江西宜春市袁州区2025－2026学年九年级下学期数学阶段性练习（二）

数学试卷答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.C2.B3.A4.D5.D6.C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1 7.a 8.4×10-6 1 9.4 10.15 11.-8 4V35 12.2或√5或7 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1) 解：N5-2+an60°-(-2026° =2-V3+V3-1 =1.(3分) (2) 2(x+1>4 解： 3x≤x+5, 解不等式2(x+刂>4，得x>1, 灯心 解不等式3x≤x+5,得2， 5 <x≤ .原不等式组的解集为 2.(6分) 1 14.【答案】(1)2 A=2x+4 (2) x+1,x=1 x+2-A=x+1 (1)解：由题意得x+32x+6 A=+2x+1 x+32x+6 =(2x+4)-(x+1 2x+6 (1分) =+3 2x+6 1 2；(3分) （2)解：若※为“÷” ÷A=x+1 x+2 x+3 2x+6 A=x+2x+1 x+32x+6 =r+22x+6 x+3x+1 2x+4 x+1;(4分) 2x+4=3 当A=3时，即x+1 .2x+4=3x+1, 解得x=1, 经检验，x=1是原方程的解.(6分) 15. (1) 解：如图①所示，即为△ABC所求，(3分) (2) 解：如图②所示，(6分) tan∠BAD= BD AB=V12+52=√26，使 AB BD=326_3BC 则 5 △ABD即为所求图形. 器 图① 图② 16.【参考答案及评分标准】(1)0(2分) (2)根据题意，画树状图如下. 开始 第一次传球 D 第二次传球 AEFABFABC(4分)》 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次传球后球在B (6分) 17.(1)证明：连接OC,OA .∠AOC=2∠B 设∠B=x,∠AOC=2x OA=OC :∠Ac0=∠CA0=180°-∠40C=90°-x .∠ADC=90 .∠CAD+∠ACD=90° .∠CAD+∠ABC=90° .∠ACD=∠ABC=x ∴.∠ACD+∠ACO=90°，即CD⊥OC .OC为半径， ∴.CD为⊙O的切线；(3分) 2 手中的结果有2种，故所求概率是9. (2)解：过点O作OJ⊥AC于点J, B .∠B=60° ∴.∠AOC=2∠B=120°，∠ACD=∠B=60° .CD=2 CD ..AC=- =4 oS∠ACD .OA=OC,OJ⊥AC :.CJ=-AC=2 2 .CD⊥OC ∴.∠AC0=90°-∠ACD=30° CJ ∴.0C= c0S∠AC03V3) ·.AC的张=120rx43_8v5 X .(6分) 18039 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18.(1)解：设这台电视机原价为x元，平板电脑原价为y元 x+y=5320+980 由题意得， (1-20%)x+(1-10%)y=5320 x=3500 解得y=2800 答：这台电视机的原价为3500元，平板电脑的原价为2800元： (2)解：设厂商补贴为a元 由题意，国补后再减去厂商补贴的价格不低于2970元， 列不等式得4200(1-15%)-a≥2970 解得a≤600 答：厂商补贴最多是600元.(4分) 19.(1)解：如图所示，延长DA交MN于点P,延长AB交 (4分) MN于点Q, A、 B 、O M斗777￥N 图2 :AD⊥MN, ∴.∠APQ=90° .∠DAB=126°， .∠AQP=∠DAB-∠APQ=36°， .∠BCN=70°， ∠ABC=∠BCN+∠AQP=106°；(3分) (2)解：如图所示，过点E作EG⊥AD于点G,连接AC,过点B作BH⊥ G------E A HiB C/ MTITITTTTN 图3 在Rt△DGE中，DG=DE·cos∠GDE=45cos50°≈45×0.64=28.8cm .AG=AD-DG=31.2 cm .AD⊥MN, .∠ACN=90°， .∠ACB=∠ACN-∠BCN=30°， CH=BC.cos∠BCH=30cos30°=15V5cm, .AB=BC,BH⊥AC, .AC=2CH=30W3≈30×1.73=51.9cm, ..CG=AG+AC=80.781cm) :AD⊥MN,EG⊥AD, .EG∥MN, AC于点H, ∴.点E到MN的距离约为81cm 答：点E到地面MW的距离约为81cm.(8分) m y=- 20.【参考答案及评分标准】(1)直线y=x(k≠0)与双曲线)=x交于A,B两点， ·.点A与点B关于原点O成中心对称（依据：正比例函数图象与反比例函数图象的对称性）， ∴.O为AB的中点.