2026年山西省晋中市榆次区九年级数学第二次模拟测试题

2026年九年级第二次模拟测试题 数学参考答案及评分细则 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B D B D A B A A 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11.1 12.5.6×108 13.50 14.(2,-1) 15.16V6 5 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(每小题5分，共10分) )15(动+6-（)： 解：原式=-5+×6-16 …3分 =-5+3-16 …4分 =-18… 5分 (2)3-1-1-2x x-22-x 解：方程两边都乘(x-2),得3(x-2)-1=2x-1,…7分 解这个方程，得6。 …9分 经检验，x=6是原方程的根。…10分 17.(本题7分) 解：设该班级共胜x场，平y场。…1分 根据题意得： x+y=9 …4分 3x+y=23 解得： x=7 6分 y=2 答：该班级共胜7场，平2场。…7分 18.（本题8分) 解：（1)乙，16.5,16：（每空2分）… 6分 (2)从平均数看，甲、乙两地这10日的日最低气温的平均数分别是 16.4℃、16.3℃，说明甲地这10日的日最低气温平均数大于乙地这10日 的日最低气温平均数（或者接近）； 从中位数看，甲、乙两地这10日的日最低气温的中位数分别是16.5℃、 16℃，说明甲地这10日的日最低气温的中位数大于乙地这10日的日最 低气温的中位数（或者接近)： 从众数看，甲、乙两地这10日的日最低气温的众数都是16℃，说 明甲、乙两地这10日的日最低气温中16℃最多。 从方差看，甲、乙两地这10日的日最低气温的方差分别是3.04、0.81， 说明甲地这10日的日最低气温方差大于乙地这10日的日最低气温方差， 乙地这10日的日最低气温比甲地稳定。 …8分 (每条1分，写出2条即可。言之合理即可) 19.（本题8分) (1)证明：连接AD,OD。 1分 .DE是⊙O的切线， .OD⊥DE,即∠ODE=90°。…2分 .AB为⊙O的直径： ∴.∠ADB=90°，即AD⊥BC。…3分 又.AB=AC, ∴.BD=CD。… …4分 又OB=OA,.OD是△ABC的中位线： ∴.OD∥AC。 5分 .∴.∠DEC=∠ODE=90°。 ∴DE LAC。… 6分 (2)9 π。 8分 10 20.（本题8分) 解法一： 解：过点C作CP⊥N,垂足为点P。…1分 根据题意可得MN∥CD, ∴.PC的长度就是MN与CD之间的距离。 根据题意可得，AE⊥MN,BF⊥N,∴AE∥BF∥CP。 .∠ACP=∠EAC=20°，∠BCP=∠FBC-=10°。 根据题意可得，AB-3.5×（25-17)=28m。……2分 设PC=m。 -E 在Rt△ACP中，∠APC=90°，∠ACP-20° ·tan∠ACP=AP PC …3分 2 ∴.AP=tan20°.PC≈0.36x。 在Rt△BCP中，∠BPC=90°，∠BCP=10° :tan∠BCp=BP PC' 4分 .BP=tanl0°.PC≈0.18x。 .AP-BP=AB,.0.36x-0.18x=28。 6分 解得℃156。… …7分 答：他家所在居民楼N与图书大厦CD之间的距离为156m。 …8分 解法二： 解：延长AE,BF分别交DC的延长线于P,Q两点。…1分 由题意得，四边形ABQP为矩形， .∠APC=∠BQC-90°，PQ=AB=3.5×（25-17)=28m。.....…2分 AP=BQ,N∥CD,AP⊥CD, ∴.AP的长度就是W与CD之间的距离。 设AP=m。 在Rt△ACP中，∠APC=90°，∠CAP=20° tmCAP=PC …3分 E ---g ∴.PC=tan20°.AP≈0.36x. 在Rt△BCQ中，∠BQC=90°，∠CBQ=10° :tan∠CBg= Qc BO …4分 .QC=tanl0°.BQ=tanl0°.AP≈0.18x。 .PC-QC-=P0=AB,.0.36x-0.18x=28。…6分 解得156。… 7分 答：他家所在居民楼N与图书大厦CD之间的距离为156m。…8分 21.（本题9分) 解：（1)①135： …1分 ②45,22.5： …3分 ③a+V2a,a+ 2 a,a+ 6分 2 -a: (2)如图所示，边FG即为所求。 …9分 22.（本题12分) (1)解：根据题意得抛物线1顶点为A(10,6.8),点B坐标为(0,1.8)。 …2分 设1的函数表达式为y=a(x-10)2+6.80≤x≤20)。…3分 将B(0,1.8)代入表达式得：1.8=a(0-10)2+6.8。 解得：a= 1 20 …4分 的函数表达式为y= 1 (x-10)2+6.8(0≤x≤20)，…5分 20 即，y=-x+x+20≤x≤20. 20 (2)①解法一： 由题意可知，抛物线1，与1关于直线BC对称， 1的函数表达式为y=x-x+ 9 20 5 …7分 1 9 将y0代入1，的函数表达式，得0= x2-x+ 20 解得：x=2;x=18 。…9分 .D(2,0),E(18,0)。 .DE=18-2=16(m)。 即线段DE的长为16m。…10分 解法二： 设点D,E关于直线BC的对称点为F,G, 由题意可知，点F,G在1上，FG=DE。 点D的纵坐标为0点，点B的纵坐标为1.8， ∴.点F的纵坐标为1.8×2=3.6。…7分 将y=3.6代入1的函数表达式， 得3.6=-1x2+x+9 9 20 5。 解得：X=2;3=18.…9分 ∴.DE=FG=18-2=16（m),即线段DE的长为16m。…10分 ②N(1,0.85),H（19,0.85)。…12分 4 23.（本题13分) 解：(1)四边形ACFB为矩形。