期末综合能力测试卷-2025-2026学年苏科版八年级下学期数学.

**基本信息** 2025-2026学年八年级下学期数学期末卷，以“长征八号”零部件检测、地铁工程建设等真实情境为载体，覆盖统计与概率、代数运算、几何综合等核心内容，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用，凸显数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|普查与抽样、概率意义、分式有意义条件|第2题通过硬币试验辨析概率本质，考查推理意识| |填空题|6/18|频数分布、因式分解、菱形性质|第16题矩形折叠综合，融合空间观念与几何直观| |解答题|8/72|统计图表分析、工程问题（分式方程）、四边形证明与计算|21题以地铁工程为背景，构建分式方程与费用优化模型，体现应用意识；24题动点问题结合面积函数，考查创新意识与运算能力|

2025-2026学年八年级下学期数学期末综合能力测试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列调查中，最适合采用普查的是（　　） A．了解无锡市民对中超13支队伍的支持度 B．检测“长征八号”飞船的零部件 C．调查某新能源汽车的抗撞击能力 D．了解全国中小学人工智能课程的开展情况 2．以下说法合理的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．小明做了3次掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了5次，其中有2次正面朝上，3次正面朝下，由此他说硬币正面朝上的概率是 3．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 4．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A．B． C． D． 5．若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或 D．3或 6．如果，那么的值是（     ） A． B． C．5 D．10 7．我市为进一步加密城市轨道交通线网，提升城市交通的便捷性和覆盖范围，地铁5号线、6号线一期工程正在建设中，计划于2028-2029年陆续开通．为使工程提前半年完成，需将工作效率提高．若设原计划完成这项工程需要x个月，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 9．如图，点是矩形的对角线上一点，过作，分别交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 10．如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（   　 ） A．3 B．2 C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．某校对七年级学生进行视力检测，据测得数据制成频数分布直方图．若图中自左至右每个小长方形的高之比为，且第二个小长方形对应的频数为54，则此次共检测了_______名学生的视力． 12．如果，那么____，_____． 13．计算：________．（结果只含有正整数指数幂） 14．若，则的值为_____． 15．如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 16．如图，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上；如图．将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，则的长为______． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．分解因式： (1)； (2)． 18．先化简，再求值，其中，选择一个合适的整数a． 19．计算∶ (1)； (2)． 20．某校举办了校服设计大赛，并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每名学生从个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题： (1)参加此次问卷调查的学生人数是__________； (2)在扇形统计图中，选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数是__________； (3)将条形统计图补充完整； (4)若该校七年级学生共有名，请估计七年级学生中选择“作品”的人数． 21．为落实“打通断头路、畅通微循环”民生工程，某市计划在一条2000米的断头路段铺设便民步道，通过招标安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天的铺设效率是乙队的2倍，甲队单独完成全部铺设比乙队少用5天． (1)求甲、乙两个工程队每天能铺设的步道长度各是多少米； (2)若甲队铺设一天需支付费用0.8万元，乙队铺设一天需支付费用0.3万元，要求乙队铺设天数不超过甲队的2倍，要使总费用最低，甲、乙两队应分别铺设多少天？（天数取正整数） 22．如图，在中，点是边的中点，点是的中点，过点作，且交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． (3)若，在中再增加条件．则四边形是正方形． 23．如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 24．如图，在中，的面积为48，动点从点出发，以2个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以4个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，连结．设运动时间为t秒． (1)直线与之间的距离是______． (2)当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)当时，求t的值． (4)当平分的面积时，直接写出t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学期末综合能力测试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列调查中，最适合采用普查的是（　　） A．了解无锡市民对中超13支队伍的支持度 B．检测“长征八号”飞船的零部件 C．调查某新能源汽车的抗撞击能力 D．了解全国中小学人工智能课程的开展情况 【答案】B 【分析】根据普查的适用场景判断即可，普查结果准确，但成本较高，适合对精度要求极高，调查对象范围有限的调查． 【详解】解：A、调查对象为无锡市民，数量多范围广，适合抽样调查，不符合题意． B、飞船零部件关乎飞行安全，每个零件都需要检查，对精度要求极高，最适合采用普查，符合题意． C、测试汽车抗撞击能力具有破坏性，不适合普查，不符合题意． D、调查对象为全国中小学，范围广数量大，适合抽样调查，不符合题意． 2．以下说法合理的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．小明做了3次掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了5次，其中有2次正面朝上，3次正面朝下，由此他说硬币正面朝上的概率是 【答案】B 【分析】根据概率的定义和随机事件的性质，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A选项：概率表示事件发生的可能性大小，不代表必然发生，中奖概率为时，买100张彩票是随机事件，不一定有5张中奖，原说法不合理，不符合题意； B选项：均匀硬币每次抛掷，正面朝上和反面朝上是等可能事件，且前次试验不影响下一次抛掷的概率，因此再掷一次正面朝上的概率仍为，原说法合理，符合题意； C选项：射击的中靶与不中靶不是等可能事件，两种结果发生的概率不相等，因此击中靶的概率不是，原说法不合理，不符合题意； D选项：概率是事件固有的属性，试验次数较少时，频率不能等同于概率，质地均匀的硬币正面朝上的概率固定为，原说法不合理，不符合题意； 3．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据分母有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 即且． 4．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设比例系数法，结合比例性质逐一验证，即可得出． 【详解】解：设， ∴，， 对选项A： ∵，， ∴，A成立； 对选项B： ∵，， ∴，B成立； 对选项C： ∵，， ∴，， ∴，C成立； 对选项D： 举反例，令，，，，，满足， 此时左边，右边，， ∴D不一定成立． 5．若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或 D．3或 【答案】D 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或． 6．如果，那么的值是（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】先化简原式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式， 又∵， ∴原式的值为． 7．我市为进一步加密城市轨道交通线网，提升城市交通的便捷性和覆盖范围，地铁5号线、6号线一期工程正在建设中，计划于2028-2029年陆续开通．为使工程提前半年完成，需将工作效率提高．若设原计划完成这项工程需要x个月，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将总工作量看作单位1，，分别表示原效率和实际效率，根据实际效率比原效率提高的关系列方程即可. 【详解】解：设原计划完成这项工程需要个月，将总工作量看作单位. ∵ ， ∴ 原工作效率为 ， ∵ 工程提前半年，即提前6个月完成， ∴ 实际工作时间为 个月，实际工作效率为 . ∵ 工作效率提高，即实际工作效率是原工作效率的倍 ∴可列方程： . 8．如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练计算角的和差是解题的关键． 先证得四边形是等腰梯形，可得，由等边三角形的性质得，根据角的和差得出，，再由等边对等角得出，，再根据角的和差计算可得答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵为正三角形， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 9．如图，点是矩形的对角线上一点，过作，分别交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，，，， ， ， ，， ， ． 10．如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（   　 ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得，，，由勾股定理求出，连接，证明四边形是矩形，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小，如图， ∴， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．某校对七年级学生进行视力检测，据测得数据制成频数分布直方图．若图中自左至右每个小长方形的高之比为，且第二个小长方形对应的频数为54，则此次共检测了_______名学生的视力． 【答案】 【分析】本题主要考查频数分布直方图的知识，掌握相关知识是解题的关键．从左至右每个小长方形的高的比即频数的比，第二个小长方形对应的频数为54，所占比例为，利用频数除以其所占比，由此即可求解． 【详解】解：每个小长方形的高之比为， 频数之比为， 此次共检测了名学生的视力． 故答案为：． 12．如果，那么____，_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式，完全平方公式，将等式右边利用平方差公式，完全平方公式展开得到，然后与左边比较系数，即可求出和，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：右边：， 左边：， 比较系数可得：，， 故答案为：，． 13．计算：________．（结果只含有正整数指数幂） 【答案】 【分析】先计算负整数指数幂，再计算分式的乘方及乘除即可． 【详解】解： ． 14．若，则的值为_____． 【答案】 【分析】先对进行分母有理化，再整理得到关于的降次关系式，将所求多项式分组变形，利用降次关系式代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 15．如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 【答案】/28度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得到，再由得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ∵点为的中点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上；如图．将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，，结合矩形性质推出四边形为正方形，从而求出 的长，根据第二次折叠的性质得出，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在 中利用勾股定理方程求出即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ∵四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ， ，， 又由折叠的性质可知，，， 在 中，∵， ， ， 设，则， 在 中，∵， ，即， 解得， ． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可； （2）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．先化简，再求值，其中，选择一个合适的整数a． 【答案】，当取时，值为（取任意符合条件的，对应结果正确即可）． 【分析】将除法转化为乘法后约分，再计算同分母分式加法得到化简结果，再根据分式有意义的条件排除不可取的值，在给定范围内选择合适的整数代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 要使分式有意义，分母不能为，因此，，即且． ，为整数 可选整数． ∴原式． 19．计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 20．某校举办了校服设计大赛，并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每名学生从个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题： (1)参加此次问卷调查的学生人数是__________； (2)在扇形统计图中，选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数是__________； (3)将条形统计图补充完整； (4)若该校七年级学生共有名，请估计七年级学生中选择“作品”的人数． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）用喜欢作品的人数除以所占百分比可得答案； （2）求出喜欢作品的百分比，再乘以即可； （3）用总人数分别减去喜欢其它个作品的人数求出喜欢作品的人数，补全统计图即可； （4）先求出喜欢作品的所占的百分比，再乘以总人数即可． 【详解】（1）解：此次问卷调查的学生总人数：（人）． （2）解：“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数为：． （3）解：喜欢作品的人数为：（人）． 条形统计图如下： （4）解：（人）． 答：估计七年级学生中选择“作品”的人数为． 21．为落实“打通断头路、畅通微循环”民生工程，某市计划在一条2000米的断头路段铺设便民步道，通过招标安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天的铺设效率是乙队的2倍，甲队单独完成全部铺设比乙队少用5天． (1)求甲、乙两个工程队每天能铺设的步道长度各是多少米； (2)若甲队铺设一天需支付费用0.8万元，乙队铺设一天需支付费用0.3万元，要求乙队铺设天数不超过甲队的2倍，要使总费用最低，甲、乙两队应分别铺设多少天？（天数取正整数） 【答案】(1)甲工程队每天能铺设400米，乙工程队每天能铺设200米 (2)总费用最低时，甲队应铺设3天，乙队应铺设4天 【分析】（1）设乙工程队每天能铺设米，则甲工程队每天能铺设米，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设甲队应铺设天，铺设总费用为万元，则乙队应铺设天，由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天能铺设米，则甲工程队每天能铺设米，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：甲工程队每天能铺设400米，乙工程队每天能铺设200米． （2）解：设甲队应铺设天，铺设总费用为万元，则乙队应铺设天，由题意得： ， 解得：， ， ∵， ∴随的增大而增大， ∵取正整数， ∴当时，总费用最低， ∴； 答：总费用最低时，甲队应铺设3天，乙队应铺设4天． 22．如图，在中，点是边的中点，点是的中点，过点作，且交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． (3)若，在中再增加条件．则四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由得到，，证明出，得到，等量代换得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是矩形，利用勾股定理求出，再根据矩形的性质求面积即可． （3）利用等腰三角形的性质以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，，再由：四边形是平行四边形即可得出四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形的面积． （3）解：当为等腰直角三角形，且时，四边形是正方形， 理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵D为的中点， ∴，， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形为正方形． 23．如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）过点作，由题意易得，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作，如图所示： ∵四边形是边长为6的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 24．如图，在中，的面积为48，动点从点出发，以2个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以4个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，连结．设运动时间为t秒． (1)直线与之间的距离是______． (2)当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)当时，求t的值． (4)当平分的面积时，直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2) (3)1.5或3.5 (4)2或6 【分析】（1）根据平行四边形的面积即可求解； （2）连接，当点Q从点C向点B运动时，，根据，求得的取值范围，根据即可求解； （3）过点A作于，表示出；分两种情况：当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，在这两种情况下再表示出，列方程即可求解； （4）分两种情况：当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，根据列方程计算即可． 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，动点问题，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：设中边上的高为， ∴， ∵，的面积为48， ∴， 即直线与之间的距离是4； （2）如图，连接， 由题意可知， 由， 的高为4， ， 当点Q从点C向点B运动时，， ∴， ，，解得， ； （3）过点A作于，则， ， ∴， ， ， 四边形为矩形， ， ∵，P从A点出发，以2个单位长度的速度沿线段向终点D运动， ∴， 又∵动点Q从点B出发以4个单位长度的速度在间往返运动，当点P到达点D时，动点P、Q同时停止运动， ∴当时，Q从点B往点C运动，， ，解得； 当时，Q从点C往点B运动，， ，解得； ∴或； （4）的面积为48， 当平分平行四边形的面积时，24， 当时，由题意得，， ，解得； 当时，由题意得，， ，解得； ∴或6． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $