广东江门市广德实验学校2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题A卷

江门市广德实验学校2025一2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学试题A卷 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.复数(1-2)i的虚部是 A.1 B.-1 C.i D.-i 2.若向量a=(x,2),i=(1,2),且a1i,则同=() A.2W5 B.4 C.3√2 D.2W5 3.已知角a终边上一点P的坐标为(5，-12)，则sin a的值是 B号 c 4.若ta10=3,则sin20-sin20=（) 3 A.5 3 B10 c. D品 5.若一个圆锥的轴截面是边长为2√5的正三角形，则该圆锥的体积为() A.3π B.4π C.5π D.6π 6石m怎片则-2特T() (3 A. c D. 9 7.在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC,且PB=AB=2,BC=1,∠ABC=60°，则该三棱锥的外接球的体积为 () A.25元 B.&V2 C.16v -元 D.32V2 3 3 3 3 3c2 8.在AABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c,若C= 9 ab,则sinA-sinB=() 4 B.± 6 C.7 2 D.± 2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分：共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.对于非零向量ā，b,下列命题正确的是() A.若a:b=0,则a∥ B.若aLb,则ab=(a.b) C.若ad=b.c,则a=b 试卷第1页，共5页 D.若a-b=a+b,则a6=0 10.已知函数f(x)=Acos(ax+p) 4>0,w>01水k)的部分图像如图所示，将)的图像向左平移个单位长度， 2 再向上平移1个单位长度后得到函数g(x)的图像，则() y 2π 0 2 6 A.=2os2- B.g()=2cos2x++1 6 C.3()的图像关于点[G0对称 +k D.g在12 ,5元+kmke2)上单调递诚 11.在正方体ABCD-ABCD中，E,F,G分别为BC,CC,BB的中点，则() D C A B G A.直线DD与直线AF异面 B.直线AG与平面AEF平行 C.平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形 D.三棱锥A-CBF的体积是正方体ABCD-ABCA体积的8 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.已知圆锥与圆柱的底面半径相等，它们的高也相等，若圆柱的底面积为9π，侧面积为24π，则圆锥的表面积为 13.已知a=(1,5),万=(3，m).若b在a方向上的数量投影为3，则实数m= 14.已知函数f()-=号cos2ax-5 sin(o>0),在0，) 上有且仅有3个不同的零点，则ω的取值范围为 试卷第2页，共5页 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.如图，在平行四边形ABCD中，AE=2EB,DF=3F丽，设AB=a,AD=b.注：本小题几何方法求解不得分. (1)用a,b表示BD,AF: (2)用平面向量证明：E,F,C三点共线. 16.已知函数f0)=2sm2x) (1)求函数∫(x)的最小正周期和对称轴方程 (2)求函数f(x)在x∈ -π7π 12'12 的单调递增区间； )当xe0,2】 时，求函数f(x)的最大值与最小值： 试卷第3页，共5页 I7.如图，己知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M、从Q分别是PA、BD、PD的中点.求证： P B (I)MN∥平面PCD: (2)平面MNQ∥平面PBC. 18.已知a,b,c分别为AABC三个内角A,B,C的对边，且acosC+√3 asinC=b+c. (1)求A: (②)若B=5,π，c=2,求4ABC的面积： (3)若△ABC的面积为2W3,a=2√2，D为线段BC的中点，求线段AD的长. 试卷第4页，共5页 19.如图，在△ABD中，AB=1,AD=2,点C为△ABD外接圆上的一个动点（点A,C在直线BD两侧）. D @活4D-子，求砺D的值： (2)若AB.AD=-1,求四边形ABCD周长的最大值； (3)若AC=2AB+AD,求|AC|. 试卷第5页，共5页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B A B B BD ABD 题号 11 答案 ABC 1.A 【详解】试题分析：由题；(1-2)-i=√2+i,则它的虚部为：1. 考点：复数的运算及其概念 2.D 【分析】根据向量垂直的坐标表示求x,再由向量的模的坐标表示即得 【详解】由a1b,可得-x+2x2=0, 所以x=4,a=(2,2), a=V42+4=20=25. 故选：D 3.A 【解析】根据三角函数定义，sinx=亗，即可求解 【详解】由题意， r=5+(-12)2=13 sinx==-12 r13 故选：A 【点睛】本题考查三角函数定义，属于基本题 4.B 【分析】首先，根据an8=s血6-3，可以得到sin0=3cos9.然后利用sin20+cos0=1求出cos9和sim26的值， cose 再根据二倍角公式sin20=2sn0cos0求出sin28的值，最后代入式子计算. 【详解】因为sin0=3cos0且sin6+cos20=1,将sin0=3cos0代入sin20+cos20=1得： (3c0s6y+c0s0=1,9c0s20+c0s20=1,10c0s20=1,所以c0s20=1 10 山面04or0-1,am90可物m9=1-cmg=1-0品 因为sin20=2sin0cos6,又sin0=3cos0,所以sin20=2×3cos0×cos0=6cos20, 由cw0-0可得n20-8号 63 答案第1页，共10页 将sim26=9 m29代入sm0-sm28可得： 5 939-63 sin20-sin2θ= 105-10-10 故选：B. 5.A 【分析】由题意可得该圆锥底面半径、母线长，则可得高，再利用体积公式计算即可得. 【详解】由题意可得该圆锥底面半径为5，母线长为2√3， 则商为、2w可-（可-3，则-××(×3-3 故选：A. 6.A 【解析】根据sin 利用透号公式得到co后+0再走cm任+2小上m行+》利用=倍角公 式求解 【解1因为m(后am任（后》} 所以+a 故选：A 7.B 【分析】利用余弦定理求得AC,利用正弦定理计算出VABC的外接圆直径2，可计算出三棱锥P-ABC的外接球 半径R,然后利用球体体积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，圆柱OO2的底面圆直径为2r,圆柱的母线长为h, 则OO2的中点O到圆柱底面圆上每点的距离都相等， 所以，圆柱OO的外接球直径为2R=√(2r)}+R。 2R 答案第2页，共10页 本题中，作出VABC的外接圆O,,由于PB⊥平面ABC,可将三棱锥P-ABC放在圆柱OO2中， A万、 B 在VABC中，AB=2,BC=1,∠ABC=60°， 由余弦定理可得AC=VAB+BC-2AB.BCc0s∠ABC=4+1-2x2x1x-5, 2 AC 3 由正弦定理可知，VABC的外接圆直径为2” =2 sin∠ABCV3 2 则三棱锥P-ABC的外接球直径为2R=√PB2+(2r}=√2+22=2√2，则R=√2， 因此，三棱锥P-ABC的外接球的体积为V=4元 3 故选：B. 8.B 【分】利用余弦定理化简得出口-小：士气。，再利用正孩定程结合连比定理可求得结是 【详解】由余弦定理可得c2=a+公-2 abcosC=:+b-b=9b, 41 所以a+h=b,所以(a--0骨号-言c,放ab-±5 4 4 49 9 sin4 sin8nC,可得a-b 由正弦定理可得a=6-。 sin A-sin B sin C' 故in4-sinB=a-bnc=±5x5=±5 32 6 故选：B. 9.BD 【分析】利用向量数量积的运算律以及有关概念对各个选项进行判断即可. 【详解】A.若a.6=0,则aLb,故错误； B.若aLb,则a.6=0,所以ā万=(@b)成立，故正确： C.当c为零向量时，满足a.c=b.c,但是推不出a=b,故错误； D.若a-=a+,则la-=la+，可得-2a.6+=+2a.b+, 整理即可得到āb=0,故正确； 故选：BD 答案第3页，共10页 10.ABD 【分析】利用函数图像先把解析式求出来，然后逐项分析即可 【详解】由图像可知函数f(x)的最大值为2，最小值为-2，所以A=2, T_2π-元-元 236227=元， 又T=2弧→0=2 0 又f②=22os2x若+0=2 所以等+0-2kke刀→0-2kx-ke2) 叉刘p牙所以9=音 =2o2x-到 故A正确， 将f)的图像向左平移严个单位长度，再向上平移1个单位长度后得 gt-2co2+星到}-12aos2r)+1枚B运项正确， 由2r+= 6 +kr(k eZ)→x=T+ 2 6 所以(x)的图像关于点 〔对称，故c箱误 由2k元≤2x+T≤2kπ+元(keZ 6 即行短≤s设ak= 12 所以选项D正确 故选：ABD. 11.ABC 【分析】根据异面直线定义、面面平行的判定定理以及性质定理以及三棱锥的体积求解方法可求得正确选项. 【详解】 答案第4页，共10页 D M A B G D C E B 对于选项A,易知AF与DD异面，选项A正确： 对于选项B,取RC的中点为M,连接AM、GM,则AMI∥AB,GMIEF,易证平面AMG/平面AEF,从而 AG∥平面AEF,选项B正确： 对于选项C,连接AD,DF,易知平面AEF截正方体所得的截面为等腰梯形AEFD,选项C正确； 于造灵D.设上方华按长为三横能40角体银斯-号：C”-分盏疾D搭头 故选：ABC. 12.24π 【分析】根据圆柱、圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】设圆柱的底面半径为r,高为h,圆锥的母线长为l, 则由π2=9元，得r=3, 又由2h=6=24π，得h=4, 所以圆锥的母线长1=√2+h2=5, 所以圆锥的侧面积S侧=l=π×3×5=15元， 则圆锥的表面积S=S侧+9元=24π 故答案为：24π. 13.5 【分析】由6在a方向上的投影为 ab =3,代入计算即可得到答案。 【详解】由题意知，a.b=3+√5m, =+3=2 ab 因为6在a方向上的投影为a,所以团 a五_3计3-3，解得m=5. 2 答案第5页，共10页 故答案为：√5 13197 14.33] 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式对函数进行化简，然后根据已知条件确定ω的取值范围. 【详解】化简函数的解析式为/(c)-cos2a-5maxc0ax= ”sin2x=cos +3 因为函数在0，乃 上有且仅有3个不同的解，即c心2a+引-0在0到 上有且仅有3个不同的解 4 令2a0r+ 3 亿=+kEZ,解得x=+ke2 20120 当k=0时，x=元；当k=-1时，x=元+元=7元 120 2012a120 当k=2时，x= 2r+兀-13π 20120120 当k=3时，x=3π+元=19m 2w120120 13π，π 因为函数在 上有且仅有3个不同的解，所以2@1，解得号<4 19π、π 3 12a24 13197 所以。的取值范围为 3’3 1319 故答案为： 3’3 a,3a+五 15.()万-a,4a+4 (2)证明见解析 【分析】(1)根据题意，结合BD=AD-AB和A=AB+BF=AB+BD,即可求解： (2根据超意，求得F4-0,c-06,得到C=原，即可得证 【详解】(1)由题意知，向量AB=aAD=b可得BD=AD-AB=b-a, 又由DF=3阳，可得BF=8D, 拟乐--研=历+：a+6-ā+5， (2)因为4花=2丽，可得A正=B, 所以丽=An-A=a+五-a=1a+6, 4a+4-3a=2a+4 且C=B+BC-a+i,可得C=4BF,所以E,RC三点共线 160漫小正周期为工，对称抽方程为x经骨c乙 ππ 2L123 答案第6页，共10页 (3)f(x)的最大值为2，最小值为-1 【分析】(1)根据最小正周期公式，代入即可求得答案，令2x-名饭+受k∈乙，化简计算，即可得对称轴方程 6 (2)先求出f(x)单调递增区间，结合条件，可得在条件内的单调增区间. (3)根据x的范国，可得2x-的范围，根据正弦型函数的图象与性质，分析求解，即可得答案 【详解】1因为画数)=如2红-君》所以技小正周期2- 2π， 令2-名低+e五，解得x=经+号cZ. 6 23 所以f田)的对称轴方程为x=匹+，k∈Z. 231 (2)令2km-匹≤2x-亚s2m+,keZ,解得m-L≤x≤km+,k∈Z, 2 6 2 6 3 令k=0得一个单调递增区间为63]' ππ π7π 由x∈- 12'12 取交集得x∈ 12'3 无论k取其他任何整数，所得区间均与22 π7π 无交集， 所以函数f(x)在x [兀7π 的单调递增区间为 ππ 12'12 12'3 (3)当x∈0， 时，2x-∈[5 2 6L6’6月 所以当2x-元-亚时，f)=2sm2x- 有最小值，且为-1， 66 6 当2x-君号时、)=2m2君司有授大值，且为2， 6 6 所以函数f(x)的最大值为2，最小值为-1. 17.(1)证明见解析： (2)证明见解析· 【分析】(1)利用三角形中位线证明MN∥PC即可； (2)利用中位线证明NQ∥PB,结合(1)中结论即可证明. 【详解】(I)由题意，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点， .N是AC的中点，∴.N∥PC, ,PCc平面PCD,N4平面PCD, ∴.MN∥平面PCD: (2)由(1)知MN∥PC,PCc平面PBC,MNd平面PBC, ∴MN∥平面PBC, 答案第7页，共10页 ABCD为平行四边形，N是BD中点，又，Q是PD中点， .在△PBD中，NQ∥PB, ,PBC平面PBC,NQc平面PBC,.NO∥平面PBC, ,MNNNO=N,MN、NQc平面MNQ, .平面NQ∥平面PBC. 180肾 (②3+5 2 3)6 【分析】(1)通过三角恒等式将方程变形，结合三角形内角和为π，转化为关于角A的方程求解： (2)利用正弦定理求出边长，结合面积公式计算： (3)通过面积和余弦定理求出边长关系，应用中线公式直接计算： 【详解】(1)由正弦定理，acosC+√3sinC=b+c, 可化为sin4cosC+√5 sinAsinC=sinB+sinC. 又VABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 则上式可化为V3 sinAsinC=sinCcosA+sinC, 又VABC中，0<C<π，则sinC>0, 则上式可化为V5simA=cosA+1,即√3sinA-cosA=1, 则4-司片又名4后则4后石 621 6 66 故A= 3 (2)由三角形内角和为π，得C=亚 4 由正弦定理，得a=b。c a=25,解得=6， =2W2,即 sinA sinB sinc sin- 3 4 所以5e=csia-3+5 1 2 (3)由9=号cs4=25,可得6c=8, 由余弦定理，可得b2+c2-a2=2 bccosA,即b2+c2=16. 答案第8页，共10页 因为A=AB+AC),得A0=4e2++c)=6,即A0=6. 19.1)-√2 (2)3+2√7 3)V6 【分析】(1)根据向量数量积公式即可求出ABAD的值. (2)首先根据数量积求出向量的夹角，然后根据余弦定理求出BD,然后根据余弦定理和基本不等式的性质求出四 边形周长的最大值。 (3)首先通过等式可证明四边形ABCD为等腰梯形，然后在△ABD,△BCD中利用余弦定理求出CoS∠BAD,从而求 出AC 【详解】(1)根据向量数量积公式可得： D=ABADcos(4B.D)=1x2xcos3 4 (2)因为ABAD=-1,所以4BDcos(AB,AD)=1x2×cosB,AD-1, 所以cosA瓶而)-3：所以∠A1D- 3 根据余弦定理BD2=AB+AD-2AB×AD×c02亚=1+4+2x1x2×;=7, 3 2 所以BD=√万 因为A,B,C,D四点共圆，∠BAD+∠BCD=元，所以∠BCD= 设BC=a,CD=b,在ABCD中，根据余弦定理BD2=+b2-2 ab cos∠BCD, 即7=(a+b-3aba+3a+ba+),当且仅当a-b时等号成立 4 4 所以解得a+b≤2√万. 所以四边形ABCD的周长为AB+AD+BC+CD=1+2+2√7=3+2N7. (3)由AC=2AB+AD得AC-AD=DC=2AB, 所以DC=2且AB/1CD, 即∠BAD+∠ADC=180,∠BAD+∠BCD=180°， 所以∠BCD=∠ADC,得到四边形ABCD为等腰梯形，BC=2. 设∠BAD=日，在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2 ABADc0S0=5-4coS0, 在ABCD中，BD=BC+CD-2CB·CDcos(π-0)=8+8c0s日， 答案第9页，共10页 所以cos6=-1 4 所以4d214回442x2x26 答案第10页，共10页