…1分 方法一：证明： A(E) ,AC⊥AB, ∴.∠BAC-=90°。 .四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD。 ∴.∠ACD=∠BAC=90° 由折叠得，∠ACF=∠ACD=90°，CD=CF。 ∴∠ACF+∠ACD=180°，AB=CF。…3分 ∴D,C,F三点在同一条直线上。 ∴.AB∥CF。 ∴.四边形ACFB为平行四边形。…4分 .∠ACF=90°， □ACFB为矩形。…5分 方法二：证明： A(E) .AC⊥AB, ∴.∠BAC=90°。 ,四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD,AB=CD。 ∴.∠ACD=∠BAC=90°。 由折叠得，∠ACF=∠ACD=90°，CD=CF。…3分 ∴.∠ACF+∠BAC-180°，AB-CF。 ∴.AB∥CF。 .四边形ACFB为平行四边形。…4分 .∠ACF=90°， .☐ACFB为矩形。 5分 (2)AF∥CE。…6分 方法一：证明： 连接DF交CE于点O。…7分 由折叠得，CE是线段DF的垂直平分线。 .点O是DF的中点。 …8分 ,点E是AD的中点， .OE是△ADF的中位线。 …9分 ∴.OE∥AF。即CE∥AF。…10分 方法二：证明： 连接DF交CE于点O。…7分 ,点E是AD的中点， ∴AE=DE。…8分 由折叠得，DE-EF,CE垂直平分线段DF。 ∴.AE=EF,∠EOD=90°。 ∴.∠EAF=∠EFA,∠EFD=∠EDF。 .∠EAF叶∠AFDH∠EDF=180°， ∴.∠AFD=90°。…9分 ∴.∠AFD=∠EOD. ∴.CE∥AF。…10分 方法三：证明： ,点E是AD的中点， ∴AE=DE。 …7分 由折叠得，DE=EF,∠DEC-∠FEC。 ∴.AE=EF,∠DEF-2∠FEC。…8分 ∠EAF-∠EEA。 .∠DEF=∠EAF叶∠EFA=2∠EFA。9分 ∴.∠FEC=∠EA。 ∴.CE∥AF。…10分 (3)线段AF的长度为457或319-12。 …13分 5 5 提示：① 6 2026年九年级第二次模拟测试题（卷）数学 【温馨提示】 1．试题共8页，计23题；总分值120分；答题时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的信息填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．数字人民币是人民银行发行的数字形式法定货币，它将会逐步在全国普及．若数字人民币钱包中收入100元记作+100元，则支出20元记作（ ） A．+20元 B．-20元 C．+80元 D．-80元 2．为进一步弘扬团结互助、友善待人的优良风尚，某校五四青年节表彰增设“友爱之星”荣誉评选．校美术社团为此精心设计“友爱之星”徽章如下，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．加工厂计划生产一批笔筒，设计师给出该笔筒的三种视图如下图所示，则该笔筒的形状是（ ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．圆柱 5．下列任务中，适合采用普查方式的是（ ） A．了解某厂生产的锂离子电池充放电循环寿命情况 B．了解某款手机APP的用户满意度 C．了解乘客是否携带危险物品，火车站工作人员对乘客进行安检 D．了解我国九年级学生每周参加体育活动的时间 6．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其蕴含的数学道理是（ ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．三角形内角和定理 D．两点确定一条直线 7．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ） A． B． C． D． 8．紫色石蕊溶液是一种常见酸碱指示剂，通常情况下紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇中性溶液仍为紫色，遇碱性溶液变成蓝色．实验桌上有三瓶因标签被污染而无法分辨的无色溶液：蒸馏水（呈中性）、稀盐酸溶液（呈酸性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）．小明将紫色石蕊溶液随机滴入两瓶溶液中，这两瓶溶液恰好变成一红一蓝的概率是（ ） A． B． C． D． 9．已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D． 10．某校运动会上，九年级男子长跑比赛扣人心弦．小华在距终点时暂时领先，他以的平均速度向终点冲刺，身后处的小亮也同时发起冲刺，…．若设小亮冲刺时的平均速度为，根据题意可得，则题中“…”表示的情境为（ ） A．小亮成功超越小华率先到达终点 B．小亮仍未超越小华 C．小亮与小华同时到达终点 D．两人仍保持原有距离 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．计算的结果是 ▲ ． 12．2026年4月22日是第57个世界地球日，我国活动主题为“珍爱自然资源守护美丽中国”．希望我们每个人从点滴做起，如每人每年努力节约1度电，相当于节约0.4千克标准煤，由此估计，全国每年就节约14亿度电，相当于全国每年节约 ▲ 千克标准煤（用科学记数法表示）． 13．某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：kPa）是体积（单位：mL）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为40 kPa时，气体的体积为 ▲ mL． 14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在轴上，且，点，的坐标分别为，．若将依次沿轴方向，轴方向平移，使点与点重合，则点的对应点的坐标为 ▲ ． 15．如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连接，．若点为边的中点，且，，则线段的长为 ▲ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分） （1）计算：； （2）解方程：． 17．（本题7分）某学校举办学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．九年级（1）班共参加9场比赛，没有输过，最后共得23分．该班级共胜多少场？平多少场？ 18．（本题8分）为对比近期甲、乙两地的气温情况，某实践活动小组从5月1日开始连续10日记录了两地每日的最低气温，绘制成如下折线统计图，并进行了数据分析． 平均数（） 中位数（） 众数（） 方差 甲地 16.4 16 3.04 乙地 16.3 16 0.81 根据以上信息，解答下列问题： （1）工作人员在画折线统计图时，遗漏了图例标识，请你根据上述表格中的数据推断出折线统计图中虚线表示 ▲ 地（填“甲”或“乙”）；并计算表格中 ▲ ， ▲ ； （2）请你从上面表格中选择两种统计量对甲、乙两地这10日的日最低气温作出评价． 19．（本题8分）如图，中，，以边为直径的交边于点，过点作的切线交边于点． （1）求证：； （2）若，，则的长为 ▲ ． 20．（本题8分）请根据以下聪聪与弟弟的对话及聪聪的做法，解决问题． 聪聪的做法（如图）： 第一步：聪聪家住在一幢高层居民楼的顶层25层，他先在此层楼道的西窗户边安装测倾器，从测倾器顶部点处测得图书大厦顶端处的俯角； 第二步：他下到17层楼道相同位置的西窗户边安装测倾器，保持测倾器高度不变，从测倾器顶部点处测得图书大厦顶端处的俯角； 第三步：了解到该居民楼每相邻两层楼地板之间的距离为． 已知图中所有点均在同一竖直平面内，且点，，，在同一铅垂线上，点，在同一铅垂线上． 请你根据聪聪的做法，帮他求出他家所在的居民楼与图书大厦之间的距离（结果精确到．参考数据：，，，，，）． 21．（本题9分）下面是小晋同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 正多边形的嵌套 我了解到在一些建筑上常有多边形相互嵌套的图案．如图1所示的建筑图案就是一个正方形里面嵌套了一个正八边形．我想利用尺规在正方形中作出正八边形，且使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 已知：如图2，正方形． 求作：正八边形，使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 【草图分析】结合题意画出草图（如图3），对图形分析如下： ①正八边形的每个内角为 ▲ °； ②由正多边形的对称性可得，正方形的中心与正八边形的中心重合，记为点．连接，，，，可得 ▲ °， ▲ °． 【制定方案】根据上面的分析，我制定了如下作图方案： ①连接，相交于点； ②作的角平分线交于点； 【回顾反思】根据上面的方案我完成了作图，但发现作图过程繁琐．继续深入分析图3，设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ▲ ，，，于是得到了新的作图方案． 任务： （1）补全材料： ①正八边形的每个内角为 ▲ °； ②= ▲ °，= ▲ °； ③设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ▲ ， ▲ ， ▲ ；（用含的代数式表示） （2）在图2正方形的边上作出正八边形的边． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22．（本题12分）综合与实践 【问题情境】 小明热爱数学与建筑，梦想长大后成为一名建筑设计师．他想以抛物线为创作灵感，运用绘图软件设计一个造型别致又富有数学美感的创意建筑——山岚之眼（图1）．请你帮他一起设计，解决相关问题． 【建立模型】 整座建筑分为上下两部分，上部是一条抛物线的造型，其最高点到水平地面的距离为，左右两端，两点到水平地面的距离均为，且两点相距． 如图2，以水平地面所在直线为轴，垂直于水平地面且经过左端点的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求建筑上部抛物线造型对应的函数表达式； 【问题解决】 （2）将建筑上部的抛物线造型沿直线折叠得到一条新的抛物线，其与水平地面交于，两点（点在点的左侧）．抛物线在水平地面之上的部分与线段共同组成了建筑的下部． ①求线段的长； ②小明带着这份设计方案虚心请教了相关老师，老师建议增设两根竖直的圆柱形装饰杆，（在的左侧），其中点，在建筑的上部，点，在建筑的下部．小明只记得两根装饰杆的高度均为，却忘记了它们的具体位置，请你直接写出点，的坐标． 23．（本题13分）综合与探究 【问题情境】 如图1，在中，连接，．点为边上一点，连接．将沿折叠得到，点的对应点为点，连接． 【猜想证明】 （1）如图2，当点与点重合时，连接．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图3，当点为边的中点时，判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，在折叠的过程中当为直角三角形时，请直接写出线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $