精品解析：山西省吕梁市中阳县2026年初中学业水平模拟考试数学试卷

2026年初中学业水平模拟考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果为（ ） A. B. 2 C. D. 8 2. 中国传统吉祥纹样承载着千年的对称美学与文化智慧，是中华优秀传统文化的鲜活符号．下列纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 榫卯结构是中国古代建筑中极具智慧的传统木作工艺．如图是一个经过加工的榫卯槽形构件的示意图及其主视图，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 2025年我国居民人均消费支出构成情况如下表所示．若要表示各构成项目支出占总支出的百分比，则最适合的统计图是（ ） 构成项目 医疗 教育 生活 其他 合计 支出（元） 2573 3489 22735 859 29656 A. 条形图 B. 扇形图 C. 折线图 D. 直方图 6. 光线从一种介质进入另一种介质会发生折射．如图所示，一束光线经玻璃砖两次折射后，沿方向射出，其中，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于，两点．当时，自变量的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 制作一块的长方形版面需付制作费用300元，假设每平方米版面的制作费用相同，如果把版面边长均扩大为原来的2倍，则需的付制作费用为（ ） A. 600元 B. 900元 C. 1200元 D. 2700元 9. 某款电风扇的电阻可以调节，其范围为，已知电压为，图1是该电风扇的电路图，图2是该电风扇的功率与电阻之间的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A. 电功率是电阻的一次函数 B. 电功率关于电阻的函数解析式为（） C. 当电阻从 增大到 时，电风扇的电功率从增大到 D. 若电风扇转速在中等档位时的电阻为 ，则此时电功率的大小为 10. 勒洛三角形是一种特殊的定宽曲线，由三段圆弧围成，具有在任何方向上宽度恒定的性质．图1就是用勒洛三角形设计的一种井盖．勒洛三角形的构造方法如图2所示：以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径，在另外两个顶点间画弧，三段圆弧围成的闭合曲线即为勒洛三角形．若等边三角形的边长为，则图2中勒洛三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集是________． 12. 大自然处处蕴藏着数学之美．如图所示秋葵的截面图就呈现出漂亮的五边形．图中五边形的内角和等于________． 13. “经史子集”是中国古代典籍分类体系，分别对应儒家经典、史书、诸子百家著作及文集诗词．现将“经”“史”“子”“集”四张书签背面朝上放在桌面上（书签背面完全相同），从中随机抽取一张，放回并混在一起，再从中随机抽取一张，则抽取的两张书签恰好是“经”和“史”的概率是________． 14. 某款智能语音机器人的进价为320元，商店按进价提高后标价，为让利于顾客，销售时在标价的基础上给予一定的折扣优惠，若要使每台机器人的利润率为，则商店应按标价的________折销售． 15. 如图，在中，，点是斜边的中点，点在的延长线上，，延长与交于点．若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，点，，，在一条直线上，，且．求证：． 18. 2026年3月30日是第31个全国中小学生安全教育日．为进一步加强安全教育工作，提升中小学生的安全防范意识和自我保护能力，某校开展安全知识竞赛，各班级以小组为单位组织初赛．九（1）班对本班甲，乙两组同学（每组8人）的初赛成绩进行分析． 数据整理：将甲，乙两组同学的初赛成绩整理成如下的统计图． 数据分析：对这两组同学的初赛成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 乙组 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）九（1）班计划从甲，乙两组中选取一个小组去参加校级安全知识竞赛，你认为选取哪个小组参加比较合适？请结合上表中的两个统计量说明理由． 19. “逢人便说杏花村，汾酒品牌天下闻”，山西汾酒以其入口绵、落口甜、饮后余香、回味悠长特色而著称．某酿酒车间原来采用传统工艺酿造原酒，现在改用智能化设备酿造原酒，其日均产量比采用传统工艺提高．已知采用传统工艺酿造126千升原酒所用的时间，比采用智能化设备酿造147千升原酒所用的时间多3天．求采用智能化设备每天可酿造原酒多少千升？ 20. 跨学科活动 日晷是古代利用日影计时的仪器，通常由晷针（铜制的指针）、晷面（石制的带有刻度的圆盘）及底座组成，用针影落在刻度盘的不同位置表示一天中不同的时刻．某数学兴趣小组的同学围绕“日晷构造的调研与计算”开展跨学科学习活动，并形成如下活动报告． 活动主题 日晷构造的调研与计算 调查方式 查阅资料、实地查看了解 调查过程 日晷 实物图 如图1，晷面安放在长方体底座上，与赤道平行，晷针垂直穿过晷面中心，与地轴平行，上端指向北极，下端指向南极．其放置示意图如图2所示． 放置 示意图 如图2，日晷底座与地球截面所在相切于点，点处的纬度为，即，晷面赤道，且与底座的倾角为，晷针平行于地轴（日晷底座及晷面厚度均忽略不计）． 截面 示意图 如图3是经过晷面中心点的截面示意图，晷面上下表面所在直线，上端侧面所在直线，底座上表面所在直线地面，测得，晷面截面厚度，底座高度为． 计算过程 … 交流展示 … 请根据上述数据，完成下列计算： （1）在图2中计算日晷晷面与底座的倾角的度数； （2）结合（1）中所得的度数，在图3中计算晷面最高点H到地面的距离（参考数据：，，，，，）． 21. 阅读与思考 下面是小慧同学的一篇数学日记的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 由一道课本习题引发的思考与探究 中，已知，及其夹角（是锐角），能求出的面积S吗？如果能，用，及其夹角表示S． 【分析论证】 如图1，过点A作，垂足为点H． 在中，∵，∴． ∴． 【应用结论】 已知菱形的边长为4，一个内角为，则这个菱形的面积为 ▲ ． 【类比思考】 我们知道，菱形的面积还等于两条对角线长度乘积的一半．如图2，在菱形中，对角线，相交于点O，则． 对于一般的平行四边形，它的面积是否也与两条对角线的长度有关呢？经过探索，我发现平行四边形的面积与两条对角线的长度及对角线的夹角有关． 如图3，在中，对角线，相交于点O（），则．下面是对这个结论的证明过程． 证明：过点D作，垂足为点H． …… 【拓展探究】 经过进一步探究，我发现对于一般的四边形，图3中得到的结论仍然成立． 如图4，在四边形中，对角线，相交于点O（），则． …… 学习任务： （1）直接写出材料中“▲”处空缺的内容：____________； （2）结合图3补全材料中的证明过程； （3）如图5，已知线段a，b与，求作四边形，使（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一个即可）． 22. 综合与实践 问题情境：水火箭是校园科技活动中深受学生喜爱的科普装置，其发射后的运动轨迹可看作抛物线．某校科技社团在一次水火箭发射实验中，将水火箭从地面发射，当水火箭在空中与发射点的水平距离为米时达到最高，高度为米． 数学建模：如图1，将水火箭的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，水火箭在地面的发射点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 问题解决：已知水火箭发射后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，为保障观测安全，在发射点正前方，处放置两根高度相等的测量标杆，标杆顶端分别装有摄像头，，两个摄像头距地面的高度均为米，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，水火箭距离摄像头的竖直高度均为米，求两个测量标杆之间的水平距离； （3）在此次实验中，水火箭不能落在着落区域，其中点到发射点的距离为米，点到发射点的距离为米．如图，若在点处放置一个高度为米的发射架，从发射架顶端点发射水火箭时，水火箭正好落在着落区域（包含，两点），请直接写出发射架的高度的取值范围． 23. 综合与探究 问题情境：在矩形纸片中，，，点在边上，沿过点，的直线折叠该纸片，得到，然后把纸片展平．连接并延长交射线于点． 猜想证明： （1）如图1，当点与点重合时，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 数学思考： （2）如图2，沿过点的直线继续折叠该纸片，折痕为，，且与交于点，然后展平．连接，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （3）隐去折痕，连接．当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果为（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 中国传统吉祥纹样承载着千年的对称美学与文化智慧，是中华优秀传统文化的鲜活符号．下列纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A，它既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项A符合题意； 选项B，它既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意； 选项C，它不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项C不符合题意； 选项D，它不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项D不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：∵与不是同类二次根式，不能合并，∴，A错误． 选项B：∵，B错误． 选项C：∵，∴C正确． 选项D：∵，D错误． 4. 榫卯结构是中国古代建筑中极具智慧的传统木作工艺．如图是一个经过加工的榫卯槽形构件的示意图及其主视图，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图：从上面看到的物体的形状图，根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从上面看，形状如图所示： 5. 2025年我国居民人均消费支出构成情况如下表所示．若要表示各构成项目支出占总支出的百分比，则最适合的统计图是（ ） 构成项目 医疗 教育 生活 其他 合计 支出（元） 2573 3489 22735 859 29656 A. 条形图 B. 扇形图 C. 折线图 D. 直方图 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目需求，结合各类统计图的作用即可选出正确答案 【详解】解：∵不同统计图作用不同，条形图适合表示具体数量的多少，折线图适合反映数据的变化趋势，扇形图适合表示各部分占总体的百分比，直方图适合表示数据的频数分布， 本题要求表示各构成项目支出占总支出的百分比，符合扇形图的应用场景， ∴最适合的统计图是扇形图． 6. 光线从一种介质进入另一种介质会发生折射．如图所示，一束光线经玻璃砖两次折射后，沿方向射出，其中，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长至，先求得，再根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至， ∵，， ∴， ∵， ∴． 7. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于，两点．当时，自变量的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象下方，结合图象即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：观察图象可知，当或时，直线在双曲线的下方， 因此，当时，自变量x的取值范围是或， 故选：． 8. 制作一块的长方形版面需付制作费用300元，假设每平方米版面的制作费用相同，如果把版面边长均扩大为原来的2倍，则需的付制作费用为（ ） A. 600元 B. 900元 C. 1200元 D. 2700元 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质可得扩大后版面面积为原来的倍，即可求解． 【详解】解：长方形版面边长均扩大为原来的2倍，则扩大后长方形与原长方形相似， ∴扩大后版面面积为原来的倍， 原来的制作费用300元，则扩大后付制作费用为（元）． 9. 某款电风扇的电阻可以调节，其范围为，已知电压为，图1是该电风扇的电路图，图2是该电风扇的功率与电阻之间的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A. 电功率是电阻的一次函数 B. 电功率关于电阻的函数解析式为（） C. 当电阻从 增大到 时，电风扇的电功率从增大到 D. 若电风扇转速在中等档位时的电阻为 ，则此时电功率的大小为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象得出，即可判断A，B，C选项，将代入解析式，进而判断D选项，即可求解． 【详解】解：由图2可得 ∴电功率关于电阻的函数解析式为（），电功率是电阻的反比例函数 当电阻从 增大到 时，电风扇的电功率从减小到 若电风扇转速在中等档位时的电阻为 ， ，即此时电功率的大小为 综上所述，只有D选项正确． 10. 勒洛三角形是一种特殊的定宽曲线，由三段圆弧围成，具有在任何方向上宽度恒定的性质．图1就是用勒洛三角形设计的一种井盖．勒洛三角形的构造方法如图2所示：以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径，在另外两个顶点间画弧，三段圆弧围成的闭合曲线即为勒洛三角形．若等边三角形的边长为，则图2中勒洛三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】勒洛三角形由段完全相同的圆弧组成，每段圆弧的半径等于等边三角形的边长，圆心角等于等边三角形的内角，根据弧长公式计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， 的长， 勒洛三角形的周长为． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再根据一元一次不等式组的解集规律确定原不等式组的解集． 【详解】解：解不等式得． 解不等式得． ∴． 12. 大自然处处蕴藏着数学之美．如图所示秋葵的截面图就呈现出漂亮的五边形．图中五边形的内角和等于________． 【答案】 【解析】 【详解】解：五边形的内角和． 13. “经史子集”是中国古代典籍分类体系，分别对应儒家经典、史书、诸子百家著作及文集诗词．现将“经”“史”“子”“集”四张书签背面朝上放在桌面上（书签背面完全相同），从中随机抽取一张，放回并混在一起，再从中随机抽取一张，则抽取的两张书签恰好是“经”和“史”的概率是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：设“经”“史”“子”“集”分别记为：，，，，列表如下， 共有种等可能结果，其中抽取的两张书签恰好是“经”和“史”的有种， ∴抽取的两张书签恰好是“经”和“史”的概率为：． 14. 某款智能语音机器人的进价为320元，商店按进价提高后标价，为让利于顾客，销售时在标价的基础上给予一定的折扣优惠，若要使每台机器人的利润率为，则商店应按标价的________折销售． 【答案】八五 【解析】 【分析】理清进价、标价、售价、利润率、折扣之间的等量关系，设未知数后根据等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设商店应按标价的折销售 根据题意，可得标价为 元 要使每台机器人的利润率为，则实际售价应为 元 根据售价与标价、折扣的关系列方程得 解得 即商店应按标价的八五折销售． 15. 如图，在中，，点是斜边的中点，点在的延长线上，，延长与交于点．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，先根据勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，解直角三角形，得出，根据以及三角形的外角的性质可得，可得，即可求解． 【详解】解：如图，作于点 ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴； ∵点是斜边的中点， ∴， 在中，； ∵， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 如图，点，，，在一条直线上，，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中，  ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，根据平行线的性质得到内错角相等，证明得到即可求证． 【详解】略 18. 2026年3月30日是第31个全国中小学生安全教育日．为进一步加强安全教育工作，提升中小学生的安全防范意识和自我保护能力，某校开展安全知识竞赛，各班级以小组为单位组织初赛．九（1）班对本班甲，乙两组同学（每组8人）的初赛成绩进行分析． 数据整理：将甲，乙两组同学的初赛成绩整理成如下的统计图． 数据分析：对这两组同学的初赛成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 乙组 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）九（1）班计划从甲，乙两组中选取一个小组去参加校级安全知识竞赛，你认为选取哪个小组参加比较合适？请结合上表中的两个统计量说明理由． 【答案】（1）85；86；80 （2）选择乙小组参加比较合适，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数， 众数的定义，即可求解； （2）答案不唯一，从四个统计量中，任选两个角度说明理由即可． 【小问1详解】 解：甲组的平均数为：, 乙组数据从小到大排列为：，，，，，，， 则乙组的中位数为：，乙组的众数为： ∴；；； 【小问2详解】 选择乙小组参加比较合适． 答案不唯一，从以下四个角度中任选两个角度说明理由即可． 理由如下：①从平均数来看，甲组初赛成绩的平均数为分，乙组初赛成绩的平均数为分，两组初赛成绩的平均数相等． ②从中位数来看，甲组初赛成绩的中位数为分，乙组初赛成绩的中位数为分，乙组初赛成绩的中位数大于甲组初赛成绩的中位数． ③从众数来看，甲组初赛成绩的众数为分，乙组初赛成绩的众数为分，乙组初赛成绩的众数大于甲组初赛成绩的众数． ④从方差来看，甲组初赛成绩的方差为，乙组初赛成绩的方差为，乙组初赛成绩的方差小于甲组初赛成绩的方差，所以乙组初赛成绩更稳定． 19. “逢人便说杏花村，汾酒品牌天下闻”，山西汾酒以其入口绵、落口甜、饮后余香、回味悠长特色而著称．某酿酒车间原来采用传统工艺酿造原酒，现在改用智能化设备酿造原酒，其日均产量比采用传统工艺提高．已知采用传统工艺酿造126千升原酒所用的时间，比采用智能化设备酿造147千升原酒所用的时间多3天．求采用智能化设备每天可酿造原酒多少千升？ 【答案】采用智能化设备每天可酿造原酒9.8千升 【解析】 【分析】设采用传统工艺每天可酿造原酒x千升，则采用智能化设备每天可酿造原酒千升．根据题意，列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设采用传统工艺每天可酿造原酒x千升，则采用智能化设备每天可酿造原酒千升． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，并且符合实际意义． 当时，． 答：采用智能化设备每天可酿造原酒千升． 20. 跨学科活动 日晷是古代利用日影计时的仪器，通常由晷针（铜制的指针）、晷面（石制的带有刻度的圆盘）及底座组成，用针影落在刻度盘的不同位置表示一天中不同的时刻．某数学兴趣小组的同学围绕“日晷构造的调研与计算”开展跨学科学习活动，并形成如下活动报告． 活动主题 日晷构造的调研与计算 调查方式 查阅资料、实地查看了解 调查过程 日晷 实物图 如图1，晷面安放在长方体底座上，与赤道平行，晷针垂直穿过晷面中心，与地轴平行，上端指向北极，下端指向南极．其放置示意图如图2所示． 放置 示意图 如图2，日晷底座与地球截面所在相切于点，点处的纬度为，即，晷面赤道，且与底座的倾角为，晷针平行于地轴（日晷底座及晷面厚度均忽略不计）． 截面 示意图 如图3是经过晷面中心点的截面示意图，晷面上下表面所在直线，上端侧面所在直线，底座上表面所在直线地面，测得，晷面截面厚度，底座高度为． 计算过程 … 交流展示 … 请根据上述数据，完成下列计算： （1）在图2中计算日晷晷面与底座的倾角的度数； （2）结合（1）中所得的度数，在图3中计算晷面最高点H到地面的距离（参考数据：，，，，，）． 【答案】（1）日晷晷面与底座的倾角的度数为 （2）点H到地面的距离为 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可得，根据平行线的性质得出，进而即可求解； （2）过点F作于点M．过点H作，垂足为点N．在中，求得，进而在中，根据，求得，在中，求得，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：∵与相切于点C， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：日晷晷面与底座的倾角的度数为． 【小问2详解】 如图，过点F作于点M．过点H作，垂足为点N． 则． ∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵底座高度为， ∴点H到地面的距离． 答：点H到地面的距离为． 21. 阅读与思考 下面是小慧同学的一篇数学日记的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 由一道课本习题引发的思考与探究 中，已知，及其夹角（是锐角），能求出的面积S吗？如果能，用，及其夹角表示S． 【分析论证】 如图1，过点A作，垂足为点H． 在中，∵，∴． ∴． 【应用结论】 已知菱形的边长为4，一个内角为，则这个菱形的面积为 ▲ ． 【类比思考】 我们知道，菱形的面积还等于两条对角线长度乘积的一半．如图2，在菱形中，对角线，相交于点O，则． 对于一般的平行四边形，它的面积是否也与两条对角线的长度有关呢？经过探索，我发现平行四边形的面积与两条对角线的长度及对角线的夹角有关． 如图3，在中，对角线，相交于点O（），则．下面是对这个结论的证明过程． 证明：过点D作，垂足为点H． …… 【拓展探究】 经过进一步探究，我发现对于一般的四边形，图3中得到的结论仍然成立． 如图4，在四边形中，对角线，相交于点O（），则． …… 学习任务： （1）直接写出材料中“▲”处空缺的内容：____________； （2）结合图3补全材料中的证明过程； （3）如图5，已知线段a，b与，求作四边形，使（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一个即可）． 【答案】（1） （2）证明：：过点D作，垂足为点H． ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴ 在中，∵， ∴， ∴． （3）解：如图，四边形即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据题意，，即可求解； （2）证明，则，，进而根据三角形的面积公式计算即可求解； （3）作平行四边形，使得，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 综合与实践 问题情境：水火箭是校园科技活动中深受学生喜爱的科普装置，其发射后的运动轨迹可看作抛物线．某校科技社团在一次水火箭发射实验中，将水火箭从地面发射，当水火箭在空中与发射点的水平距离为米时达到最高，高度为米． 数学建模：如图1，将水火箭的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，水火箭在地面的发射点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 问题解决：已知水火箭发射后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，为保障观测安全，在发射点正前方，处放置两根高度相等的测量标杆，标杆顶端分别装有摄像头，，两个摄像头距地面的高度均为米，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，水火箭距离摄像头的竖直高度均为米，求两个测量标杆之间的水平距离； （3）在此次实验中，水火箭不能落在着落区域，其中点到发射点的距离为米，点到发射点的距离为米．如图，若在点处放置一个高度为米的发射架，从发射架顶端点发射水火箭时，水火箭正好落在着落区域（包含，两点），请直接写出发射架的高度的取值范围． 【答案】（1）（） （2）两个测量标杆之间的水平距离为米 （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，设抛物线的函数表达式为， 代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，它距离地面的高度为9米， 把代入，解方程即可求解； （3）依题意，，，分别代入，求得的值，结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，设抛物线的函数表达式为， ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为（）． 【小问2详解】 解：∵两个摄像头距地面的高度均为2米，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，水火箭距离摄像头的竖直高度均为7米， ∴当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，它距离地面的高度为9米， 把代入中，得， 解得，， ∴两个测量标杆之间的水平距离为（米）． 答：两个测量标杆之间的水平距离为米． 【小问3详解】 解：依题意，，， 新抛物线的解析式为， 将，代入解析式得，， 解得：； 将，代入解析式得， 解得：； ∴水火箭正好落在着落区域（包含，两点），发射架的高度的取值范围为． 23. 综合与探究 问题情境：在矩形纸片中，，，点在边上，沿过点，的直线折叠该纸片，得到，然后把纸片展平．连接并延长交射线于点． 猜想证明： （1）如图1，当点与点重合时，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 数学思考： （2）如图2，沿过点的直线继续折叠该纸片，折痕为，，且与交于点，然后展平．连接，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （3）隐去折痕，连接．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），理由见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 （3）的长为，或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，进而得出，根据矩形的性质，即可求解； （2）由（1）可知，，，进而证明得出四边形是平行四边形，根据折叠的性质可得，即可得证； （3）设，分类讨论，分别画出图形，当时，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解： 理由如下：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠，得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 四边形是菱形 证明：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． 【小问3详解】 解：设， 如图，当时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，则， ∴， 在中， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 如图，当重合时，，解得：，即 如图，当是等腰梯形时，如图 ∵，则， ∴， 在中， ∴ 解得： 综上所述，的长为，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $