函数图象上的两点，若，且，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 8. 如图，中，，，为中线，分别以为圆心，适当长为半径画弧，两弧相交于点、，直线交于点，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数、满足，且，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，为边的中点，连接，为正方形内一点，且满足，点为边的中点，连接、，若，则下列结论正确的是（ ） A. 长最小为 B. 最小为 C. 最小为 D. 最小为 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集是_____． 12. 某校开展“能源知识大闯关”活动．老师拿出背面完全一样的四张卡片，正面分别写着：铜、铁、橡胶、塑料．已知铜和铁属于导体，橡胶和塑料属于绝缘体．若老师将这四张卡片背面朝上，随机抽取两张进行相关知识提问，则抽到的两张卡片恰好是一张导体和一张绝缘体的概率是________． 13. 如图，点为反比例函数图象上一点，为轴上两点，连接并延长交轴于点，连接，，已知，且，则的值为________． 14. 我们规定：用方括号括起来的若干实数称为“数集”，例如：就是一个数集，其中的实数具有互异性和无序性，即任意两个实数互不相等，且改变它们排列顺序后，所得数集仍与原数集相同．如：．已知数集，数集，且． （1）若、为非负数，则________； （2）若、为任意实数，则所有可能值的和为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 某款纯电动汽车的充电数据为：家用慢充每小时可补充续航；快充每15分钟可补充续航．若该车需要用慢充和快充配合（两种充电方式不可同时进行），总共充电小时，恰好使总续航增加，且充电方式切换的时间忽略不计，求慢充的时间． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，是由若干个小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A、B、为格点，为格点，P为边上任一点，仅用无刻度直尺在网格中完成如下问题： （1）画出关于点的中心对称图形； （2）在线段上确定一点，使，保留作图痕迹，无需证明． 18. 某商场准备从一楼到三楼加装一部手扶电梯，已知每层楼高均为米，如图，为一楼平台，从处安装扶梯到达二楼平台，然后从处安装一段水平扶梯，最后由扶梯到达三楼平台，经测量，扶梯的坡角为，扶梯的坡角为，且起点与终点在同一竖直线上，求此次加装的扶梯的总长度．（结果精确到米，参考数据：，，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某工厂有甲、乙两个生产车间，为比较不同技术培训的效果，分别从甲、乙车间各随机抽取名工人，对其加工的零件进行质量评分（满分分，评分为整数）．数据收集与整理如下： 两车间评分数据统计表 车间 众数 中位数 平均数 方差 甲 乙 请根据以上信息，完成下面任务． （1）______，______，______；并补全条形统计图． （2）对于这次评分，成绩比较整齐的是哪个车间，并说明理由； （3）若甲乙两个车间共有名工人，请估计此次培训中，两个车间的工人不低于分的人数． 20. 如图，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，为上一点，射线交于点，已知． （1）求证：； （2），求直径长． 六、（本题满分12分） 21. 项目背景： 在筹备校园艺术节时，美术小组需要制作一种装饰链．他们用个实心圆圈和个空心圆圈相间排成一个圆环（如图），然后将多个这样的圆环从左到右连接成一串．连接规则是：相邻两个圆环共用一个圆圈，且这些公共圆圈从左到右以空心、实心、空心、实心…的顺序相间排列． 元素分析： 经过探究发现，这个装饰链涉及以下几个量：圆环串中圆环的个数；单个圆环中圆圈的总数；相邻圆环公共圆圈的属性规律；整串装饰链中实心圆圈和空心圆圈的总个数． 情境： 美术小组先尝试制作较短的装饰链． （1）依题意，当圆环串由个圆环组成时，总个数；由个圆环组成时，总个数；由个圆环组成时，总个数．按此规律，由个圆环组成时，总个数①______； （2）小明发现，随着圆环个数的增加，总个数的变化是有规律的．若圆环串由个圆环组成，则总个数可用含的代数式表示为：②______． （3）情境：美术小组计划制作一条更长的装饰链，用和分别表示空心圆圈和实心圆圈的总个数，小组成员研究发现，当圆环串由个圆环组成时，，当圆环串由个圆环组成时，当圆环串由个圆环组成时…，那么当圆环串由个圆环组成时③______ （4）当如果装饰链由（为奇数）个这样的圆环组成，那么空心圆圈的具体数量为④______ （5）当时，和的大小关系为：⑤______（填、或） （6）探究结论：请直接写出空心圆圈数和实心圆圈数关于（为偶数）的代数式⑥______． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在等边和等边中，边交于点，连接、，且 （1）求的度数； （2）如图，连接，若，求值； （3）如图，延长交于点，若，请判断的形状，并说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 二次函数，其中．该函数图象与轴交于点． （1）若，，求该函数图象的顶点坐标； （2）当，点在该函数图象，且，求整数的值； （3）已知，对于该函数图象的顶点满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026九年级三模绿色评价数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数与互为倒数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数即可求解． 【详解】解：设与互为倒数的数为， ∴ 解得． 2. 北京国际车展上，芯擎科技正式发布了纳米车规级舱驾融合芯片“龍鹰二号”，该芯片计划于年第一季度启动适配工作．已知纳米米，因此纳米用科学记数法可表示为米，则，的值分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法表示绝对值小于1的正数时，形式为，需满足，为负整数． 【详解】解：∵1纳米米， ∴5纳米米米， ∴， ∴，． 3. 下列几何体均是由四个大小相同的小正方体搭建而成的，其主视图与左视图的面积和最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：设小正方体每一面的面积为1， A、该几何体的主视图有4个小正方形，左视图有2个小正方形，故主视图与左视图的面积和为； B、该几何体的主视图有3个小正方形，左视图有3个小正方形，故主视图与左视图的面积和为； C、该几何体的主视图有4个小正方形，左视图有4个小正方形，故主视图与左视图的面积和为； D、该几何体的主视图有3个小正方形，左视图有4个小正方形，故主视图与左视图的面积和为； ∴综上，选项C的几何体主视图与左视图的面积和最大． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方的运算法则、负整数指数幂、立方根的性质进行逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，， ∴该选项错误； B、，， ∴该选项错误； C、，， ∴该选项错误； D、， ∴该选项正确． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的正实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，利用判别式等于0求出m的可能值，再根据根为正实数的条件筛选得到正确结果． 【详解】解：由题意得， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即 解得或， 当时，方程为，根为，不符合正实数根的要求，舍去； 当时，方程为，即，根为，是正实数，符合要求． ∴的值为． 6. 如图，是半圆的直径，为半圆弧上一点，已知，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据题意判定为等边三角形，求出圆心角的度数，进而求出的度数，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，如图， 是半圆的直径，为半圆弧上一点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 的长为． 7. 已知、是一次函数图象上的两点，若，且，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】将P，Q两点坐标代入一次函数解析式，得到s和t的表达式，计算得到结果等于k，再结合已知不等式判断k的正负，通过差的正负比较s和t的大小． 【详解】解：∵、在一次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， 解得， ∴，即 解得， ∴，即． 8. 如图，中，，，为中线，分别以为圆心，适当长为半径画弧，两弧相交于点、，直线交于点，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知直线是线段的垂直平分线，从而得到，设，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接，如图， 由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ， ，，为中线， 点为的中点， 设，则， 设，则， ， 在中， 解得， ，， ． 9. 已知实数、满足，且，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，将用表示，代入得到关于的二次代数式，结合的限制得到的范围，再验证选项得到结果． 【详解】解：， ， ， 又， ， ∴， ， ∴， A、，不符合； B、，不符合； C、，不符合； D、，符合条件． 10. 如图，正方形中，为边的中点，连接，为正方形内一点，且满足，点为边的中点，连接、，若，则下列结论正确的是（ ） A. 长最小为 B. 最小为 C. 最小为 D. 最小为 【答案】D 【解析】 【分析】连接并延长交于点，连接，根据正方形的性质得到，，，根据中点的定义得到，则，推出，进而得出点是的中点，分析可知点在线段上运动（不含端点），再根据勾股定理和相似三角形的性质，分别求出每个选项对应的线段最值即可得出答案． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， ∵正方形， ∴，，， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即点是的中点， ∵为正方形内一点，为定点， ∴点在线段上运动（不含端点）； 当时，有最小值， 在中，， ∵， ∴， ∴长最小为， 故选项A结论错误，不符合题意； 连接， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小值为， 故选项B结论错误，不符合题意； 连接， 在中，， ∵， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小值为， 故选项C结论错误，不符合题意； 过点作的对称点，连接交于点，交于点，连接，作交延长线于点，作于点， 则，，，， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小值为长； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴最小为， 故选项D结论正确，符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集是_____． 【答案】x＜2 【解析】 【分析】解一元一次不等式，先移项，然后合并同类项，系数化1求解． 【详解】解： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化1，得： ∴不等式的解集是x＜2 故答案为：x＜2． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，掌握解不等式的步骤正确计算是解题关键． 12. 某校开展“能源知识大闯关”活动．老师拿出背面完全一样的四张卡片，正面分别写着：铜、铁、橡胶、塑料．已知铜和铁属于导体，橡胶和塑料属于绝缘体．若老师将这四张卡片背面朝上，随机抽取两张进行相关知识提问，则抽到的两张卡片恰好是一张导体和一张绝缘体的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先找出所有等可能的抽取结果，再确定符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记铜为，铁为，橡胶为，塑料为，其中为导体，为绝缘体， 随机抽取两张，所有等可能的结果为，共种可能结果， 其中抽到一张导体一张绝缘体的结果为，共种， ∴． 13. 如图，点为反比例函数图象上一点，为轴上两点，连接并延长交轴于点，连接，，已知，且，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】点作轴于点，根据等腰三角形三线合一性质得出，利用三角形面积公式及已知面积关系得出，通过证明得出，设，表示出点的坐标，结合三角形面积求出的值，最后根据反比例函数的几何意义求解． 【详解】解：过点作轴于点，如图， ，， ， 由题意得，，， ， 即， 轴，轴轴， ， ， ， 即， 设，则，， 点的纵坐标为， ， ， ， ，即， 点的横坐标为， ． 14. 我们规定：用方括号括起来的若干实数称为“数集”，例如：就是一个数集，其中的实数具有互异性和无序性，即任意两个实数互不相等，且改变它们排列顺序后，所得数集仍与原数集相同．如：．已知数集，数集，且． （1）若、为非负数，则________； （2）若、为任意实数，则所有可能值的和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）数集A，B相等，元素完全相同，且x，y为非负数，故，．结合，分情况讨论：若且，代入解得，此时；若且，解得，与非负矛盾，舍去，进而即可得到解答； （2）数集A，B均含元素，．分两种有效情况：①（同（1），符合互异性）；②，，此时、，也满足条件，得．则可求出所有可能值的和． 【详解】解：∵， ∴与的元素完全相同， ∵有意义， ∴， （1）∵为非负数， ∴， ∴，， ①当，时，则， 将代入得， 解得， ∵， ∴，符合条件，此时； ②当，时，则， 将代入， 得 ∴，与非负矛盾，舍去； 综上所述，； （2）∵含元素， ∴必有一个元素为， 当时，则，中有两个相等元素，违反互异性，舍去； 当时，①，，由得， 同（1）可得符合条件的解，故是有效解； ②，， 将代入得，，， 此时，不成立，舍去； 当时，则， ①，，则， 将代入得，， 此时，，符合互异性， ∴是有效解； ②，， 将代入得，矛盾，舍去； 综上所述，的所有可能值为和， ∴所有可能值的和为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】对式子先进行展开，再进行约分化简，最后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 某款纯电动汽车的充电数据为：家用慢充每小时可补充续航；快充每15分钟可补充续航．若该车需要用慢充和快充配合（两种充电方式不可同时进行），总共充电小时，恰好使总续航增加，且充电方式切换的时间忽略不计，求慢充的时间． 【答案】慢充的时间为4小时 【解析】 【分析】设慢充小时，再根据“总共充电小时，恰好使总续航增加”列出方程组并求解即可． 【详解】解：设慢充小时， 根据题意得， 解得， 答：需要慢充小时． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，是由若干个小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A、B、为格点，为格点，P为边上任一点，仅用无刻度直尺在网格中完成如下问题： （1）画出关于点的中心对称图形； （2）在线段上确定一点，使，保留作图痕迹，无需证明． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如图，点即为所求． 【解析】 【小问1详解】 解：连接并延长使，连接并延长使，连接并延长使，连接，如图所示，即为所求． 【小问2详解】 解：将绕点C旋转至，连接交于点Q，则是等腰直角三角形，故，点Q即为所求． 18. 某商场准备从一楼到三楼加装一部手扶电梯，已知每层楼高均为米，如图，为一楼平台，从处安装扶梯到达二楼平台，然后从处安装一段水平扶梯，最后由扶梯到达三楼平台，经测量，扶梯的坡角为，扶梯的坡角为，且起点与终点在同一竖直线上，求此次加装的扶梯的总长度．（结果精确到米，参考数据：，，，） 【答案】此次加装的扶梯的总长度约为米 【解析】 【分析】延长交于点，根据题意得，，米，分别解和，求出、、、的长，即可求解扶梯的总长度． 【详解】解：如图，延长交于点． 由题意知：，，米． 在中， 米， 米， 在中， 米， 米， ∴米， ∴米， 答：此次加装的扶梯的总长度约为米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某工厂有甲、乙两个生产车间，为比较不同技术培训的效果，分别从甲、乙车间各随机抽取名工人，对其加工的零件进行质量评分（满分分，评分为整数）．数据收集与整理如下： 两车间评分数据统计表 车间 众数 中位数 平均数 方差 甲 乙 请根据以上信息，完成下面任务． （1）______，______，______；并补全条形统计图． （2）对于这次评分，成绩比较整齐的是哪个车间，并说明理由； （3）若甲乙两个车间共有名工人，请估计此次培训中，两个车间的工人不低于分的人数． 【答案】（1） ； （2）乙车间的成绩比较整齐， 理由： ，， 乙车间的成绩比较整齐； （3）两个车间不低于分的人数约为人． 【解析】 【分析】（1）利用中位数、总数、百分比的求法求解即可； （2）比较方差的大小即可得出结论； （3）用样本估计总体即可. 【小问1详解】 解：∵， ， ∴ ， ∵甲车间评分为的人数：，， ∴甲车间质量评分为的人数最多，即： ， ∵乙车间质量评分从小到大排列第个数都是， ∴ ； 补全条形统计图（略）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵（人）， （人）， 答：两个车间不低于分的人数约为人． 20. 如图，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，为上一点，射线交于点，已知． （1）求证：； （2），求直径长． 【答案】（1）证明：如图，连接，． 为的切线， ． ． ， ． ． ， ． ∴， ∵， ∴． ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得，则，由，得，则，再根据对顶角相等即可得，根据等角对等边即可得证； （2）由，，可得，根据所对的直角边是斜边的一半，勾股定理求出的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴． ∵， ． ， ． ∴． ， ∴，解得（负值舍去）． ． 六、（本题满分12分） 21. 项目背景： 在筹备校园艺术节时，美术小组需要制作一种装饰链．他们用个实心圆圈和个空心圆圈相间排成一个圆环（如图），然后将多个这样的圆环从左到右连接成一串．连接规则是：相邻两个圆环共用一个圆圈，且这些公共圆圈从左到右以空心、实心、空心、实心…的顺序相间排列． 元素分析： 经过探究发现，这个装饰链涉及以下几个量：圆环串中圆环的个数；单个圆环中圆圈的总数；相邻圆环公共圆圈的属性规律；整串装饰链中实心圆圈和空心圆圈的总个数． 情境： 美术小组先尝试制作较短的装饰链． （1）依题意，当圆环串由个圆环组成时，总个数；由个圆环组成时，总个数；由个圆环组成时，总个数．按此规律，由个圆环组成时，总个数①______； （2）小明发现，随着圆环个数的增加，总个数的变化是有规律的．若圆环串由个圆环组成，则总个数可用含的代数式表示为：②______． （3）情境：美术小组计划制作一条更长的装饰链，用和分别表示空心圆圈和实心圆圈的总个数，小组成员研究发现，当圆环串由个圆环组成时，，当圆环串由个圆环组成时，当圆环串由个圆环组成时…，那么当圆环串由个圆环组成时③______ （4）当如果装饰链由（为奇数）个这样的圆环组成，那么空心圆圈的具体数量为④______ （5）当时，和的大小关系为：⑤______（填、或） （6）探究结论：请直接写出空心圆圈数和实心圆圈数关于（为偶数）的代数式⑥______． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）， 【解析】 【分析】观察图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 【小问1详解】 解：∵当圆环串由个圆环组成时，总个数； 由个圆环组成时，总个数 ； 由个圆环组成时，总个数 …… ∴由个圆环组成时，总个数 ； 【小问2详解】 解：由（1）可知：当圆环串由个圆环组成，则总个数 ； 【小问3详解】 解：∵当圆环串由个圆环组成时， ； 由个圆环组成时， …… ∴由个圆环组成时，总个数 ； 【小问4详解】 解：由（3）可知：当如果装饰链由（为奇数）个这样的圆环组成，那么空心圆圈的具体数量为； 【小问5详解】 解：∵由个圆环组成时， ， 由个圆环组成时， …… 当如果装饰链由（为偶数）个这样的圆环组成，那么空心圆圈的具体数量为； ∴当时， ， ， ， ∴； 【小问6详解】 解：∵当如果装饰链由（为偶数）个这样的圆环组成，那么空心圆圈的具体数量为， ， ∴． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在等边和等边中，边交于点，连接、，且 （1）求的度数； （2）如图，连接，若，求值； （3）如图，延长交于点，若，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）∠ （2） （3）为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵ 在中，， 为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）证明，根据等边三角形的性质，求的度数即可； （2）证明，根据直角三角形的性质求解即可； （3）证明，根据等腰直角三角形的判定求解即可． 【小问1详解】 解：在等边和等边中 ，， ∴ ∵⊥ ∴ ∴∠ 【小问2详解】 解：， ∴， 在中， ∴ ∴， ， 【小问3详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 二次函数，其中．该函数图象与轴交于点． （1）若，，求该函数图象的顶点坐标； （2）当，点在该函数图象，且，求整数的值； （3）已知，对于该函数图象的顶点满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入二次函数解析式，得，配方为顶点式，则可得到函数图象的顶点坐标； （2）由函数与y轴交点得，结合得；将代入函数得，由解得，结合得，故可求得整数s； （3）由得，写出顶点横坐标、纵坐标；由得，结合得，代入的表达式，得． 【小问1详解】 解：把，代入， 得， 其顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∵， ∴， 把点代入， 得， ， 解得， ， ，故整数； 【小问3详解】 解：当时，， ，， ∵， ∴，即， ∵，且， ∴ ， ∴或 ∵， ∴， 当时，， ∴当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $