精品解析：广东珠海市广东实验中学金湾学校2025-2026学年高一下学期5月阶段监测数学试卷

珠海市广东实验中学金湾学校2025-2026学年（下） 高一级5月阶段监测 数 学 （考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 5 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则为单位向量 B. 若，则 C. 若四边形是平行四边形，则， D. 若是平面内所有向量的一个基底，则也可以作为一个基底 3. 如图，为水平放置的直观图，其中，则的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 14 D. 24 4. ，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ） A. ω＝，A＝3 B. ω＝，A＝3 C. ω＝，A＝5 D. ω＝，A＝5 6. 若非零向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的底面半径为，其内切球的体积为，则圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 4 8. 已知，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列有关复数z的叙述，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的虚部为 C. 若满足，则 D. 若，则 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，向量与向量的夹角为锐角 C. 存在，使得 D. 若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则______. 13. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 14. 如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为则正八面体外接球的体积为_______ 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分） 15. 已知向量，． （1）若与共线，求实数k的值； （2）若，求的最小值. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式，并求出的对称轴； （2）先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值. 17. 如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点． （1）求三棱锥的体积 （2）求证：∥平面； 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且. （1）求角； （2）若，，求的面积； （3）若，求周长的取值范围. 19. 如图，平面四边形是棱长为3的正方形．平面，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市广东实验中学金湾学校2025-2026学年（下） 高一级5月阶段监测 数 学 （考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】，. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则为单位向量 B. 若，则 C. 若四边形是平行四边形，则， D. 若是平面内所有向量的一个基底，则也可以作为一个基底 【答案】C 【解析】 【详解】对于AB，根据单位向量和相等向量、平行向量的定义，可知A，B正确； 对于C，若四边形是平行四边形，则，，故C错误； 对于D，若不能作为基底，则与共线，设，， 所以，即与共线，这与是平面内的基底矛盾，所以假设错误，故D正确. 3. 如图，为水平放置的直观图，其中，则的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 14 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】由斜二测画法得的直观图如图所示： ，， 所以. 4. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】。 5. 如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ） A. ω＝，A＝3 B. ω＝，A＝3 C. ω＝，A＝5 D. ω＝，A＝5 【答案】A 【解析】 【分析】根据最大值及半径求出A，根据周期求出ω. 【详解】由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2⇒A＝3． ，则．故选:A 6. 若非零向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用夹角公式计算，利用垂直和模长关系建立模长与数量积之间的关系计算夹角的余弦值． 【详解】设，则． 由得， 所以， 所以． 7. 已知圆锥的底面半径为，其内切球的体积为，则圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据球的体积得到半径，结合截面图可得答案. 【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1，作出截面图如下， 因为底面半径为，所以，即, 由内切圆的性质可得，即为正三角形，所以圆锥的母线长为. 8. 已知，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】结合二倍角公式和同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为， 所以， 所以， 即. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列有关复数z的叙述，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的虚部为 C. 若满足，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于AB，由，则的虚部为，故B正确， 而，故A错误； 对于C，当时，，而，故C错误； 对于D，设，则，即， 而， 则，故D正确. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，向量与向量的夹角为锐角 C. 存在，使得 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【详解】选项A，∵ 当时，， ∴ ， ∴ ，故A错误. 选项B，若向量与的夹角为锐角，需满足且两向量不共线同向. ∵ ，令，解得. 当与共线时，，解得，此时，两向量同向，夹角为，不满足锐角条件，故且时夹角为锐角，B错误. 选项C，由上述共线条件可知，当时，且，故存在使得，C正确. 选项D，若，则，即，解得，D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D. 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则______. 【答案】3 【解析】 【详解】因为，且实部与虚部相等， 故，解得. 13. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求，再由两角差的正切公式即可求解. 【详解】由题可知，则． 14. 如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为则正八面体外接球的体积为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积． 【详解】如图正八面体，连接交于点， 因为，， 所以，，又为平面内相交直线， 所以平面，所以为正八面体的中心， 设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为， 所以正八面体的棱长为， 所以， 则． 故答案为：． 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分） 15. 已知向量，． （1）若与共线，求实数k的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算计算出两个向量的坐标表达式，利用两向量共线的条件建立关于参数  的方程，解方程即得结果； （2）将所求模的平方用已知向量的模和数量积表示，得到关于参数  的二次函数，通过配方求出二次函数的最小值，开方后即为模的最小值. 【小问1详解】 因为，，所以，． 因为与共线，所以 ， 所以． 【小问2详解】 因为，，所以，， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式，并求出的对称轴； （2）先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值. 【答案】（1），对称轴方程为，. （2），最小值，最大值 【解析】 【分析】（1）根据图象可得，再由周期可求出，再代入点坐标可求得解析式，即可求得对称轴方程； （2）利用图象平移规则求出的解析式，再由函数单调性可求得最大值和最小值. 【小问1详解】 由图象可知，设函数的最小正周期为， 则，故，又，所以， 将点代入，得，即， 所以，，即，， 又，故， 所以， 令，，得的对称轴方程为，. 【小问2详解】 先把的图象向右平移个单位得到的图象对应的解析式为， 再向下平移1个单位，得到的图象对应的解析式为， ，则， ∴当，即时，取得最小值，此时； ∴当，即时，取得最大值，此时； 17. 如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点． （1）求三棱锥的体积 （2）求证：∥平面； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用锥体的体积公式即直接求解， （2）根据三角形的中位线可得线线平行，即可根据线面平行的判定求证. 【小问1详解】 ∵平面， 所以三棱锥的高为， 所以； 【小问2详解】 连接交于，连接， 则为的中点，且为的中点， 所以中位线//，且平面，平面， 所以//平面. 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且. （1）求角； （2）若，，求的面积； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的共线结合正弦定理可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得，再由基本不等式可得最大值. 【小问1详解】 因为向量，，且， 所以. 又由正弦定理得， 因为，所以 又因为，所以. 【小问2详解】 因为中，，，由（1）知， 由余弦定理， 即，所以， 解得或（舍去）. 所以的面积. 【小问3详解】 由（1）知，且，由余弦定理， 得， 即，，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为8. 又 的周长取值范围为 19. 如图，平面四边形是棱长为3的正方形．平面，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，是上靠近的三等分点， 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质及线面垂直的判定证明即可； （2）延长交于E，延长交于F，利用面面夹角的定义计算即可； （3）利用平面的性质及线面平行的性质判定即可. 【小问1详解】 因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 如下图所示，因为，则四点共面， 延长交于E，延长交于F，易得平面平面， 作，连接， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 由平面，则，，即平面与平面夹角为， 易知，所以，则， ； 【小问3详解】 假设线段上存在点M满足题意， 由平面平面，平面，平面，则， 又平面平面，平面，平面，则， 所以，即是上靠近的三等分点，此时 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $