精品解析：山东省济宁市曲阜市2025-2026学年九年级下学期 中考二模数学试卷

二〇二六年五月高中段学校招生模拟考试 数学试题 本试卷共6页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项符合题目要求． 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中位于原点左侧的是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】数轴上，原点左侧的点表示的数是负数，原点表示，原点右侧的点表示正数，据此逐项判断即可． 【详解】解： A、是负数，对应点在原点左侧，故此选项符合题意； B、对应点在原点，不在原点左侧，故此选项不符合题意； C、是正数，对应点在原点右侧，故此选项不符合题意； D、是正数，对应点在原点右侧，故此选项不符合题意． 2. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；据此逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．是中心对称图形，故该选项符合题意． 3. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故选：B． 4. 稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：我国已探明稀土储量约万吨，居世界第一位．用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，先确定的值，再根据原数的整数位数确定的值，进而将用科学记数法表示出来． 【详解】解：用科学记数法表示为． 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用合并同类项法则，同底数幂的乘除运算法则，完全平方公式逐一判断选项正误即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 6. 下列四张卡片，分别呈现了化学元素周期表中的四种元素，若一次性从中随机选取两张卡片，则这两张卡片恰好都是金属元素的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 氢 碳 钾 铁 氢 氢，碳 氢，钾 氢，铁 碳 碳，氢 碳，钾 碳，铁 钾 钾，氢 钾，碳 钾，铁 铁 铁，氢 铁，碳 铁，钾 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中这两种元素恰好都是金属元素的情况有种， 故这两种元素恰好都是金属元素的概率为． 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需根据题意找出两个等量关系，即可列出方程组得到答案． 【详解】解：设木长尺，绳长尺． ∵用绳子量长木，绳子还剩余尺， ∴绳长减去木长等于，即 ， ∵将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，即对折后的绳长比木长短尺， ∴对折后的绳长等于木长减去，即 ， 因此可得方程组． 8. 如图，反比例函数（k为常数，）的图象与直线交于点M，，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B．四边形的面积为5．则k的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 2.5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴、轴的垂线，构造正方形，利用全等三角形证明四边形的面积等于正方形面积，进而求出． 【详解】解：如图，过点作轴于，轴于 ，  点在直线上 ，  设 ，则 ，四边形为正方形 ，  ， ， ， ，  ， 在 和 中，   ， ，  ， ，  ，    ，  ， ∵反比例函数的图象在第一三象限，， ． 9. 如图，为半圆的直径，与半圆相切于点，，连接，，已知，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可证得是平行四边形，由勾股定理求解出半径，阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去扇形的面积，即可求解． 【详解】解：连接、， ∵为半圆的直径， ∴， ∵与半圆相切于点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设半圆的半径为，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 10. 如图①，A、B是上的两定点，P是圆上一动点，点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B．设点P运动的时间是，线段的长度是，图②是y随x变化的关系图象，则下列说法错误的是（ ） A. 的半径为 B. A、B两点间的距离为 C. 点P的运动速度为 D. 的度数为 【答案】C 【解析】 【分析】由题图②得，抛物线顶点坐标，即时，最长，即此时是直径，据此可判断A正确；根据当时，点P到达点B处，此时，可判断B正确；根据点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时，求出速度可判断C错误；根据当点P运动到点B时，，可判断D正确． 【详解】解：由题图②得，当时，，即此时A、O、P三点共线，则的半径，故A选项正确，不符合题意； 当时，点P到达点B处，此时， ∴A、B两点间的距离为，故B选项正确，不符合题意； 点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时，走过的角度为，则走过的弧长为，运动时间为， ∴点P的运动速度是，故C选项错误，符合题意； 当点P运动到点B时，，即， ∴是等边三角形， ∴，故D选项正确，不符合题意． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知反比例函数 (k为常数，)的图像在同一个象限内，y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的k的值_________．(写出一个即可)． 【答案】1（正数即可） 【解析】 【分析】根据反比例函数图像与性质，由反比例函数增减性直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数 （是常数，）的图像在同一个象限内，随的增大而减小， ∴， ∴的值可以取1（答案不唯一）， 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【详解】两边同乘， 去分母，得，化简，得， 解得，检验：当8时，， 是原分式方程的解． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，点，在轴正半轴上，，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，由与位似，，得与的相似比为，再根据位似变换的性质即可求解，正确求出相似比是解题的关键． 【详解】， ， ∴与的位似比为， 点的坐标为， 点的坐标为． 14. 若关于的一元二次方程（），当，2，3，…，2026时，相应的一元二次方程的两根分别记为，；，；…；，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到对任意， ， ，将所求式子变形后，利用裂项相消法计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ， ∴由根与系数的关系得： ， ； ， ； ， ； ∴原式 ． 15. 在四边形中，，，，，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是四边形中线段最值问题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，可得到等腰直角，通过判定，得出，因为，所以当、、三点共线时，取最大值，由，即可求出的最大值． 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、， 由旋转可得，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， 当、、三点共线时，取最大值，最大值为， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算及化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂、绝对值、零指数幂，再计算加减即可得出结果； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时， 原式． 17. 在矩形中，连接． （1）如图，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点，点即为所求； （2）由（1）得，，由矩形的性质并结合勾股定理可得，设，则，求出，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，点即为所作； 【小问2详解】 解：如图， 由（1）得，， 四边形是矩形， ，， ， ， 设， ， ， 解得， 四边形是矩形， ， ， ， 又， 解得． 18. 青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为了解九年级学生对时事热点的掌握程度，特举办了一场“中国事，我知道”的调研．随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，把学生掌握情况分为5类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下： 【数据整理】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 第1组 4 3 第2组 1 第3组 2 （1）请补全第1小组得分条形统计图． （2）第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为____． （3）根据上述图表填空：__________，__________，__________． （4）若该校九年级有1200名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数． （5）结合上述数据，请你分析对于时事热点哪组掌握程度最弱，并说明原因． 【答案】（1）见详解 （2） （3） （4）280人 （5）第2组掌握程度最弱 【解析】 【分析】（1）根据总人数为 20 人，条形图各得分的人数即可解答； （2）根据调查总人数 20 人，再利用扇形统计图得分为“4分”的百分数即可解答． （3）根据条形统计图的数据、扇形统计图的数据、折线图的数据，以及众数、中位数、平均数的定义即可解答． （4）先计算出三组人数中得分“ 4 ”的百分数，再计算出1200 人的掌握情况是“应用”的人数即可解答． （5）根据表格中数据即可解答． 【小问1详解】 解：∵随机调查的总人数为 20 人，“ 0 ”分的人数为 1 人，“1 ”分的人数为 2 人，“ 2”分的人数为 3 人，“ 4”分的人数为 8 人， ∴“ 3 ”分的人数为：（人）， 补全第1小组得分条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：∵第 2 小组得分扇形统计图中“得分为4 分”所占的百分数为， ∴“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：∵根据扇形统计图可知“得分为 0 分”的人数最多， ∴第2组的众数为0分， ， ∵根据第1 小组得分条形统计图可知，“ 0 ”分的人数为 1 人，“1 ”分的人数为 2 人，“ 2”分的人数为 3 人，“ 3”分的人数为6人，“ 4”分的人数为 8 人， ∴第1组的平均数为， ， ∵第 3 组的折线图可知中位数第 10 和第 11 个分数：2 ， 2， ∴第 3 组的中位数是， ． 【小问4详解】 解：∵ 第 1 组得分为 “4 分”的人数为 8 人，第 2 组得分为“4 分”的人数为 人，第 3 组得分为“4 分”的人数为 2 人， ∴ 三组得 4 分的总人数为 14人， ∵三组总人数为60人， ∴该校九年级有1200名学生参加此次调研，掌握情况是“应用”的人数有（人）． 【小问5详解】 解：第2组掌握程度最弱， 原因：三组平均数分别为，第2组平均数最低，且0分占比最高，中位数最小，整体得分最低，因此掌握程度最弱． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案？ 素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式．该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选． 素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： 【问题解决】 （1）确定函数模型：求该品牌马年吉祥物套装的月销售量（套）关于销售单价（元/套）的函数表达式． （2）计算定价金额：若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ （3）拟定最优售价方案：当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）60元 （3）当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元 【解析】 【分析】（1）将点代入得出方程组，求出解即可； （2）先表示出每套利润为元，月销售量为套，再根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解得出符合题意的结果； （3）先设每月销售利润为元，再根据单件利润乘以销售量得出二次函数，然后求出二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，每套利润为元，月销售量为套， 可列方程，， 解得，， 要尽可能让利于顾客， 选择较低定价． 答：每套吉祥物套装应定价60元； 【小问3详解】 解：设每月销售利润为元， 整理得， ，二次函数图象开口向下， 当时，取得最大值， 此时，最大利润为元． 答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元． 20. 如图，为半圆O的直径，点P在的延长线上，过点P作半圆O的切线，与半圆相切于点C，过点O作的垂线与的延长线相交于点D，与半圆O相交于点F，连接，与相交于点E． （1）求证：； （2）若半圆O的半径长为4，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）连接，则，由等边对等角可得，由切线的性质可得，，利用垂直得出，再由等量代换确定，结合等角对等边即可证明； （2）根据正切函数得出，确定，，再由勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴， ∵与相切于点C，与的延长线相交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 【小问2详解】 解：∵的半径为4． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵，且， ∴， 解得， ∴． 21. 为提升社区居民环境，方便居民休憩，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米．若太阳光线与地面的夹角为． （1）求遮阳篷边缘点到墙体的水平距离； （2）求阴影的长．（结果精确到米）参考数据：，，，，， 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点作于点,根据求解； （2）过点作于点,根据，然后根据矩形的性质可得的长度，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点, ∴, 在中， , ∴遮阳篷边缘点到墙体的水平距离米， 【小问2详解】 解：过点作于点, 在中， , ∵, ∴四边形是矩形， ∴,, 在中， , ∴, ∴阴影的长为米． 22. 已知二次函数（a为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； （3）若，点，在该二次函数图象上，试说明． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）把代入二次函数解析式得，然后配成顶点式即可求解； （2）由题意易得该二次函数与x轴的交点坐标为，则有该二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：当时，则二次函数的解析式为， 化为顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令，则有，解得， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点B到对称轴的距离为， 根据对称的性质可知：； 【小问3详解】 解：∵点，在该二次函数图象上， ∴， ， ∴ ， 当时，即， 解得：， ∵，且， ∴， 即． 23. 综合与实践 数学课上，同学们以含角的平行四边形为载体，开展了平移、折叠、旋转的综合实践活动．如图1，在平行四边形中，，，． 【智慧小组——平移探究】 （1）如图2，将沿着射线方向平移，得到，点，，的对应点为，，．当四边形为矩形时，求平移的距离． 【善思小组——折叠探究】 （2）如图3，将沿着折叠得到，点的对应点为，连接，，．猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【探索小组——旋转探究】 （3）将绕点D旋转得到，点B，C的对应点分别为点F，E．当为以为底的等腰三角形时，请你直接写出面积的所有可能值． 【答案】（1）平移距离为 （2）四边形是矩形，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形和矩形的性质，结合特殊角度的三角函数值即可求解； （2）根据折叠的性质可得，，，从而判断，，三点共线，根据有一个角为的平行四边形是矩形，即可得证； （3）根据题意可以判断出为的垂直平分线和以为圆心，半径为的圆的交点，结合图象分情况，结合矩形的和旋转的性质进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即平移距离为； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，理由如下： ∵沿着折叠得到， ∴，，， ∴， ∴，，三点共线， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； 【小问3详解】 解：∵为以为底的等腰三角形， ∴在的垂直平分线上， ∵将绕点D旋转得到，点B，C的对应点分别为点F，E， ∴， 则在以为圆心，半径为的圆上， 如图，当在的上方时，的垂直平分线与交于点，过点作于，与相交于， 由（1）可知，，，则， ∵， ∴， 则，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， 则，， ∵将绕点D旋转得到， ∴， 则， ∴， 此时，； 如图，当在的下方时，的垂直平分线与交于点，过点作于，与相交于， 根据之前的计算可知，，， ∵将绕点D旋转得到， ∴， 则， ∴， 此时，； 综上，的面积可能为或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，折叠和旋转的性质，能够熟练掌握平行四边形和矩形的性质，并根据题目找到符合条件的动点的位置是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二六年五月高中段学校招生模拟考试 数学试题 本试卷共6页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项符合题目要求． 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中位于原点左侧的是（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 4. 稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：我国已探明稀土储量约万吨，居世界第一位．用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四张卡片，分别呈现了化学元素周期表中的四种元素，若一次性从中随机选取两张卡片，则这两张卡片恰好都是金属元素的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，反比例函数（k为常数，）的图象与直线交于点M，，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B．四边形的面积为5．则k的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 2.5 D. 2 9. 如图，为半圆的直径，与半圆相切于点，，连接，，已知，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，A、B是上的两定点，P是圆上一动点，点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B．设点P运动的时间是，线段的长度是，图②是y随x变化的关系图象，则下列说法错误的是（ ） A. 的半径为 B. A、B两点间的距离为 C. 点P的运动速度为 D. 的度数为 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知反比例函数 (k为常数，)的图像在同一个象限内，y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的k的值_________．(写出一个即可)． 12. 分式方程的解是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，点，在轴正半轴上，，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 14. 若关于的一元二次方程（），当，2，3，…，2026时，相应的一元二次方程的两根分别记为，；，；…；，，则的值为______． 15. 在四边形中，，，，，则的最大值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算及化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 在矩形中，连接． （1）如图，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，交于点，若，，求的长． 18. 青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为了解九年级学生对时事热点的掌握程度，特举办了一场“中国事，我知道”的调研．随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，把学生掌握情况分为5类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下： 【数据整理】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 第1组 4 3 第2组 1 第3组 2 （1）请补全第1小组得分条形统计图． （2）第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为____． （3）根据上述图表填空：__________，__________，__________． （4）若该校九年级有1200名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数． （5）结合上述数据，请你分析对于时事热点哪组掌握程度最弱，并说明原因． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案？ 素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式．该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选． 素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： 【问题解决】 （1）确定函数模型：求该品牌马年吉祥物套装的月销售量（套）关于销售单价（元/套）的函数表达式． （2）计算定价金额：若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ （3）拟定最优售价方案：当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 20. 如图，为半圆O的直径，点P在的延长线上，过点P作半圆O的切线，与半圆相切于点C，过点O作的垂线与的延长线相交于点D，与半圆O相交于点F，连接，与相交于点E． （1）求证：； （2）若半圆O的半径长为4，，求的长． 21. 为提升社区居民环境，方便居民休憩，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米．若太阳光线与地面的夹角为． （1）求遮阳篷边缘点到墙体的水平距离； （2）求阴影的长．（结果精确到米）参考数据：，，，，， 22. 已知二次函数（a为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； （3）若，点，在该二次函数图象上，试说明． 23. 综合与实践 数学课上，同学们以含角的平行四边形为载体，开展了平移、折叠、旋转的综合实践活动．如图1，在平行四边形中，，，． 【智慧小组——平移探究】 （1）如图2，将沿着射线方向平移，得到，点，，的对应点为，，．当四边形为矩形时，求平移的距离． 【善思小组——折叠探究】 （2）如图3，将沿着折叠得到，点的对应点为，连接，，．猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【探索小组——旋转探究】 （3）将绕点D旋转得到，点B，C的对应点分别为点F，E．当为以为底的等腰三角形时，请你直接写出面积的所有可能值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $