精品解析：2025年山东省济宁市曲阜市中考二模数学试卷

二〇二五年五月高中段学校招生模拟考试数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名﹑准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3．答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2025 2. 现有四张航天相关卡片，如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张卡片，正面图案是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000839米，则数据0.00000839用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 抖空竹是我国传统体育项目，如图，某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为和，空竹受到的重力为G，方向竖直向下，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A、B、C、D在上，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图，在矩形中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧交于点P，作射线，交于点H，过点D作的垂线交的延长线于点Q，垂足为点G，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，曲线是抛物线的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是顶点），曲线是反比例函数的图象的一部分，由点开始不断重复形成一组“波浪线”．若点在该“波浪线”上，则的值为（　　） A. 1 B. 5 C. D. 2024 10. 如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是______． 13. 已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则_______． 14. 如图，在半径为4的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的所在的圆恰好与相切，A，B为切点，则阴影部分的面积等于__________． 15. 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图1，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，如图2，若，则的值为______． 三、解答题：本大题共8题，共75分． 16. （1）计算： （2）化简：． 17. 【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等． 【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A，B两棵树（与河岸平行），于是他提出，在不过河前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C，D，使与河岸平行，且，经测量，，． 【问题解决】（1）请根据乙同学方案，计算出A，B两棵树之间的距离．（结果精确到整数，参考数据：，，） 【交流讨论】丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C，D，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度． （2）丙同学需要利用的__________值（填“正弦”，“余弦”或“正切”），先求出长为__________m（用三角函数表示），由和的长度，再利用__________三角形（填“全等”或“相似”）就可以得到的长度． 18. 已知：4月22日是世界地球日，某校在“世界地球日”当天举行了丰富多彩的环保活动，其中活动类型有：A．环保主题绘画比赛：B．环保知识竞赛；C．植树活动；D．废旧物品创意改造；E．垃圾分类比赛；F．其他．该校为了解学生对以上环保活动的参与兴趣，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）参与本次调查的学生共有______人，喜欢废旧物品创意改造活动的人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为______． （2）请补全条形统计图； （3）全校学生共有2000人，请估计全校喜欢垃圾分类比赛学生共有多少人？ （4）该校从B类中挑选出3名男生和2名女生，计划从这5名学生中随机抽取2名学生代表学校参加县环保知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 19. 如图，一次函数的图象与x轴相交于A点，与反比例函数（，）的图象相交于点B，且点B的纵坐标为6． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是y轴上的一点，且，过点C作x轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点D、E，连接，当的面积为4时，求此时m的值． 20. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 21. 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．用2000元购进品种柑橘礼盒数与用2500元购进品种柑橘礼盒数相同． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 22 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 23. [综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二〇二五年五月高中段学校招生模拟考试数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名﹑准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3．答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握乘积等于1的两个数互为倒数是解题的关键． 利用倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：A． 2. 现有四张航天相关卡片，如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张卡片，正面图案是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了、中心对称图形的识别，简单的概率求法，解题的关键是正确列表得到所有的等可能的结果数． 根据题意，根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：以上4张卡片，其中只有第三张卡片是中心对称图形，则从中随机抽取一张卡片，正面图案是中心对称图形的概率是． 故选A． 3. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000839米，则数据0.00000839用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中， n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示方法解答即可． 【详解】解：； 故选：B． 4. 抖空竹是我国传统体育项目，如图，某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为和，空竹受到的重力为G，方向竖直向下，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，几何图形的角度运算，先根据两直线平行，同旁内角互补，得再结合，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴， 故选：A． 5. 已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的三视图，求圆锥的侧面积，勾股定理，先由三视图得到该圆锥的高为，底面圆半径为，则由勾股定理可得母线长为，再根据圆锥侧面积底面周长母线长进行求解即可． 【详解】解：由三视图可知，该圆锥的高为，底面圆半径为， ∴母线长为， ∴这个圆锥的侧面积为， 故选：B． 6. 如图，点A、B、C、D在上，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．连接，则，由平行线的性质以及等腰三角形得到，再由三角形内角和定理求出，再由角度和差计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7. 已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求m的取值范围，根据方程的解列出关于m的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视． 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围，再根据分母不等于0，即可解答． 【详解】解：由得 ， ∴ ∵x的方程的解是正数， ∴且， ∴且， 解得且． 故选D． 8. 如图，在矩形中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧交于点P，作射线，交于点H，过点D作的垂线交的延长线于点Q，垂足为点G，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作图过程可知，为的平分线，，可得出．由矩形的性质可得，由勾股定理得，，则．在中，利用勾股定理求出的长，即可得出的长，再根据即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵四边形为矩形， ， 由勾股定理得，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得，． ∴，， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查作图-基本作图、角平分线定义、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9. 如图，曲线是抛物线的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是顶点），曲线是反比例函数的图象的一部分，由点开始不断重复形成一组“波浪线”．若点在该“波浪线”上，则的值为（　　） A. 1 B. 5 C. D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、找规律等知识点，找到规律，正确求出点坐标是解答本题的关键．首先将抛物线的解析式配成顶点式得到点B的坐标，然后令抛物线中的算出对应的函数值，可得点A的坐标；利用待定系数法求出反比例函数图象的解析式，将代入反比例函数解析式算出对应的函数值得到点C的坐标，从而发现5个单位为一个循环，进而即可得出点P的纵坐标与时对应的函数值相等，于是将代入算出对应的函数值即可得到m的值． 【详解】解：将代入抛物线，可得： ∴， ∵， 将代入抛物线，可得： ∴， ∵点在双曲线上 ∴ 将代入可得： ∴， ∵由点开始不断重复形成一组“波浪线” 又∵， ∴点纵坐标和时对应的函数值相等， ∴将代入得， ∴； 故选C． 10. 如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】通过证明，可得，可证；过作交于，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得；由平行线性质可得，，可证；通过证明，可得，可求，即可得，则可求解． 【详解】解：矩形中， ， ， ， 是边的中点， ， ， ，故①符合题意； 如图，过作交于， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，且， 是的垂直平分线， ，故②符合题意； 四边形是矩形， ，，， ，， ，故④符合题意； ， ， ， ，且，， ，且， ， ， ， ， ， ∴， 故③符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，斜边上的中线，中垂线的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式后，再运用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， ， 解得． 所以这个多边形的边数是10． 故答案为：10． 13. 已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，利用顶点式求出二次函数解析式，即可得到a和c的值，然后代入计算解题． 【详解】解：设抛物线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在半径为4的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的所在的圆恰好与相切，A，B为切点，则阴影部分的面积等于__________． 【答案】​ 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，翻折变换，正方形的判定与性质，解决本题的关键是掌握扇形面积的相关计算． 作O点关于的对称点，连接，可得四边形为菱形，再根据圆的切线的性质可得四边形为正方形，则，最后由阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：如图，作O点关于的对称点，连接， ∵， ∴四边形为菱形， ∵折叠后的与相切， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 15. 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图1，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，如图2，若，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 设，则，由勾股定理得，然后根据求出m，再根据根据即可求出a． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 三、解答题：本大题共8题，共75分． 16. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的加减乘除混合运算． （1）根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可； （2）先利用除法法则变形，约分得到最简结果，再通分并利用同分母分式的减法计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） 17. 【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等． 【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A，B两棵树（与河岸平行），于是他提出，在不过河的前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C，D，使与河岸平行，且，经测量，，． 【问题解决】（1）请根据乙同学的方案，计算出A，B两棵树之间的距离．（结果精确到整数，参考数据：，，） 【交流讨论】丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C，D，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度． （2）丙同学需要利用的__________值（填“正弦”，“余弦”或“正切”），先求出长为__________m（用三角函数表示），由和的长度，再利用__________三角形（填“全等”或“相似”）就可以得到的长度． 【答案】（1）；（2）余弦，，相似 【解析】 【分析】（1）作，根据等腰直角三角形的性质可得，再说明四边形为矩形，可得，，进而得出，然后根据，结合得出答案； （2）先根据余弦求出，进而求出，再说明，可得答案． 【详解】解：（1）过点作于点． ∵与河岸平行，与河岸平行， ∴， ∵ ∴， ∴四边形为矩形， ，， ∵， ∴， ， ， ， ， 在中，， ， ， 答：树与树之间的距离约为； （2）在中，， ， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：余弦，，相似． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，矩形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 18. 已知：4月22日是世界地球日，某校在“世界地球日”当天举行了丰富多彩的环保活动，其中活动类型有：A．环保主题绘画比赛：B．环保知识竞赛；C．植树活动；D．废旧物品创意改造；E．垃圾分类比赛；F．其他．该校为了解学生对以上环保活动的参与兴趣，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）参与本次调查的学生共有______人，喜欢废旧物品创意改造活动的人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为______． （2）请补全条形统计图； （3）全校学生共有2000人，请估计全校喜欢垃圾分类比赛的学生共有多少人？ （4）该校从B类中挑选出3名男生和2名女生，计划从这5名学生中随机抽取2名学生代表学校参加县环保知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】（1）300， （2）见解析 （3）100人 （4） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图，树状图求概率等知识点，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）用喜欢“C．植树活动”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生人数；用喜欢“废旧物品创意改造”的学生人数除以本次被调查的学生人数再乘以可得“废旧物品创意改造”类所对应的圆心角的度数； （2）求出喜欢“A．环保主题绘画比赛”和“E．垃圾分类比赛”的学生人数，补全条形统计图即可； （3）用喜欢“垃圾分类比赛”的学生人数除以本次被调查的学生人数再乘以2000即可． （4）列表得出所有等可能的结果数和所选的两人恰好都是男生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次被调查的学生人数人， 喜欢“废旧物品创意改造”的人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为， 故答案为：300，； 【小问2详解】 解：喜欢“A．环保主题绘画比赛”的学生人数人， 喜欢“E．垃圾分类比赛”的学生人数人， 【小问3详解】 解：补全条形统计图：如图所示． 【小问4详解】 解：三名男生分别记为A，B，C，两名女生分别记为a，b，列表统计如下： 由表格可以看出，所有结果共有20种，这些结果出现的可能性相等． 其中两名男生的情况有共6种可能． ． 19. 如图，一次函数的图象与x轴相交于A点，与反比例函数（，）的图象相交于点B，且点B的纵坐标为6． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是y轴上的一点，且，过点C作x轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点D、E，连接，当的面积为4时，求此时m的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式、函数图象上点坐标特点等知识，正确求出反比例函数的解析式是关键； （1）先根据点B在一次函数图象上求出点B的坐标，再代入反比例函数即可求出k，得到答案； （2）先由轴，得出点D、E的横坐标，进而可得关于m的关系式，然后由的面积为4得到关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与x轴相交于A点，与反比例函数的图象相交于点B，且点B的纵坐标为6． ∴当时，， ∴， ∴点B的坐标是， 把B代入，得， ∴反比例函数的表达式是； 【小问2详解】 解：∵，轴， ∴当时，，， ∴， 当的面积为4时， 可得, 即 解得：是原方程的根且符合题意； 即m的值为2． 20. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是直径， ， ． 21. 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．用2000元购进品种柑橘礼盒数与用2500元购进品种柑橘礼盒数相同． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】（1）、两种柑橘礼盒每件的售价分别为80元，100元 （2）要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒595盒，售出种柑橘礼盒405盒，最大收益为34050元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意列出正确的方程是解题的关键． （1）设种柑橘礼盒每件的售价为元，则种柑橘礼盒每件的售价为元，根据题意列出分式方程，即可求解； （2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，设收益为元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设种柑橘礼盒每件的售价为元，则种柑橘礼盒每件的售价为元， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴、两种柑橘礼盒每件的售价分别为80元，100元． 【小问2详解】 解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒， 根据题意得：， 解得：， 设收益为元，根据题意得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴售出种柑橘礼盒（盒）， ∴要使农户收益最大，销售方案售出种柑橘礼盒595盒，售出种柑橘礼盒405盒，最大收益为34050元． 22. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）仍然成立，理由见解析； （3）或 【解析】 【分析】延长交于点，根据矩形的性质和垂直的定义可证四边形是矩形，根据矩形的性质可知，根据直角三角形的性质可得； 由图可知，，从而可得：，由旋转可知，图中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，从而可证仍然成立； 当时，四边形是正方形，当点在线段上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得；当点在线段延长线上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 又， ， 故答案为：； 解：仍然成立， 理由如下， 由图可知，，， ， ， 由图可知，由旋转可得：， ， ， ， ， ， ；. 解：当时，四边形是正方形， 如图，当点在线段上时，连接、， 四边形和四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； 如图，当点在线段延长线上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据矩形的性质判断三角形相似，再利用相似三角形的性质找到边之间的关系． 23. [综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据顶点坐标公式列方程求解即可； （2）先求出，得到，求出点，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线图的顶点坐标为， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）∵直线与坐标轴交于，两点， ∴令，得，令，则，则 ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点， ∴，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， 对于，当时，， 解得，或， ∴, ∴ ∴， ∴ （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得 ， 解得，， ∴ 设M点坐标为，则， ∵， ∴当时，的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$