8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦直线的倾斜角与斜率、直线方程核心考点，依据课标要求探索几何要素、理解概念及掌握方程形式，对接高考评价体系，分析近五年全国卷及新高考真题，明确考频为“2小1大”或“3小1大”，分值26-31分，归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题母题+变式训练+规律方法”策略，如例3用均值不等式解决面积最值问题，培养数学思维，AI变式训练提升应变能力，帮助学生掌握斜率范围、方程求法等技巧，教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺高考。

第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 高考总复习 2027 备考路径 考点 考题 考情分析 直线与圆 2025全国1,第7题;2024新高考Ⅱ,第5题;2023新高考Ⅰ,第6题;2023新高考Ⅱ,第15题;2022新高考Ⅰ,第14题;2022新高考Ⅱ,第15题;2021新高考Ⅰ,第11题;2021新高考Ⅱ,第11题 1.题型、题量稳定:近两年高考试题对解析几何的考查以“2小1大”或“3小1大”的形式出现,分值约26~31分. 圆锥曲线的定义与方程 2025全国1,第3题;2025全国2,第6题;2024新高考Ⅰ,第11题;2023新高考Ⅰ,第5题,第16题;2022新高考Ⅰ,第16题;2021新高考Ⅰ,第5题,第14题;2022新高考Ⅱ,第3题 考点 考题 考情分析 直线与椭圆的综合问题 2025全国1,第18题;2025全国2,第16题;2024新高考Ⅰ,第16题;2023新高考Ⅱ,第5题;2022新高考Ⅱ,第16题;2021新高考Ⅱ,第20题 2.重点突出:本章在高考中均以重要知识模块命制试题,题型覆盖面广.客观题重点考查直线与圆,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系等;主观题主要考查圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值及证明等问题,常与函数、不等式等知识综合,有时会以探索性问题形式呈现,难度较大 直线与双曲线的综合问题 2025全国2,第11题;2024新高考Ⅰ,第12题; 2024新高考Ⅱ,第19题;2023新高考Ⅱ,第21题;2022新高考Ⅰ,第21题;2022新高考Ⅱ,第21题;2021新高考Ⅰ,第21题 直线与抛物线的综合问题 2025全国1,第10题;2024新高考Ⅱ,第10题; 2023新高考Ⅰ,第22题;2022新高考Ⅱ,第10题;2022新高考Ⅰ,第11题;2022新高考Ⅱ,第10题 课标解读　1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式). 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版选择性必修第一册2.1.1节练习第4题改编)已知点A(2,0),B(3,),则直线AB的倾斜角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° B 解析 由题意得直线AB的斜率k=.设直线AB的倾斜角为α, 则tan α=.∵0°≤α<180°,∴α=60°. 2.(多选题)(人教A版选择性必修第一册习题2.2第10题改编)已知直线l的方程是Ax+By+C=0,则下列说法正确的有(　　) A.若A·B·C≠0,则直线l不过原点 B.若A·B>0,则直线l必过第四象限 C.若直线l不过第四象限,则一定有A·B<0 D.若A·B<0且A·C>0,则直线l不过第四象限 ABD 解析 对于A,若A·B·C≠0,则A,B,C都不等于0,当x=y=0时,A·0+B·0+C≠0,所以直线l不过原点,故A正确;对于B,若A·B>0,则直线斜率-<0,则直线一定过第四象限,故B正确;对于C,当直线过第一、第二象限时,此时A=0,则A·B=0,故C错误;对于D,若A·B<0且A·C>0,则->0,-<0,所以直线的斜率大于0,在x轴上的截距小于0,所以直线经过第一、第二、第三象限,不经过第四象限,故D正确.故选ABD. 3.(人教A版选择性必修第一册习题2.1第7题改编)过A(m2+2,m2-3), B(3-m-m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°,则m的值为　　　　.  -2 解析 ∵直线l的斜率为tan 45°=1, ∴=1,解得m=-2. 4.(人教A版选择性必修第一册习题2.2第1(1)题改编)已知直线l经过点 A(8,-2),斜率是-,则直线l的方程为　　　　　　　　　.  x+2y-4=0 解析 由直线的点斜式方程,得y-(-2)=-(x-8),即x+2y-4=0. 知识梳理 1.直线倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴　　　　与直线l　　　　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为　　　.  取值范围为0°≤α<180°　　　 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线没有斜率. (2)过两点的直线的斜率公式 ①经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=. 正向 向上 0° 微点拨 斜率公式与两点的顺序无关,即两纵坐标和两横坐标在公式中可以同时调换.就是说,如果分子是y2-y1,那么分母必须是x2-x1;反过来,如果分子是y1-y2,那么分母必须是x1-x2. 微思考 直线的倾斜角越大,斜率越大对吗? 提示 不对.设直线的倾斜角为α,斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 — 随α的增大而增大 — 随α的增大而增大 ②设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点,则向量=(x2-x1,y2-y1)以及与它平行的向量都是直线的　　　　　　.若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=　　　.  方向向量 ②设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点,则向量=(x2-x1,y2-y1)以及与它平行的向量都是直线的　　　　　　.若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=　　　.  方向向量 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 点斜式 过点(x0,y0),斜率为k 　　　   与x轴不垂直的直线 斜截式 在y轴上的截距为b,斜率为k 　　　   两点式 过两点(x1,y1),(x2,y2) (x1≠x2,y1≠y2) 　　　   与两坐标轴均不垂直的直线 y-y0=k(x-x0) y=kx+b 名称 几何条件 方程 适用条件 截距式 “截距式”中截距不是距离,在用截距式时,应先判断截距是否为0 在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b≠0) 　　 　  不过原点,且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 — Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 平面内所有直线 误区警示 求直线方程时,若不能判断直线是否具有斜率,应对斜率存在与不存在加以讨论. =1 研考点•精准突破 考点一　直线的倾斜角与斜率 例1　(1)若直线l的一个方向向量为n=(1,-),则l的倾斜角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° C 解析 设l的倾斜角为α,0°≤α<180°,由题意得l的斜率k=tan α=-,则α=120°.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)[一题多变]直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　 .  (-∞,-]∪[1,+∞) 解析 设直线PA与PB的倾斜角分别为α,β,直线PA的斜率是kAP=1,直线PB的斜率是kBP=-.如图,当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角由α增至90°,斜率的取值范围为[1,+∞). 当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90°增至β,斜率的取值范围是(-∞,-].故直线l的斜率的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞). 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式1](变条件)若例1(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l的斜率的取值范围. 解 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0.∵A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上,∴(2k-1+k)(-+k)≤0,即(3k-1)(k-)≤0,解得≤k≤.故直线l的斜率的取值范围是[]. 考点一 考点二 考点三 [变式2](变条件变结论)若将例1(2)中的B(0,)改为B(2,-1),其他条件不变,求直线l的倾斜角的取值范围. 解 易知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.∵A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上, ∴(2k-1-k)(2k+1-k)≤0,即(k-1)(k+1)≤0,解得-1≤k≤1.故直线l的倾斜角的取值范围是[0,]∪[,π). 考点一 考点二 考点三 规律方法　1.斜率的两种求法 (1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率. (2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率. 2.斜率取值范围的两种求法 (1)数形结合法:作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正切函数的单调性确定. (2)函数图象法:根据正切函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1]已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. 求:(1)直线l的斜率k的取值范围; (2)直线l的倾斜角α的取值范围. 考点一 考点二 考点三 解 (1)因为A(-3,4),B(3,2),P(1,0),所以kPA==-1,kPB==1. 因为直线l与线段AB有公共点,所以由图可知直线l的斜率k满足k≤kPA或k≥kPB,所以直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,因为直线PB的倾斜角是,直线PA的倾斜角是, 所以α的取值范围是[]. 考点一 考点二 考点三 考点二　直线的方程 例2　求符合下列条件的直线方程: (1)若直线l过点(-1,1),且其一个方向向量为m=(1,-2); (2)经过两点A(3,-2),B(5,-4); (3)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2; (4)过点P(2,4)且在坐标轴上的截距相等. 考点一 考点二 考点三 解 (1)由题意,直线的斜率k==-2. 又直线l过点(-1,1),所以直线方程为y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0. (2)由两点式得,即x+y-1=0. (3)斜率k=tan 45°=1,截距b=2,所以斜截式方程为y=x+2,即x-y+2=0. (4)当直线过原点时,设直线方程为y=kx,因为直线过点(2,4),则k=2, 即直线方程为2x-y=0. 当直线不过原点时,设直线方程为=1(a≠0),因为直线过点(2,4), 则=1,即a=6,即x+y-6=0. 综上所述,直线方程为2x-y=0或x+y-6=0. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求直线方程的两种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](1)已知直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A-2B+3C=0,则该直线方程为(　　) A.15x-3y-7=0 B.15x+3y-7=0 C.3x-15y-7=0 D.3x+15y-7=0 A 解析 由题意得所以 所以直线方程为-5x+y+=0,即15x-3y-7=0.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线 x-y-=0的倾斜角的2倍,则a,b的值分别为(　　) A.,1 B.,-1 C.-,1 D.-,-1 D 解析 ∵直线x-y-=0的斜率k=,∴直线x-y-=0的倾斜角α满足tan α=,得α=60°.由此可得直线ax+by-1=0的倾斜角β=2α=120°,直线ax+by-1=0的斜率k1=tan 120°=-.∵直线ax+by-1=0在y轴上的截距为 -1,∴直线ax+by-1=0的斜截式方程为y=-x-1,即-x-y-1=0,可得 a=-,b=-1.故选D. 考点一 考点二 考点三 (3)过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程为　 .  解析 由题意可知直线的斜率存在且不为0,设直线方程为=1,则有解得故直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0. x+y-3=0或x+2y-4=0 考点一 考点二 考点三 考点三　直线方程的综合应用 例3　[一题多变]已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,当△AOB面积最小时,求直线l的方程. 考点一 考点二 考点三 解 (方法1)设直线l的方程为y-1=k(x-2),k≠0,则可得A(,0),B(0,1-2k). ∵直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,∴解得k<0. 于是S△AOB=·|OA|·|OB|=·(1-2k)=(4--4k)≥[4+2]=4,当且仅当-=-4k且k<0,即k=-时,等号成立,此时△AOB面积最小,直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0. 考点一 考点二 考点三 (方法2)设所求直线l的方程为=1(a>0,b>0),则=1.又≥2, ∴ab≥4,当且仅当,即a=4,b=2时,等号成立,此时△AOB的面积S=ab最小,直线l的方程是=1,即x+2y-4=0. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式1](变条件)在本例中,当|MA|·|MB|取得最小值时,求直线l的方程. 解 (方法1)设直线l的方程为y-1=k(x-2),k≠0,则可得A(,0),B(0,1-2k). ∵直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点, ∴解得k<0. ∴|MA|·|MB|==2(-k+)≥4,当且仅当-k=-且k<0,即k=-1时,等号成立.此时直线l的方程为x+y-3=0. 考点一 考点二 考点三 (方法2)设所求直线l的方程为=1(a>0,b>0),则可得A(a,0),B(0,b), =1. ∴|MA|·|MB|=||·||=-=-(a-2,-1)·(-2,b-1)=2(a-2)+b-1 =2a+b-5=(2a+b)()-5=2()≥4,当且仅当a=b=3时,等号成立. 此时直线l的方程为x+y-3=0. 考点一 考点二 考点三 [变式2](变条件)在本例中,当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程. 解 设所求直线l的方程为=1(a>0,b>0),则=1,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)·()=3+≥3+2,当且仅当a=2+, b=1+时,等号成立.所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为 x+y-2-=0. 考点一 考点二 考点三 规律方法　与直线方程有关的最值问题的解题策略 考点一 考点二 考点三 $