9.2.3 总体集中趋势的估计（五大题型）训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.2.3 总体集中趋势的估计 题型一 计算几个数的众数 1．数据1，2，2，3，3，3，4，4的众数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据众数的定义判断即可． 【详解】3在该组数据中出现的次数最多，所以众数为3． 故选：C． 2．如图，这是某校写作兴趣小组25名同学暑假的课外阅读量（单位：本）的折线统计图，则（   ） A．这25名同学暑假的课外阅读量的众数是4本 B．这25名同学暑假的课外阅读量的中位数是5本 C．这25名同学暑假的课外阅读量的平均数是4.4本 D．这25名同学暑假的课外阅读量的第80百分位数是6本 【答案】BCD 【详解】由图可得课外阅读量为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人， 为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人， 对于A，这25名同学暑假的课外阅读量的众数是5本，A错误； 对于B，将课外阅读量按照从小到大排列，第个数为，中位数是5本，B正确； 对于C，平均数是本，C正确； 对于D，，将课外阅读量按照从小到大排列，第个数为，第个数为， 所以这25名同学暑假的课外阅读量的第80百分位数是6本，D正确. 3．小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数，并将记录结果整理成了如下的统计表： 步数/万步 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 天数 3 7 5 12 3 在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是__________． 【答案】、 【分析】根据众数、中位数的定义及表格数据求众数和中位数. 【详解】由众数的定义，根据表格知走万步共有12天，即众数为， 由中位数的定义，根据表格知第15、16个数据分别为、，即中位数为. 故答案为：、 4．下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）： 一班 19 33 26 29 28 33 34 35 33 33 30 二班 25 27 29 28 29 30 29 35 29 30 29 (1)这两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？ (2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？ 【答案】(1)平均数为30.27次；29.09次；中位数33次，29次，众数33次，29次． (2)平均数 【分析】（1）利用平均数、中位数和众数的概念计算即可； （2）利用平均数、中位数和众数的统计意义分析即可. 【详解】（1）一班平均数为（次）， 一班数据从小到大排列为：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35， 所以一班的中位数为33次，33出现的次数最多，众数是33次； 二班平均数为（次）， 二班数据从小到大排列为：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35， 所以二班的中位数是29次，29出现的次数最多，所以二班的众数是29次． （2）运用平均数表示两个班的成绩更合适． 题型二 根据众数计算参数 5．一组数据3.6，3.7，3.5，3.6，3.9，3.8，x，3.5中，众数只有3.5，则x的取值为（    ） A．3.5 B．3.4 C．3.2 D．3.1 【答案】A 【分析】根据众数定义，3.5的个数最多，由此可确定的值． 【详解】当时，众数就应该是3.5． 故选：A． 6．已知一组数据为，6，8，x，12，且这组数据的众数为6，那么下列说法正确的是（    ） A．数据的中位数是6 B．数据的平均数是6 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据众数、中位数、平均数的定义可得答案. 【详解】众数是指出现次数最多的数据，所以， 将这组数据按从小到大的顺序排列：，6，6，8，12， 中位数是指处于中间位置的数，即为6，平均数为． 故选：ABC. 7．五名学生每人投篮15次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据，若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次数的总和最大是_________. 【答案】29 【分析】假设五个数据按照由小到大排列为，根据中位数和众数的定义可求出的值，再由两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，从而可求出这五个数和的范围，进而可得答案. 【详解】假设五个数据按照由小到大排列为， 因为这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7， 所以，所以最大的三个数的和为， 因为两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，最大为4和5， 所以这五个数的和一定大于20且小于等于29， 故答案为：29 8．为隆重纪念中国共产党成立100周年，进一步激发师生的爱党爱国热情，某校开展了四项庆祝活动：A、感党恩·我们诵；B、听党话·我们唱；C、跟党走·我们画；D、学党史·我们写．其中C项活动全体同学参与，预计成绩可获一等奖，成绩可获二等奖，随机抽取50个同学的作品进行打分并对成绩进行整理、分析，得到频数分布直方图如下： 收集其中这一组成绩如下： n    93    92    98    95    95    96    91    94    96 整理该组数据得下表： 组别 平均数 中位数 众数 获奖组 94.5 95 95 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布直方图中，求m的值； （2）组中求n的值； （3）已知该校有1200名学生，估计本次活动获一等奖的同学有多少人？ 【答案】（1）12；（2）95；（3）72人. 【分析】（1）根据样本容量为50，列方程求参数m； （2）利用众数的概念，结合收集的成绩数据，即可知n的值； （3）根据抽样的等比例原则，求本次活动获一等奖的同学人数. 【详解】（1），解得； （2）由组的成绩知：95，96都出现了2次，而该组数据的众数是95， ∴n＝95， （3）抽取50个同学的作品成绩中95＜x≤100的人数为3， ∴1200×＝72（人）. 题型三 由茎叶图计算众数 9．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的众数是（    ） A．45 B．47 C．48 D．63 【答案】A 【分析】根据众数的概念即得. 【详解】根据茎叶图可知该样本的众数是45. 故选：A. 10．年大连市举办了“脱颖杯”青年教师教学比赛，有7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分．现评委为某选手的具体评分如茎叶图所示，则以下选项正确的有（    ） A．七名评委评分的极差为13分 B．七名评委评分的众数为 C．七名评委评分的分位数为 D．评分中位数小于选手最终得分数 【答案】ABC 【分析】将数据由小到大排列，然后分别计算即可判断. 【详解】根据茎叶图，这名选手的得分分别为79，86，87，90，91，91，92. 对A，可知极差为，A正确； 对B，91分出现的最多，因此众数为91，B正确； 对C，因为数据个数为7，且已从小到大排列，又，所以该组数据的分位数为，C正确； 对D，由于要去掉一个最高分和一个最低分，因此这名选手的成绩为 ，而中位数为90，则评分中位数大于选手最终得分，D错误. 故选：ABC. 11．如图是2020年某大学自主招生面试环节中，7名评委为某考生打出的分数的茎叶图，该组数据的众数为___________. 【答案】84 【分析】根据茎叶图，结合众数的概念求解即可. 【详解】解：根据茎叶图可知，7名评委为某考生打出的分数分别为， 所以，该组数据的众数为. 故答案为： 12．随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm）获得身高数据的茎叶图如图. （1）根据茎叶图求各班的众数、中位数. （2）计算甲班的样本方差； （3）现从乙班名同学中随机抽取两名身高不低于的同学，求身高为的同学被抽中的概率. 【答案】（1）甲班身高众数为和，中位数是；乙班身高没有众数，中位数是；（2） ；（3）. 【解析】（1）根据茎叶图中的数据，即可求出各班的众数、中位数； （2）首先计算平均数，再根据方差公式计算即可； （3）根据题意，把总的基本事件全部列出来，再从中找出含有身高为176cm的同学，即可得概率. 【详解】（1）根据茎叶图， 甲班身高为， 众数为和，中位数是， 乙班身高为， 没有众数，中位数是， （2）甲班身高平均数 甲班的样本方差 （3）设身高为176cm的同学被抽为事件， 从乙班10名同学中随机抽取两名身高不低于的同学有： ，，，，，，，，，共10个基本事件，而事件包含的基本事件有，，，共有个，所以， 【点睛】本题主要考查了由茎叶图求众数、中位数，平均数，考查了古典概型概率公式，属于中档题. 题型四 用众数的代表意义解决实际问题 13．抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）．在这组数据的平均数、中位数、众数和方差中，鞋厂最感兴趣的是（   ） 鞋码号 33 34 35 36 37 人数 2 6 20 1 1 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】鞋厂最感兴趣的是销售量，即可根据数据的数字特征来判定. 【详解】鞋厂最感兴趣的是销售量最多的鞋号，即为数据的众数，故鞋厂最感兴趣的是众数. 故选 ：C. 14．某市在某次高中生物考试中，随机抽取了400名考生的考试成绩（百分制），并将其按区间，，，，，分成六组，得到频率分布直方图如图所示，其中60分以下视为不及格，则下列说法正确的是（    ） A．这400名考生中成绩在内的考生人数最多 B．这400名考生中考试不及格的考生人数为100 C．在该市参加这次考试的考生中任取一名考生，该考生考试不及格的概率为 D．这400名考生考试成绩的中位数约为71.67 【答案】ABD 【分析】根据频率分布直方图分别计算可得结果. 【详解】由频率分布直方图可得，成绩在内的考生所占频率最高， 所以成绩在内的考生人数最多，故A符合题意； 易得成绩在内的考生所占频率为0.25，因此考试不及格的考生人数为，故B符合题意； 易得抽取的400名考生中考试不及格的考生所占频率为0.25， 但在该市参加这次考试的考生中任取一名考生，该考生考试不及格的概率不一定为，故C不符合题意； 因为成绩在内的考生所占频率为0.45，成绩在内的考生所占频率为0.3， 所以这400名考生考试成绩的中位数为，故D符合题意. 故选：ABD 15．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某班级准备利用暑假进行“请党放心，强国有我”为主题的研学旅行．为了便于识别，该班级准备定做一批容量一致的双肩包．为此，班级负责人征求班内同学的意向，得到如下数据：为了照顾到绝大多数人的需求，则应该定做双肩包的容量为______． 容量 23 25 27 29 31 33 频数 3 4 5 26 3 2 【答案】29 【分析】根据表中数据直接求解即可. 【详解】解：由题知，容量为29的双肩包的频数为26，大于其他容量的频数， 所以，为了照顾到绝大多数人的需求，则应该定做双肩包的容量为29. 故答案为：29 16．下面的说法是否恰当？为什么？ (1)5人中有4名学生，1名教师，其中3名学生16岁，1名学生18岁，1名教师59岁，用他们的平均年龄25岁作为他们年龄的代表值. (2)某服装店生产一种男式运动衫，店里决定用顾客购买的这种运动衫尺码的平均数作为生产的标准尺码（即生产的这种运动衫中大多数为该尺码）. (3)在一次满分为30分的小测试中，某小组的成绩是5个20分，3个26分，1个29分.采用中位数20作为这组数据的代表值. 【答案】(1)不恰当，理由见解析 (2)不恰当，理由见解析 (3)不恰当，理由见解析 【分析】（1）根据平均数的定义判断即可； （2）根据平均数和众数的定义判断即可； （3）根据中位数和众数的定义判断即可. 【详解】（1）不恰当.因为教师的年龄与学生的年龄差异太大，明显地拉高了平均数.此时平均数没有代表性. （2）不恰当.销售商品的型号应该以众数为最多进货或生产的标准，平均数无太大的参考价值. （3）由于测试的分数分布很特殊，中位数即为最小数，用中位数来代表小组的水平不恰当. 题型五 根据频率分布直方图计算众数 17．从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】根据众数的定义可得， 该批零件直径的众数的估计值为高度最高的矩形条所对应的区间的中点值. 故选：A. 18．某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值为0.015 B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C．估计总体中成绩落在内的学生人数105 D．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 【答案】AB 【分析】对A ，利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，列方程求解的值；对 B，众数为最高矩形底边中点的横坐标，取区间[70,80)的中点 75；对C ，先算[80,90)的频率，再乘以总体 300 得到估计人数；对D ，根据前几组频率和确定第 80 百分位数所在区间，再用插值法计算. 【详解】对于A：由，解得，A正确； 对于B：因为直方图中最高矩形对应区间为，所以估计这40名学生数学考试成绩的众数为，B正确； 对于C：区间对应的频率为，， 所以估计总体中成绩落在的学生人数为，C错误； 对于D：前三组的频率和为，第四组的频率为， 因为，所以第百分位数落在区间内， 由，即估计这名学生数学考试成绩的第百分位数约为，D错误； 故选：AB. 19．中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计.将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.则这400名学生视力的众数为________ 【答案】/ 【分析】根据频率分布直方图中众数的求法求解即可. 【详解】由图可知，众数为. 故答案为：. 20．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 【答案】(1)，第75百分位数是84 (2)样本成绩的众数、中位数和平均数分别约为，75，74 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1列方程可求得的值，根据百分位数的定义可求解第75百分位数；（2）频率分布直方图中，众数的估计值是最高矩形对应区间的中间值，中位数的估计值左右两边矩形面积和均为，平均数的估计值是每组的组中值乘以该组的频率之和. 【详解】（1）因为频率分布直方图中所有矩形的面积和为1， 所以，解得. 样本成绩在内的频率为，在内的频率为， 所以第75百分位数，所以，解得，即样本成绩的第75百分位数是84. （2）因为最高矩形对应的区间为，所以样本成绩的众数约为； 由（1）知样本成绩在内的频率为，而成绩在内的频率为， 所以中位数，所以，解得，即样本成绩的中位数约为； 由得样本成绩的平均数约为74. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.3 总体集中趋势的估计 题型一 计算几个数的众数 1．数据1，2，2，3，3，3，4，4的众数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，这是某校写作兴趣小组25名同学暑假的课外阅读量（单位：本）的折线统计图，则（   ） A．这25名同学暑假的课外阅读量的众数是4本 B．这25名同学暑假的课外阅读量的中位数是5本 C．这25名同学暑假的课外阅读量的平均数是4.4本 D．这25名同学暑假的课外阅读量的第80百分位数是6本 3．小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数，并将记录结果整理成了如下的统计表： 步数/万步 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 天数 3 7 5 12 3 在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是__________． 4．下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）： 一班 19 33 26 29 28 33 34 35 33 33 30 二班 25 27 29 28 29 30 29 35 29 30 29 (1)这两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？ (2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？ 题型二 根据众数计算参数 5．一组数据3.6，3.7，3.5，3.6，3.9，3.8，x，3.5中，众数只有3.5，则x的取值为（    ） A．3.5 B．3.4 C．3.2 D．3.1 6．已知一组数据为，6，8，x，12，且这组数据的众数为6，那么下列说法正确的是（    ） A．数据的中位数是6 B．数据的平均数是6 C． D． 7．五名学生每人投篮15次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据，若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次数的总和最大是_________. 8．为隆重纪念中国共产党成立100周年，进一步激发师生的爱党爱国热情，某校开展了四项庆祝活动：A、感党恩·我们诵；B、听党话·我们唱；C、跟党走·我们画；D、学党史·我们写．其中C项活动全体同学参与，预计成绩可获一等奖，成绩可获二等奖，随机抽取50个同学的作品进行打分并对成绩进行整理、分析，得到频数分布直方图如下： 收集其中这一组成绩如下： n    93    92    98    95    95    96    91    94    96 整理该组数据得下表： 组别 平均数 中位数 众数 获奖组 94.5 95 95 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布直方图中，求m的值； （2）组中求n的值； （3）已知该校有1200名学生，估计本次活动获一等奖的同学有多少人？ 题型三 由茎叶图计算众数 9．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的众数是（    ） A．45 B．47 C．48 D．63 10．年大连市举办了“脱颖杯”青年教师教学比赛，有7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分．现评委为某选手的具体评分如茎叶图所示，则以下选项正确的有（    ） A．七名评委评分的极差为13分 B．七名评委评分的众数为 C．七名评委评分的分位数为 D．评分中位数小于选手最终得分数 11．如图是2020年某大学自主招生面试环节中，7名评委为某考生打出的分数的茎叶图，该组数据的众数为___________. 12．随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm）获得身高数据的茎叶图如图. （1）根据茎叶图求各班的众数、中位数. （2）计算甲班的样本方差； （3）现从乙班名同学中随机抽取两名身高不低于的同学，求身高为的同学被抽中的概率. 题型四 用众数的代表意义解决实际问题 13．抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）．在这组数据的平均数、中位数、众数和方差中，鞋厂最感兴趣的是（   ） 鞋码号 33 34 35 36 37 人数 2 6 20 1 1 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 14．某市在某次高中生物考试中，随机抽取了400名考生的考试成绩（百分制），并将其按区间，，，，，分成六组，得到频率分布直方图如图所示，其中60分以下视为不及格，则下列说法正确的是（    ） A．这400名考生中成绩在内的考生人数最多 B．这400名考生中考试不及格的考生人数为100 C．在该市参加这次考试的考生中任取一名考生，该考生考试不及格的概率为 D．这400名考生考试成绩的中位数约为71.67 15．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某班级准备利用暑假进行“请党放心，强国有我”为主题的研学旅行．为了便于识别，该班级准备定做一批容量一致的双肩包．为此，班级负责人征求班内同学的意向，得到如下数据：为了照顾到绝大多数人的需求，则应该定做双肩包的容量为______． 容量 23 25 27 29 31 33 频数 3 4 5 26 3 2 16．下面的说法是否恰当？为什么？ (1)5人中有4名学生，1名教师，其中3名学生16岁，1名学生18岁，1名教师59岁，用他们的平均年龄25岁作为他们年龄的代表值. (2)某服装店生产一种男式运动衫，店里决定用顾客购买的这种运动衫尺码的平均数作为生产的标准尺码（即生产的这种运动衫中大多数为该尺码）. (3)在一次满分为30分的小测试中，某小组的成绩是5个20分，3个26分，1个29分.采用中位数20作为这组数据的代表值. 题型五 根据频率分布直方图计算众数 17．从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（    ） A． B． C． D． 18．某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值为0.015 B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C．估计总体中成绩落在内的学生人数105 D．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 19．中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计.将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.则这400名学生视力的众数为_______ 20．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 1 学科网（北京）股份有限公司 $