(1分) 连接CO,由题意知AC=BC,∠ACB=90°， :CO⊥AB(依据：等腰三角形“三线合一”)，AO=CO(依据：直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半)·(2分) 如图，过点A作AE上y轴于点E,过点C作CF上y轴于点F, .∠COA=90°，∠AE0=90°， ∴.∠COF+∠AOE=∠AOE+∠OAE=90°， .∴.∠COF=∠OAE. 又.∠CFO=∠AE0=90°，OC=OA, ∴△AEO≌△OFC(点拨：“一线三直角”模型)， ∴AE=OF=2,EO=CF=3, 点A的坐标是-2,3)，(3分) 6 ·直线的解析式是少= 2”,双曲线的解析式是y=一正（点拨：待定系数法）。(4分) (2)如图，连接CD,过点D作DG⊥x轴于点G. CA=CB,DA=DB, .CD是线段AB的垂直平分线. .点O为AB的中点， .点O在直线CD上， 2 ·直线CD的解析式为'= 3.(5分) 2 设点D的坐标为””， 则OG=n, DG= n 3 :点A的坐标是-2,3)，点A与点B关于原点O成中心 对称， :点B的坐标是(2，-3)（点拨：关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数）， AB=2W13.(6分) :△ABD是等边三角形， .D0= 5AB=59 (7分) .在Rt△OGD中，OG2+DG2=D02, 2 12 =(V39)2 n=35, 点D的坐标为35,23). (8分》 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.【答案】(1)87.5,85,88(3分) (2)580名(3分)(3)88(3分) (1)解：.豆包人工智能软件10个得分数据中，从小到大排列后，中位数为第5个和第6个数之和的平 均数， 85+90 a= =87.5 中位数 2 ·豆包人工智能软件得分数据中85出现的次数最多， .众数b=85. DeepSeek人工智能软件得分数据中：共l0个数据， .A组有10×10%=1（个），B组有10×30%=3（个）， ∴.DeepSeek人工智能软件得分的中位数为C组数据从小到大排列的第1个、第2个数据的平均数， C= 88+88=88 中位数 2 900×4+1100×1-10%-30%-云×100% =580 (2)解： 10 (名)， ∴.估计其中对两款人工智能软件非常满意90<x≤100的总用户数约为580名. (3)解：.新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88， :.新抽取的5个用户评分从小到大排列后第3个是88分，即有两个评分低于 .豆包人工智能软件原得分从小到大排列的第4个和第5个都是85， .合在一起的15个评分中，第8个是88，即中位数为88， 22.解：（1)是， (2)证明：.点E是△ACD中AC边上的“射影点”， .DE2=AE.CE .∠BAC=∠BDC,∠AEB=∠DEC, ∴.△ABE∽△DCE, .AE BE DE CE, ∴.AECE=BE·DE, .BE·DE=DE2, :BE DE. (3)①证明：.点F是△CDE中DE边上的“射影点” CF2=EF.DF, CF DF EF CF 四边形ABCD是矩形， .AD∥BC, .∠DAC=∠BCA. .·∠AFD=∠CFE, .△ADF∽△CEF, :F、DF CF EF, CF AF EF DE DF AF CFDF .DF2=CF·AF, .点F也是△ACD中AC边上的“射影点”.…8分 ②CE的长为4V5或√5 ,…9分 提示：∠ADC=90°，AB=25,AD=4V5,AC=10. 如图，过点D作DP⊥AC,垂足为P, 88分，有两个评分高于88分， 1分 .3分 PD=AD:CD=4 AC ，.AP=V(4V5)2-42=8」 设AF=x,由①知DF2=AF.CF,又DF2=PF2+DP2, .AF.CF =PF2+DP2 x10-x)=(8-x)2+42,即x2-13x+40=0. 解得=5，x2=8, .AF=5或AF=8. AF AD :△ADF∽△CEF,CFCE, 54V584V5 5CE或2CE, ·.解得CE=4W5或CE=V5. D 六、（本题12分） 23.(1)解：点M的坐标为(2,0)，若点P的坐标为4,0)，根据旋转的性质得， ∴.点P关于点M的正垂旋点坐标是(2，-2)； 如图所示，令点I为点P关于点M旋转60°的正旋点，过点I作J⊥x轴于点J, M 0 △MPI为等边三角形， Mw=MP=,×4-22 2 ∴.OJ=OM+MJ=2+1=3. 由勾股定理得1=VM12-MJ2=V(4-2)2-12=√3， ∴点P关于点M旋转60°的正旋点坐标是3，-V3；(2分) (2)解：①如图1所示，假设点C关于点B的“正垂旋点”为点D,过点D作DE⊥x轴于点E, 图1 ∴.∠ABD=∠BED=∠AOB=90°， ∴.∠ABO=∠D=90°-∠DBE, ∴.△ABO∽△BDE, DE BE OB OA. 当x=0时，y=3, A0,3) 0A=3. 当y=0时，0=-3x+3, 解得x=1, .B1,0), 0B=1. :D点的横坐标为6， .OE=6, ∴.BE=OE-OB=6-1=5, DE 5 1-3. :点C是直线y=-3x+3上一动点， ·点C的横坐标为1-5-2 33 2 X=- 将 3代入y=-3x+3得， 点C标为 .(4分) ②如图所示，作CM⊥x轴于点M, EN⊥x轴于点N, 图2 ∴.∠CMB=∠CBE=∠BNE=90°，BE=BC ∴.∠BCM=∠EBN=90°-∠MBC, ∴.△BCM≌△EBN(AAS, ∴.BN=CM,EN=MB, 设点C的坐标是a,-3a+3),则M(a,0), .EN MB=1-a,BN=CM=-3a+3, “E的坐标为-3a+4,1-a 2 ·反比例函数少 x的图象恰好经过点E, ∴.(-3a+4)(1-a=2 .3a2-7a+2=0, 1 解得4=2,0， C标322，s分 ③如图3，过点B作BE⊥AB，,且BE=AB, 则∠BFE=∠ABE=∠AOB=90°， O B 图3 ∴.∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠EBF=90°， ∴.∠BAO=∠EBF, ∴.△ABO≌△BEF(AAS, ∴.OA=BF=3,OB=EF=1, .OF=OB+BF=1+3=4, 连接AE交抛物线于P,过点E作EF⊥x轴于点F, .E(4,1 4k+b=1 设直线AE的解析式为y=x+b,将E(4,),A0,3)代入得b=3, k=-1 2 解得b=3， 1 y=- x+3 ∴.直线AE的解析式为’2 y=-x+3 2 联立解析式得(y=-x2+2x+3 5 2=」 2 x1=0 7 解得乃=3（舍去）， =4, ·点P的坐标为(2， 8=8p=io.p-go+g--5。 AB≠AP, .点B不是点P关于点A的45°的“正旋点”，(12分) 九年级下学期数学阶段性练习（二） 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列各数中，最大的负整数是（ ） A． B． C． D． 2．窗棂体现了我国古代建筑之美，既有几何之规整，又有自然之灵秀，下面是关于窗棂的一些图片，其中不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．下列各式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．从图的正方体上截去一个三棱锥后，得到如图所示的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A． B． C． D． 5．科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，其开花时长的平均数和方差如图所示，若从甲、乙、丙、丁中选择一种开花时间最长，且最平稳的，则应该选（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图中的），的阻值随呼气酒精浓度的变化而变化（如图），血液酒精浓度与呼气酒精浓度的关系见图．下列说法不正确的是（ ） A．呼气酒精浓度越大，的阻值越小 B．当时，的阻值为 C．当时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．计算________． 8．小麦花粉的直径约为米，数据用科学记数法表示为________． 9．如图，正方形的边长为，分别取，，，各边中点得到正方形，再取，，，的中点得到正方形；…；以此类推，则正方形的边长为________． 10．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，是的中点．若的长为，则阴影部分的面积为________． 11．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图），将个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 12．矩形中，对角线，将绕点旋转一定的角度后，点的对应点恰好为一边的中点，则________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．按要求解答下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组：． 14．数学老师写了一个运算过程并盖住了运算符号和一个代数式，如图，小颖将问题转化为图，※为运算符号，为一个代数式． （1）小颖猜测※为“−”，求； （2）数学老师告诉小颖※为“÷”，用表示出，并求时的值． 15．如图，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点，均在格点上．在给定的网格中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中，以线段为腰画一个等腰直角三角形C． （2）在图②中，以线段为直角边画一个直角三角形，并且使． 16．如图，体育课上，六位同学（分别记为A，B，C，D，E，F）分别站在正六边形的顶点处做传球游戏．规定：球不得传给相邻的人，且球传给其他三人的可能性相同，如B可以将球传给D，E或F，但不能将球传给A或C，球现在在A手中． （1）第一次传球后，A将球传给F的概率为________． （2）若假设没有传球失误，求经过两次传球后球在B手中的概率． 17．如图，为⊙的内接三角形，点为圆外一点，，且． （1）求证：为⊙的切线； （2）若，，求的长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．某商场的国补活动中，家电国补为（即降价，后同），数码产品国补为，运动器材不仅有的国补，还有一定金额的厂商补贴． （1）王女士在该商场购买了一台电视机和一台平板电脑，一共付款元，比原价便宜了元，试求出这台电视机和平板电脑的原价； （2）王女士想在该商场再购置一台原价为元的跑步机，店员预估国补、厂商补贴后的价格不低于元，求厂商补贴最多是多少元． 19．今年马年春晚上机器人表演《武》（如图），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． （1）若忽视机器人手臂，，，求的度数； （2）如图，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 20．如图，直线与双曲线交于，两点，中，，且点的坐标为． （1）求直线与双曲线的解析式． （2）为第一象限内一点，当为等边三角形时，求点的坐标． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．随着科技的发展，人工智能已然走进了人们的生活，现从豆包、两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了位用户得分（）的数据进行整理分析，共分为四组：：，：，：，：，下面给出了部分信息： 豆包人工智能软件得分数据：，，，，，，，，，． 人工智能软件在组（）内的所有得分数据：，，，． 两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）若本次调查有名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有名用户对人工智能软件进行了评分，请估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数； （3）为了使样本数据更精确地反映总体情况，从豆包软件调查得分中又随机抽取个用户进行统计，若新抽取的个用户评分均为整数且互不相同，中位数为，则两次抽取的共个用户评分的中位数为________． 22．综合与实践 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图，在中，是边上一点，连接，若，则称点是边上的“射影点”． 初步感知 （1）如图，在中，，于点，则点________（填“是”或“不是”）中边上的“射影点”． 尝试探究 （2）如图，已知在四边形中，对角线，交于点，，若点是中边上的“射影点”，求证：． 迁移应用 （3）如图，在矩形中，为边上一动点，连接交对角线于点，当点恰好是中边上的“射影点”时． ①求证：点也是中边上的“射影点”． ②若，，直接写出的长． 六、（本题12分） 23．定义：对于平面直角坐标系中的点和点，若将点绕点顺时针旋转后得到对应点，则称对应点为点关于旋转的“正旋点”，特别的，当时，点为点关于点的“正垂旋点”． （1）已知点的坐标为，若点的坐标为，点关于点的正垂旋点坐标是________；点关于点旋转的正旋点坐标是________； （2）直线的图象与轴交于点，与轴交于点B． ①如图，点是该直线上一动点，若点关于点的“正垂旋点”横坐标为，此时点的坐标为________； ②如图，若该直线上动点关于点的“正垂旋点”为点，反比例函数的图象恰好经过点，请你求出此时点的坐标； ③如图，小明发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点，连接，当时，请你判断点是否为点关于点旋转的“正旋点”，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $