北京市陈经纶中学2025-2026学年高一第二学期期中诊断数学试卷

2025-2026学年第二学期期中诊断数学试卷-答案 一、单选题 1.在复平面内，复数z=(1+i)(2-)(其中i为虚数单位)对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是() A.AB=CD B.AB+DA=BD C.AB-AD=DB D.AD+BC=0 3.已知向量d,b不共线，c=3ā-b,d=-2ta+6b,若c与d同向，则实数 t的值为() A.-3 B.-1 C.3 D.-3或3 4.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点.则满足MN⊥OP的 是() P A B O 5.一水平放置的平面四边形OABC的直观图OAB'C'如图所示，其中OA=OC'=2, O'C'⊥x'轴，AB⊥x轴，B'C'/y'轴，则四边形OABC的面积为() A.3V2 D B.6 2 B.C. D.12W2 6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,△ABC的面积记为s,若”=b cos4 cosB 且 4S=√5(a2+b2-c2),则△ABC的形状为() A,直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形 7.设，阝是两个不同的平面，m是直线且mcB,则“m/1a”是“a∥B”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 8.如图，在正三棱柱ABC-AB,C中，AB=AA,D为BC的中点，则直线AC与平面ABD A 所成角的正弦值为() A. B. V10 5 5 C.5 3 D D. 5 3 9.如图，P是以AB为直径的半圆和△ABC围成的区域内一动点（含边界），若AB=4,AC=3,且AB⊥AC, 则PAPC的最大值为() A.8 B.12 C.18 D.24 试卷第1页，共4页 10.如图，在△ABC中，D是AB的中点，O是CD上一点，且CO=2OD,其中所有正确结论的序号是() ①OA+OB+OC=0: ②OA+OB)oc-ocp: ③过点O作一条直线与边AC,BC分别相交于点E,F,若 E-C4cF=B0shs,则u- 0 ④若△ABC是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则BM.MD的取值 T3231 范围是464] A.①④ B.②③ C.②④ D.①③④ 二、填空题 11.11.i是虚数单位，则 5-i 的值为 1+i 12.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体 得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是6dm,则石凳的体积为 dm3. 13.己知向量a= 写出一个与ā共线的单位向量的坐标 14. 6as 在△ABC中，∠A= 2，若△4BC存在且唯一，则b(b∈Z)的一个取值为 15.如图，某湖泊沿岸有A,B,C,D四个镇，已知A镇与D镇之间的距离为3km,A镇与C镇之间的距离 为6km,测得∠DAC=120°，∠BCD=90°，∠BDC=30°，则A,B两镇之间的距离为 km. B镇 湖泊 D镇 C镇 A镇 16.已知e是单位向量，向量b(i=l,2)满足e-b=eb,且xb+b,=e,其中x,y∈R,且x+y=1.则 下列结论中，正确结论的序号是 ①xeb+yeb,=1: @(州+0- ③存在x,少，使得6-b=2: ④当5-瓦取最小值时，瓦b=0 试卷第2页，共4页 三、解答题 17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A=(3b-c)sinB且cosA=。 3 (1)求sinC; (2)若c=3,求△ABC的面积. 18.在△ABC中，A,b,C分别是角A,B,C的对边，且2 acosB=2c-√3b. (1)求A的大小： (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使得△ABC存在且唯一确定，求BC边 上高线的长 条件O:cosB=3V,b= 14 2 条件②：a=2,c=25; 条件③：b=3,c=V3. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. D B 19.如图，在长方体ABCD-AB,CD,中，AB=AD=1,A4=2,点P为棱DD,的中点. (1)证明：BD,//平面PAC; (2)取AA1、CC1中点M、N,若平面PMN交BB1于Q,证明：Q为BB1中点： (3)求异面直线BD与AP所成角的大小： 20.如图，在直角梯形ABCD中，AB/DC,∠BAD=90°，AB=4,AD=2,DC=3,点E在CD上， 且DE=2,将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE,G为AE中点. E D (I)求证：DG⊥平面ABCE; (2)求点G到平面ADB的距离； 6)在线段BD上是否存在点P,使得CP11平面ADE?若存在，求吧的值：若不存在，请说明理由. BD 试卷第3页，共4页 21.设m,n∈N”,己知由正整数组成的集合S={a,a2,an}(a,<a2<…<an),集合S,,S2,,Sm是S的 互不相同的非空子集，定义n×m数表： X1X12 m X21 X22 Y= X2m ,其中x= a∈5，设d(a)=+x+…+xni=l2川，令dS是da) 0,a,是S' d(a2),…,d(an)中的最大值. 101 (1)若m=3,S={1,2,3},且X=011 求S,S2,S3及d(S): 100 (2)若S={L,2,,n心，集合S,S2,,Sm中的元素个数均相同，若d(S)=3,求n的最小值； (3)若m=7,S={L,2,,7},集合S,S2,,S,中的元素个数均为3，且S,∩S,≠(1≤i<j≤7)，求证： d(S)的最小值为3. 试卷第4页，共4页