精品解析：福建漳州市龙文区2025-2026学年九年级上学期期末适应性检测数学试卷

2025-2026学年上学期九年级数学期末练习 （练习时间：120分钟；总分：150分） 友情提示：请把所有答案填涂到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡涉及到画图，可先用铅笔画在答题卡上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的相应位置填涂． 1. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 2. 若反比例函数（k为常数，）的图象经过点，则下列各点在该函数图象上的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的问题，掌握反比例函数的性质以及应用是解题的关键． 将点代入求出反比例函数的解析式，再对各项进行判断即可． 【详解】解：将点代入得： ， 解得， ∴， 只有点在该函数图象上， 故选：C． 3. 一个不透明的口袋中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 白色 B. 黄色 C. 红色 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了频率，分别计算出摸出三种球的频率，再结合图表中提供的频率进行选择即可． 【详解】解：摸出白色球的频率为； 摸出黄球的频率为； 摸出红球的频率为； 由频率图可知是白球出现的频率， 故选：A． 4. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个正方形 D. 两个菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似图形的概念，依据“对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形”，逐一分析选项即可判断． 【详解】解：∵相似图形的定义是对应角相等且对应边成比例的图形． A选项：两个等腰三角形的顶角与底角不一定对应相等，∴不一定相似． B选项：两个直角三角形除直角外的两个锐角不一定对应相等，∴不一定相似． C选项：两个正方形的所有内角均为，对应角相等，且各边长度的比为定值，∴一定相似． D选项：两个菱形的对应角不一定相等，∴不一定相似． 故选：C． 5. 把二次函数 的图象向右平移4个单位长度后，所得图象相应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查“二次函数图象的平移”，掌握“上加下减解析式，左加右减自变量”的口诀是解题关键， 根据二次函数图象平移的性质，向右平移4个单位长度，即开口方向不变，顶点坐标向右平移4个单位长度，利用顶点式计算即可，也可根据口诀计算． 【详解】∵二次函数的图象的顶点坐标为， ∴向右平移4个单位长度后，所得图象的顶点坐标为， ∴所得图象的表达式为， 故选：A． 6. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度是（坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是  （    ） A. 米 B. 米 C. 15米 D. 10米 【答案】A 【解析】 【分析】Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长． 【详解】解：Rt△ABC中，BC＝5米，tanA＝1：； ∴AC＝BC÷tanA＝米． 故答案选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，解题的关键是熟练运用勾股定理． 7. 大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点是线段AB的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中． 根据黄金分割的定义得到，然后把的长度代入可求出的长． 【详解】解：∵为的黄金分割点， 故选：B． 8. 公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，利用配方法将原方程变形，结合图形即可解答． 【详解】解：， ； 按照这种构造方法，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解． 故选：B 9. 如图，在矩形中，对角线相交于点于点E，且，若，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． 先求得，得到，利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 已知抛物线（a，b，c是常数）开口向上，过两点，且．下列四个结论中正确的结论有（ ） ①；②若时，则； ③若点在拋物线上，，且，则； ④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的对称性，增减性，二次函数与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向上，即，对称轴直线为，且可判定①；根据二次函数对称轴直线的计算方法，图象过点的知识结合可判定②；根据题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，图象开口向下，由离对称轴越远值越小可判定③；根据二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解． 【详解】解：抛物线（，，是常数）开口向上， ∴， ∵二次函数图象过两点， ∴对称轴直线为， ∵， ∴， ∴，故①错误； 若，则， ∴， 把代入抛物线解析式得，， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴直线为，且， ∴， 已知点，在抛物线上，，且， ∴， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，故③错误； 已知抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为：， 令，整理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确． 综上所述，正确的有②④， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知线段按此顺序是成比例线段，其中，则d的值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义． 根据成比例线段的定义，线段a，b，c，d成比例即，代入已知数值求解即可． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， 即， ∴， 解得． 故答案为：3． 12. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的30万人增加到2025年的万人．则该市参加健身运动人数的年均增长率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设年均增长率为x，根据“从2023年的30万人增加到2025年的万人”列方程求解即可． 【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（舍去）． 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点，且，则菱形的周长为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质；根据菱形的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵为边的中点，且， ∴， ∴菱形的周长为； 故答案为：24． 14. 做小孔成像实验时，调整蜡烛和光屏的高度，使蜡烛的火焰、小孔和光屏的中心大致在一条直线上．若固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔O置于距离光屏的位置，测得烛焰的像高为，，则此时烛焰的高为________．（小孔大小和厚度忽略不计） 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合题意得，即可求出烛焰的高． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 15. 已知反比例函数的图象如图所示，点在反比例函数的图象上，连接两点，刚好经过原点，A为第四象限内一点，且与y轴平行，与x轴平行，若，则k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据对称性可得点关于原点对称，设点坐标，则可表示出；再根据“与y轴平行，与x轴平行”可知，从而可得A的坐标，进而可以表示出，最后根据列式求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，连接两点，刚好经过原点， ∴由反比例函数的对称性可知点关于原点对称， 设，则， ∵与y轴平行，与x轴平行， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据两式的乘积为零，至少有一个因式为零解答即可． 【详解】解： 或 解得，． 18. 如图，在中，为上一点，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据一对三角形中有两组角对应相等即可判断两个三角形相似，据此即可作答． 【详解】解：，， ， ， ． 19. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞试液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）． （1）小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液，求结果变红色的概率． （2）小明从上述4瓶溶液中挑选2瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法（用字母表示溶液名称），求小明所选的两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用概率公式计算概率和用列表或画树状图的方法计算概率． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【小问1详解】 解：总溶液4瓶，其中碱性溶液2瓶（氢氧化钠和氢氧化钙），酚酞变红需溶液为碱性， 故结果变红的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 第一瓶 第二瓶 A B C D A —— B —— C —— D —— 总共有12种等可能结果， 变红溶液为C和D，不能使酚酞变色的溶液为A和B， 两瓶溶液恰好都变红色的结果有：、，共2种， ∴概率为． 20. 如图，港口位于海岛的北偏西方向，灯塔在海岛的正东方向，，一艘海轮停靠在海岛的正北方向，且三点在同一条直线上，，求海岛与港口之间的距离．（参考数据：） 【答案】海岛与港口之间的距离为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的性质与判定．过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 答：海岛与港口之间的距离为． 21. 如图，已知． （1）求作菱形，使得点B在射线上；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，求（1）所作菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图——复杂作图，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握基本作图、解直角三角形． （1）作线段的垂直平分线交于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交的垂直平分线于点，连接、，根据线段垂直平分线的性质可知，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质及解直角三角形求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示菱形即为所求： 【小问2详解】 解：设，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即菱形的面积为． 22. 心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分）的变化规律如下图所示，当和时，图象都是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求所在的反比例函数表达式； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要18分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于32？请说明理由． 【答案】（1） （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用，理解题意是关键． （1）设所在反比例函数的解析式为，再代入即可得到答案； （2）先求解，再把代入一次函数与反比例函数计算，再进一步可得结论． 【小问1详解】 解：设所在反比例函数的解析式为：， ∵过点， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：老师安排合理，理由如下： 由题意，当时，， ∴, 设, ∵直线过点和， ∴， 解得， ∴， 令， ∴， ∴， 令， ∴， ∵， ∴老师安排合理． 23. 已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）先得出，，求出，再根据证明结论； （2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论． 【小问1详解】 解：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． 【小问2详解】 解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． 24. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 【答案】建立模型：；应用模型：（1）不能，理由见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． 建立模型：将点，代入计算即可得； 应用模型：（1）令，则可得，利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得； （2）先求出，再根据当时，；当时，建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：建立模型：将点，代入得：， 解得， 所以与的函数解析式为． 应用模型：（1）令，则， 整理得：， 这个方程根的判别式为，方程没有实数根， 所以羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到． （2）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ∴的值不变，即， ∴改变发球方式后，羽毛球飞行路线对应的抛物线为， ∵发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于， ∴当时，；当时，， ∴， 解得， 所以的取值范围为． 25. 如图，在正方形中，点E是边上的动点（不与点重合），，点F是射线上的点，且，连接交于点G，连接． （1）若正方形的边长为4，设， ①求（用含x的代数式表示）； ②求面积的最大值． （2）若，求证：点G是线段的中点． 【答案】（1）①；②2 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，一次函数及二次函数的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）①过点F作，交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，得，在中，，，根据勾股定理得； ②根据题意得的底为， 高为，由三角形面积公式得的面积是关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质可解答； （3）建立平面直角坐标系，求出直线直线的解析式为，可得点D的坐标，即可解决问题． 【小问1详解】 解：①过点F作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 又正方形的边长为4， ∴，， 在中，，，根据勾股定理得： ； ②∵的底为， 高为， ∴的面积， ∵， ∴二次函数图象开口向下，取最大值， ∴当时，最大值为2； 【小问2详解】 解：设，则， ∴, 由（1）知：，， 分别以所在直线为对称轴，点为原点建立平面直角坐标系，如图， 则，，， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得， 所以，直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 而， ∴，即点G是线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级数学期末练习 （练习时间：120分钟；总分：150分） 友情提示：请把所有答案填涂到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡涉及到画图，可先用铅笔画在答题卡上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的相应位置填涂． 1. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 若反比例函数（k为常数，）的图象经过点，则下列各点在该函数图象上的为（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的口袋中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 白色 B. 黄色 C. 红色 D. 无法确定 4. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个正方形 D. 两个菱形 5. 把二次函数 的图象向右平移4个单位长度后，所得图象相应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度是（坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是  （    ） A. 米 B. 米 C. 15米 D. 10米 7. 大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点是线段AB的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，对角线相交于点于点E，且，若，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 10. 已知抛物线（a，b，c是常数）开口向上，过两点，且．下列四个结论中正确的结论有（ ） ①；②若时，则； ③若点在拋物线上，，且，则； ④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知线段按此顺序是成比例线段，其中，则d的值是________． 12. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的30万人增加到2025年的万人．则该市参加健身运动人数的年均增长率是________． 13. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点，且，则菱形的周长为__________． 14. 做小孔成像实验时，调整蜡烛和光屏的高度，使蜡烛的火焰、小孔和光屏的中心大致在一条直线上．若固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔O置于距离光屏的位置，测得烛焰的像高为，，则此时烛焰的高为________．（小孔大小和厚度忽略不计） 15. 已知反比例函数的图象如图所示，点在反比例函数的图象上，连接两点，刚好经过原点，A为第四象限内一点，且与y轴平行，与x轴平行，若，则k的值是________． 16. 把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，为上一点，． 求证：． 19. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞试液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）． （1）小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液，求结果变红色的概率． （2）小明从上述4瓶溶液中挑选2瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法（用字母表示溶液名称），求小明所选的两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？ 20. 如图，港口位于海岛的北偏西方向，灯塔在海岛的正东方向，，一艘海轮停靠在海岛的正北方向，且三点在同一条直线上，，求海岛与港口之间的距离．（参考数据：） 21. 如图，已知． （1）求作菱形，使得点B在射线上；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，求（1）所作菱形的面积． 22. 心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分）的变化规律如下图所示，当和时，图象都是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求所在的反比例函数表达式； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要18分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于32？请说明理由． 23. 已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 24. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 25. 如图，在正方形中，点E是边上的动点（不与点重合），，点F是射线上的点，且，连接交于点G，连接． （1）若正方形的边长为4，设， ①求（用含x的代数式表示）； ②求面积的最大值． （2）若，求证：点G是线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $