精品解析：福建漳州市芗城区2025-2026学年九年级第二学期适应性检测数学试题

2025-2026学年九年级第二学期适应性检测数学试题 满分：150分　考试时间：120分钟 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 的相反数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 榫卯是传统建筑与家具核心连接构件，图为某类榫卯结构，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年福建省政府工作报告中指出，全社会研发经费投入年均增长，高价值发明专利较“十四五”时期增长．新增“两院”院士9人，认定省级高层次人才12600人．12600用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在菱形中，对角线与相交于点O，点E为边中点．若，，则线段长度为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 估算 的值应在（ ） A. 4050和4051之间 B. 4000和5000之间 C. 4051和4052之间 D. 4051和4053之间 6. 六张背面相同卡片上分别写有2，，，π，0， 六个数，从这六张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上的数为有理数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，⊙O 是的外接圆，是的直径，过点 C 的切线交的延长线于点 E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 2025 年我国货物贸易进出口总值万亿元，同比增长．已知同比增长是指与上一年同期相比增长，设2024 年我国货物贸易进出口总值为x万亿元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图在四边形中，，，，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，点恰好在的延长线上．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线过四个不同点，，，，若，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：_________． 12. 方程组的解是_________． 13. 芗城中学生物兴趣小组探究不同光照时长对绿萝幼苗生长影响，选取20株长势一致的绿萝幼苗，随机均分为A，B两组（每组10株）．在相同温度、湿度等环境条件下，将A组置于“弱光环境”（每日光照4小时）、B组置于“强光环境”（每日光照8小时）培养30天，随后测量并记录每株绿萝生长的高度（单位：），绘制出如图所示的折线统计图．已知两组数据的平均数均为，则生长高度更稳定的是________组（填“A”或“B”）． 14. 反比例函数的图象如图所示，则符合条件的反比例函数的解析式可以为__________．（写出一个即可） 15. 如图是正边形的一部分，点，，，是该正多边形相邻的四个顶点，连接，若，则的值为__________． 16. 2026年春晚节目《武》燃爆全场，武校的孩子与国产机器人共同上演了一场传统与科技碰撞的视觉盛宴．如图 1是参与表演的型机器人摆出的一个武术造型，其头部点A与点B，C，D，E在同一平面内，上半身 垂直地面 于点 H，，其下半身可抽象成如图 2 所示的图形，其中 为直角三角形，，点B在上，，，则此时型机器人的高度为__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 在中，点，分别在，上，且，与交于点．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，平分交于点 D，E为上一点，G为延长线上一点，与交于点 F，． （1）求证：； （2）若A，F分别是，的中点，，求的长． 21. 如图，在中，， ． （1）在线段上求作点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，过点D作交的延长线于点 E，求的值． 22. 刘老师设计一些阳光课间活动，其中一项是定点投沙包，规则如下： 如图，四名同学站在同一起投线a上，每人前方一定距离处对应一个位于直线b上的圆圈，且．四名同学分别投掷沙包，共进行5局，每局的计分规则如下： ①若第一次投入圈中，则该局结束，得10分； ②若第一次未投入圈中，则继续投掷，直至投入圈中，每多投一次扣2分（比如前两次未投中，第三次投中，本局得6分）； ③每局每名同学最多可投5次，若第5次仍未投中，则该局得0分． 5 局结束后，累计得分最高者获胜． 四名同学5 局结束后的投圈次数条形统计图和统计表如下： 甲、乙每局投圈次数条形统计图 丙、丁每局投圈次数统计表 局次 一 二 三 四 五 丙每局投圈次数 5 m 3 1 2 丁每局投圈次数 4 x n 3 1 根据以上信息，解答下列问题． （1）当时，若乙、丁每局投圈次数的中位数相同，求n的值； （2）已知四名同学第二局投圈次数的平均数为3，求的值； （3）若丁5局投圈的总次数为 14次，甲同学说：“丁同学 5局累计得分最多是32 分．”请判断甲同学的说法是否正确，并结合计分规则说明理由． 23. 【数学文化阅读】 我国南宋时期著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，其实质是根据三角形的三边长来求三角形的面积．古希腊数学家海伦也有类似的公式，因此这个公式常被称为海伦秦九韶公式．它是解决“已知三角形三边长求面积”问题的经典公式，具体形式为：若一个三角形的三边长分别为，，，记（为三角形周长的一半，即半周长），则三角形的面积． （1）【数学理解】已知一个三角形的三边长分别为，，，请求出该三角形的面积． （2）【数学应用】小明在研究该公式时发现，当三角形三边长为连续整数时，面积公式可简化．设三角形三边长分别为，，（且为整数）． 试用含的代数式表示该三角形的面积，并化简； 若该三角形的面积为整数，求的最小值． （3）【拓展探究】某公园计划借助一面围墙，用一段长米的篱笆围一个三角形花圃．测得所用围墙的长度米，用篱笆围成的两边长分别为，，且米．设该三角形花圃的面积为，请求出的最大值，并判断此时围成的三角形花圃是否为特殊三角形． 24. 在平面直角坐标系中，像点 它们的横坐标都是纵坐标一半的相反数，我们把具有这种特征的点叫作“半反点”． （1）求出直线上“半反点”的坐标； （2）若抛物线 （b，c是常数）上只有一个“半反点”． ①求证：该抛物线的顶点在直线上； ②当 时，c的最小值恰好等于 ，求出m的值． 25. 如图，以的半径为边作矩形，且边在外．点B关于直线的对称点为D，连接，，． （1）如图1，若点D在上，求证：是等边三角形； （2）如图2，若与的交点为E，且点E在上，，分别交于点G，F． ①求 的值； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第二学期适应性检测数学试题 满分：150分　考试时间：120分钟 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 的相反数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 榫卯是传统建筑与家具核心连接构件，图为某类榫卯结构，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据主视图是从正面观察物体得到的视图，可看出整体是一个长方形，左侧有一个凹进去的矩形结构，即选项B符合题意． 3. 2026年福建省政府工作报告中指出，全社会研发经费投入年均增长，高价值发明专利较“十四五”时期增长．新增“两院”院士9人，认定省级高层次人才12600人．12600用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数，只需确定和的值即可求解． 【详解】解：12600用科学记数法表示为． 4. 在菱形中，对角线与相交于点O，点E为边中点．若，，则线段长度为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，，然后根据勾股定理及直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵点E为边中点， ∴． 5. 估算 的值应在（ ） A. 4050和4051之间 B. 4000和5000之间 C. 4051和4052之间 D. 4051和4053之间 【答案】C 【解析】 【分析】先展开化简原式，再利用平方数估算无理数的范围，即可得到结果． 【详解】解：展开原式：， ，且 ， ， 不等式同乘得：， 即 ， 不等式同加得：， 即 ， 原式的值在和之间． 6. 六张背面相同卡片上分别写有2，，，π，0， 六个数，从这六张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上的数为有理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据有理数的定义找出六个数中有理数的个数，再结合概率公式计算概率，即可得到结果． 【详解】解：∵ 共有6个数，所有等可能的结果共6种． 又∵ 有理数为整数和分数的统称，其中六个数中，有理数是，，，，共4个，即抽到有理数的结果有4种． ∴ 抽到有理数的概率为． 7. 如图，⊙O 是的外接圆，是的直径，过点 C 的切线交的延长线于点 E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质计算得到答案． 【详解】解：连接， 为的切线， . ∵， ， ∵， ∴， ∴， . 8. 2025 年我国货物贸易进出口总值万亿元，同比增长．已知同比增长是指与上一年同期相比增长，设2024 年我国货物贸易进出口总值为x万亿元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同比增长是相对上一年同期的增长率，增长率增长量上一年（基期）总值，据此列出方程即可判断选项． 【详解】解：∵设2024年我国货物贸易进出口总值为万亿元，2025年总值为万亿元，同比增长，同比增长以2024年总值为基期，增长量为， ∴可得方程． 9. 如图在四边形中，，，，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，点恰好在的延长线上．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是通过角度计算，并通过作辅助线构造直角三角形求解． 【详解】解：，，  ∴，   点在的延长线上，  ，   线段绕点逆时针旋转得到线段，  ∴，  ∵，，  ，  ∴， 在中，， 过点作交于点， ，  ∴， 在中，，，， 在中，，，  ∴是等腰直角三角形，  ∴，  ． 10. 抛物线过四个不同点，，，，若，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线上点的坐标满足函数解析式，结合推导和的关系，舍去两点重合的情况，再计算的值． 【详解】解：∵点，在抛物线上，且， ∴， 整理得， 因式分解得， ∵抛物线过四个不同点，若，则与横坐标相同，两点重合，不符合题意，舍去， ∴， 又∵，在抛物线上， ∴，， ∴， 将，代入得． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 12. 方程组的解是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由①得：③， 把③代入②得：， 整理得：，解得：， 把代入③得：， 原方程组的解为． 13. 芗城中学生物兴趣小组探究不同光照时长对绿萝幼苗生长影响，选取20株长势一致的绿萝幼苗，随机均分为A，B两组（每组10株）．在相同温度、湿度等环境条件下，将A组置于“弱光环境”（每日光照4小时）、B组置于“强光环境”（每日光照8小时）培养30天，随后测量并记录每株绿萝生长的高度（单位：），绘制出如图所示的折线统计图．已知两组数据的平均数均为，则生长高度更稳定的是________组（填“A”或“B”）． 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据折线统计图可知，A组波动较大，稳定性较差，B组波动较小，稳定性较强． 14. 反比例函数的图象如图所示，则符合条件的反比例函数的解析式可以为__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据点、点所在的反比例函数解析式可知，据此即可得到答案． 【详解】解：当反比例函数图象经过点时，函数解析式为， 当反比例函数图象经过点时，函数解析式为， 由反比例函数的图象可知，， 则符合条件的反比例函数的解析式可以为（答案不唯一，满足即可）． 15. 如图是正边形的一部分，点，，，是该正多边形相邻的四个顶点，连接，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交延长线于，根据正多边形的性质得出，，根据邻补角的定义得出，根据等角对等边得出，进而得出，根据等边对等角及四边形内角和得出，利用多边形内角和公式，列方程求出的值即可． 【详解】解：如图，延长，交延长线于， ∵点，，，是该正多边形相邻的四个顶点， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， 解得：． 16. 2026年春晚节目《武》燃爆全场，武校的孩子与国产机器人共同上演了一场传统与科技碰撞的视觉盛宴．如图 1是参与表演的型机器人摆出的一个武术造型，其头部点A与点B，C，D，E在同一平面内，上半身 垂直地面 于点 H，，其下半身可抽象成如图 2 所示的图形，其中 为直角三角形，，点B在上，，，则此时型机器人的高度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，，利用勾股定理求出，然后利用，列出比例式求出，进而即可求解 【详解】解：设，则，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∵ 为直角三角形， 垂直地面于点 H， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴此时型机器人的高度为 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 在中，点，分别在，上，且，与交于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先利用平行四边形对边平行且相等的性质，推得，进而得到内错角；再结合，通过线段的和差关系推出；最后在和中，依据判定定理证明两三角形全等，从而得出． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ； 当时，则原式． 20. 如图，在中，平分交于点 D，E为上一点，G为延长线上一点，与交于点 F，． （1）求证：； （2）若A，F分别是，的中点，，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）2 【解析】 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，再由三角形的外角定理可得，即可证明结论； （2）由（1）可知，，可得，可得，由A是的中点，可得，再由，可得，再由F是的中点，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∵A是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的长为2． 21. 如图，在中，， ． （1）在线段上求作点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，过点D作交的延长线于点 E，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，，以点为圆心，为半径画弧交于点，则，以点为圆心，的长为半径画弧交于点,则； （2）求出，证明，得到，即可得到的值． 【小问1详解】 解：∵在中，， ． ∴， ∴， ∴，2 以点为圆心，为半径画弧交于点，则，以点为圆心，的长为半径画弧交于点,则； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 22. 刘老师设计一些阳光课间活动，其中一项是定点投沙包，规则如下： 如图，四名同学站在同一起投线a上，每人前方一定距离处对应一个位于直线b上的圆圈，且．四名同学分别投掷沙包，共进行5局，每局的计分规则如下： ①若第一次投入圈中，则该局结束，得10分； ②若第一次未投入圈中，则继续投掷，直至投入圈中，每多投一次扣2分（比如前两次未投中，第三次投中，本局得6分）； ③每局每名同学最多可投5次，若第5次仍未投中，则该局得0分． 5 局结束后，累计得分最高者获胜． 四名同学5 局结束后的投圈次数条形统计图和统计表如下： 甲、乙每局投圈次数条形统计图 丙、丁每局投圈次数统计表 局次 一 二 三 四 五 丙每局投圈次数 5 m 3 1 2 丁每局投圈次数 4 x n 3 1 根据以上信息，解答下列问题． （1）当时，若乙、丁每局投圈次数的中位数相同，求n的值； （2）已知四名同学第二局投圈次数的平均数为3，求的值； （3）若丁5局投圈的总次数为 14次，甲同学说：“丁同学 5局累计得分最多是32 分．”请判断甲同学的说法是否正确，并结合计分规则说明理由． 【答案】（1）或 （2） （3）甲同学的说法正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数的含义求解即可； （2）根据平均数的含义求解即可； （3）先求解，根据计分规则得到每局的得分，进一步讨论即可． 【小问1详解】 解：由条形图可得乙每局的投圈次数从小到大分别为，，，，，， ∴中位数为， 当时， 丁每局的投圈次数为：，，，，，其中为到的整数， ∵乙、丁每局投圈次数的中位数相同， ∴丁每局的投圈次数的中位数为， ∴或． 【小问2详解】 解：∵四名同学第二局投圈次数的平均数为3， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：∵丁5局投圈的总次数为 14次， ∴， ∴， ∵为到的整数， ∴或或或或， ∵第一次投入圈中得分，第二次投入圈中得分，第三次投入圈中得分，第四次投入圈中得分，第五次投入圈中得分，第五次没有投中得分； ∴结合统计图可得： 局次 一 二 三 四 五 丁每局投圈次数 4 x n 3 1 丁每局得分 4 6 10 ∴当时，丁的得分为：（分）或（分）； 当时，丁的得分为：（分）； 当时，丁的得分为：（分）； 当时，丁的得分为：（分）； 当时，丁的得分为：（分）或（分）； ∴甲同学说：“丁同学 5局累计得分最多是32 分．”说法正确． 23. 【数学文化阅读】 我国南宋时期著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，其实质是根据三角形的三边长来求三角形的面积．古希腊数学家海伦也有类似的公式，因此这个公式常被称为海伦秦九韶公式．它是解决“已知三角形三边长求面积”问题的经典公式，具体形式为：若一个三角形的三边长分别为，，，记（为三角形周长的一半，即半周长），则三角形的面积． （1）【数学理解】已知一个三角形的三边长分别为，，，请求出该三角形的面积． （2）【数学应用】小明在研究该公式时发现，当三角形三边长为连续整数时，面积公式可简化．设三角形三边长分别为，，（且为整数）． 试用含的代数式表示该三角形的面积，并化简； 若该三角形的面积为整数，求的最小值． （3）【拓展探究】某公园计划借助一面围墙，用一段长米的篱笆围一个三角形花圃．测得所用围墙的长度米，用篱笆围成的两边长分别为，，且米．设该三角形花圃的面积为，请求出的最大值，并判断此时围成的三角形花圃是否为特殊三角形． 【答案】（1）； （2）；的最小值为； （3）的最大值为平方米，此时围成的三角形花圃是等腰三角形． 【解析】 【分析】（）直接代入公式计算即可； （）①代入公式化简得到面积表达式； ②根据整数要求验证得到最小的； （）先整理得到关于的表达式，再利用二次函数性质得到的最大值，进而求出的最大值，最后判断三角形形状． 【小问1详解】 解：已知三角形三边长，，， 根据公式得， ∴； 【小问2详解】 解：三角形三边长为，，，则， ∴，，， ∴； ∵且为整数，要使为整数， ∴当时，，不是整数， 当时，，是整数， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 又，则， ∴， ∴当时，的最大值为，此时， 将代入得（平方米）， 此时， ∴该三角形是等腰三角形， 答：的最大值为平方米，此时围成的三角形花圃是等腰三角形． 24. 在平面直角坐标系中，像点 它们的横坐标都是纵坐标一半的相反数，我们把具有这种特征的点叫作“半反点”． （1）求出直线上“半反点”的坐标； （2）若抛物线 （b，c是常数）上只有一个“半反点”． ①求证：该抛物线的顶点在直线上； ②当 时，c的最小值恰好等于 ，求出m的值． 【答案】（1） （2）①抛物线只有一个半反点， 即抛物线与只有一个交点， 联立得：， 整理为一元二次方程：， ∴， ∴解得， 抛物线顶点坐标：横坐标，纵坐标代入得： ， 即顶点坐标为， 将代入直线， ∴右边，等于顶点纵坐标， ∴顶点在直线上． ②或 【解析】 【分析】先根据“半反点”的定义，得到横坐标与纵坐标的关系，即， （1）联立与直线的方程，求解方程组即可得到对应的点坐标； （2）①联立与抛物线的方程，得到一元二次方程，因为只有一个“半反点”，所以该方程判别式，由此得到和的关系式；再求出抛物线的顶点坐标，将顶点横坐标代入直线，验证所得纵坐标和顶点纵坐标一致即可； ②根据①得到的关于的二次函数，分析该二次函数的开口方向与对称轴，结合的取值范围，分情况讨论取最小值时对应的的取值，再令最小值等于，求解对应的． 【小问1详解】 解：联立方程组：  ， 解得，， ∴半反点坐标为 ． 【小问2详解】 ① 略 ②解：由①得， ∴是的二次函数，且开口向上、对称轴为， 分情况讨论： 1．当： 最小值在处， ∴， 解得，均不满足，舍去； 2．当： 最小值在处， ∴，得，舍去； 3．当： 最小值在处， ∴， 解得​，均满足， ∴ 或 ． 25. 如图，以的半径为边作矩形，且边在外．点B关于直线的对称点为D，连接，，． （1）如图1，若点D在上，求证：是等边三角形； （2）如图2，若与的交点为E，且点E在上，，分别交于点G，F． ①求 的值； ②求证：． 【答案】（1）证明：∵矩形， ∴，，， ∵点B关于直线的对称点为D， ∴，，，， ∴，， 如图，连接，记的交点为， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴，而， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． （2）①， ②如图，由（1）同理可得：，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图，连接，记的交点为，证明，，进一步求解即可 （2）①如图，连接，延长交于，连接，结合（1）同理可得：，，，证明三点共线，设，，证明，可得，，进一步可得答案； ②由（1）同理可得：，，，证明，进一步证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，连接，延长交于，连接， 结合（1）同理可得：，，， ∴， ∴为直径， ∴三点共线， ∵， ∴， 设，， ∵ ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，（负根舍去） ∴ ， ∴． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $