北京市第二中学2025-2026学年高一第五学段考试数学试卷

北京二中2025一2026学年度第五学段高一年级学段考试试卷 数学必修第二册 命题人：陈玉成审核人：庞怡然得分： 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上) 1.为迎接2022年杭州亚运会，亚委会采用按性别分层随机抽样的方法从某高校报名的200 名学生志愿者中抽取30人组成亚运会志愿小组，若30人中共有男生12人，则这200名 学生志愿者中女生可能有() A、12人B.18人C.80人D.120人 2.在△ABC中，点D满足2DB+DC=0,点E为AD的中点，则CE=() A号西-名C B.B+4cC.1- 31 6 6 61 5D.名而+号c 3.设复数z满足(1-)z=2,则z的虚部为() A.-1 B.1 C.i D.-i 4.设0，A,M,B为平面上四点，OM=OB+1-)OA,且元∈L,2),则下列结论正 确的是() A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上 C.点A在线段BM上 D.O,A,M,B四点共线 5.已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACLBC,AC=BC=1,则三棱 锥O一ABC的体积为() A号 唱 9 6.已知非零向量a,b满足|b=2a,且b在a方向上的投影向量为-a,则a与b的夹角 为() A君 B.月 C. 2π D. 6 7.已知正三角形ABC的边长为6，AD=2DB,AE=2EC,P是线段DE上的动点（含端点）， 则PB.PC的取值范围是() A.[12,16] B.[2,6 C.[-16,-12]D.[-6,-2] 8.设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果(a+c)2-b2=ac,且 b=2√5，那么△ABC外接圆的半径为() A.1 B.2 C.2W5 D.4 高一年级数学第五学段考试2026年5月第1页，共4页 9.正三棱柱ABC-4B,G的底面边长为3，侧棱A4=35,D是CB延长线上一点， 且BD=BC,则二面角B,一AD-B的大小为() A号 B.π 2π 6 c.4 D.3 10.设a、B为两个平面，mn为两条直线，且x∩B=m.下述四个命题： ①若m∥n,则n/la或n/Ip ②若m⊥n,则n⊥a或n⊥B ③若n/1a且nl1B,则mlln ④若n与a,B所成的角相等，则m⊥n 其中正确的命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 II,在三棱锥P一ABC中，ABLBC,AB=BC= H点0、D分别是AC、PC的中点， 1 OPL底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值() A.V②7 B. 83 c.V210 √210 6 3 D 60 30 12.已知正方体ABCD-ABCD,点E,F,G分别是线段DC,DD和DB上的动点， 给出下列结论： ①对于任意给定的点E,存在点F,使得AFLAE; ②对于任意给定的点F,存在点E,使得AFLA1E; 、 ③对于任意给定的点G,存在点F,使得AFLB1G; D ④对于任意给定的点F,存在点G,使得AF⊥B1G 其中正确结论的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上) 13.已知平面向量a=(x,1),万=(-3,3-x),若ā⊥(a+b),则6=. 14.z∈C,若z-z=2i,zz=3,则z= 15.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE,SD 所成的角的余弦值为_一 l6.在△ABC中，2AB-ACHAB+AC,sin2A=sin B.sinC,则2的最小值为一· 17.已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为边长是4的正方形，侧面PAB⊥底面ABCD, 且△PAB为等边三角形，则该四棱锥P一ABCD的外接球的表面积为一 高一年级数学第五学段考试2026年5月第2页，共4页 18.已知四棱锥P-ABCD的高为1，△PAB和△PCD均是边长为√2的等边三角形，给出 下列四个结论： ①血棱锥P一ABCD可能为正四棱锥： Q空间中一定存在到P,A,B,C,D距离都相等的点： ③可能有平面PAD⊥平面ABCD: 国四棱锥P-A8CD的体积的取值范围是（兮号引 其中所有正确结论的序号是.一( 三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上） 19.已知向量a=(cosx,sinx),b=(4v3sinx,4sinx),若：(x)=a.(a+). (1)求f(x)的单调递减区间； (2)求f)在区间[0，]上的最值. 20.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AC=2,AB=V3,BC=1,AA=2,点E、F 分别为AC、BC的中点. ()求证：FC∥平面ABE: (②)求证：FC⊥AB; (3)求三棱锥B-AFC的体积. 21,在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,cosB=1,(a+c)sin B-bsind=3. (1)求c的值； (2)从条件①、条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC为钝角三角形， 求AC边上的高。 条件①：b=5；条件②BA·BC=16;条件③：△ABC的周长为18. 高一年级数学第五学段考试2026年5月第3页，共4页 22.已知正方体ABCD一AB1CD1棱长为4，F是BC的中点，点E是D1C1上一点，H是AA1 上一点，且平面EFH/∥平面D1AC, (1)求证：点E是DC的中点. (2)求证：EF⊥DB1 (3)棱CD上是否存在点G使得平面EFG⊥平面EFH,若存在，求出三棱锥E一FGH的 体积，若不存在，说明理由 D E A H 8 23.给定正整数n≥2，设集合M={aa=(,4,,4),4e{0,1,k=l,2,…,n以.对于集合M中的任 意元素B=(:,,…,x)和y=,y2,,yn),记BY=y+为y2+…+xy·设AsM,且集合 P,i=,则称A具 A={=6,a),i=12,,对于A中任意元素a,a,若aa=i≠， 有性质T(np). (1)判断集合A={(L,1,0),(L,0,1),(0,1,1)}是否具有性质T(3,2)?说明理由； (2)判断是否存在具有性质T(4,p)的集合A,并加以证明： (3)若集合A具有性质T(np),证明：y++…+tw=p(U=1,2,,). 高一年级数学第五学段考试2026年5月第4页，共4页