总体集中、分散程度的估计 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦集中与离散程度估计，以基础概念到分层应用为逻辑链条，通过典型题培养数据意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集中趋势（均/中/众数）|2题|实际情境数据判读|从数据特征提取到统计量意义理解| |离散程度（方差/标准差）|3题|数据变换后统计量计算|概念应用到公式推导与性质迁移| |分层统计量|4题|分层抽样总体方差估计|基础统计量到复杂数据综合分析|

总体集中、离散程度的估计 地 城 考点01 平均数、中位数、众数 1. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 【答案】C 【详解】苗高由小到大排列为：， 所以这组数据的众数和中位数分别是23，24. 2. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(　　) A.甲地：平均数为3，中位数为4 B.乙地：平均数为1，众数为0 C.丙地：中位数为2，众数为3 D.丁地：平均数为1，中位数为1 【答案】D 对于A，因为平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，如0，0，0，0，4，4，4，4，6，8，所以A不正确； 对于B，因为平均数和众数不能限制某一天的病例超过7人，如0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，所以B不正确； 对于C，因为中位数和众数不能限制某一天的病例超过7人，如0，0，0，0，2，2，3，3，3，8，所以C不正确； 对于D，假设过去10天新增疑似病例数据存在一个数据x，x≥8，而平均数为1，则过去10天新增疑似病例数据中至少有7个0，故中位数不可能为1，所以假设不成立，故符合没有发生大规模群体感染的标志，所以D正确．故选D. 地 城 考点02 方差、标准差的计算与应用 1. 已知数据的平均数为10，方差为5，数据的平均数为，方差为，则（   ） A． =10，=14 B． =9，=44 C． =29，=45 D． =29，=44 【答案】C 2. 若数据、、…、的平均数是4，方差是4，数据、、…、的平均数是，标准差是，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D. 3. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（    ） A．数据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 【答案】ACD 【详解】依题意，，， 对A：，故A正确: 对B：依题意，， 所以数据的方差为： ，故B错误； 对C：，故C正确; 对D：由 ，解得，故D正确. 地 城 考点3 分层平均数、方差 1. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（    ） A．1.86 B．1.88 C．1.9 D．1.92 【答案】D 【详解】由题意，总体的平均数为小时， 根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为： ． 2. 某班40人随机分成两组，第1组15人，第2组25人，两组学生一次数学考试的成绩(单位：分)情况如下表： 组别 平均分 标准差 第1组 84 6 第2组 80 4 求全班学生这次数学考试的平均成绩和方差． 解析：由题意，知第1组这次数学考试的平均分1＝84，方差s＝62＝36，权重w1＝， 第2组这次数学考试的平均分2＝80，方差s＝42＝16，权重w2＝. 故全班学生这次数学考试的平均成绩＝×84＋×80＝81.5(分)， 方差s2＝w1[s＋(1－)2]＋w2[s＋(2－)2]＝×[36＋(84－81.5)2]＋×[16＋(80－81.5)2]＝27.25. 4. 已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则 这组新数据的平均数为 这组新数据的方差为 依题意，这组新数据的平均数为＝6， 方差为×[2＋(7－6)2]＋×[0＋(1－6)2]＝. 5. 已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数＝6，方差s2＝21，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n＝________． 因为去掉一个数据之后，数据的平均数没有变，所以去掉的数据为6，去掉6后方差变为24，故得到24(n－1)＝21n，解得n＝8. 学科网（北京）股份有限公司 $ 总体集中、离散程度的估计 地 城 考点01 平均数、中位数、众数 1. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 2. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(　　) A.甲地：平均数为3，中位数为4 B.乙地：平均数为1，众数为0 C.丙地：中位数为2，众数为3 D.丁地：平均数为1，中位数为1 地 城 考点02 方差、标准差的计算与应用 1. 已知数据的平均数为10，方差为5，数据的平均数为，方差为，则（   ） A． =10，=14 B． =9，=44 C． =29，=45 D． =29，=44 2. 若数据、、…、的平均数是4，方差是4，数据、、…、的平均数是，标准差是，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（    ） A．数据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 地 城 考点3 分层平均数、方差 1. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（    ） A．1.86 B．1.88 C．1.9 D．1.92 2. 某班40人随机分成两组，第1组15人，第2组25人，两组学生一次数学考试的成绩(单位：分)情况如下表： 组别 平均分 标准差 第1组 84 6 第2组 80 4 求全班学生这次数学考试的平均成绩和方差． 3. 已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则 这组新数据的平均数为 这组新数据的方差为 4. 已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数＝6，方差s2＝21，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $