精品解析：河北廊坊市永清县第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

高二5月数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. 【详解】函数满足，则，故A正确. 2. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点分布的性质求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，则，故C正确. 3. 已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则n的值为（ ） A. 10 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】因为二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，所以为偶数，且第项的二项式系数最大，故，解得. 4. 已知函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 和 【答案】A 【解析】 【详解】，， ，令，解得， 所以的单调递增区间为. 5. 某市教育行政部门近期将安排甲、乙、丙、丁、戊名教育专家前往四个不同地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排名专家的方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【详解】由题意必然满足一个地区安排名专家，其余三个地区各安排名专家， 分步计算：先分组种，再分配将分好的组全排列，对应个不同地区，排列数为种， 最后根据分步乘法计数原理，总方法数为种. 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数在区间上的单调性，转化为不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数与函数单调性求最值即可. 【详解】由函数，则， 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立，等价于在上恒成立， 令，则， 因为，所以，所以函数在上单调递增， 所以，所以， 所以函数在上单调递减，则实数的取值范围为. 7. 袋中有5个黑球、3个白球，从袋中任取3个球，则至少有2个白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式求解即可. 【详解】从袋中任取3个球，有种取法，则至少有2个白球包括2个白球和3个白球两种情况，有种取法； 故至少有2个白球的概率是. 8. 已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式构造函数，利用导数判断函数在上为增函数，结合函数的奇偶性定义判断其为偶函数，将不等式化为，利用单调性即可求解. 【详解】设，求导得，因， 则当时，，则，故在上单调递增； 当时，，则，故在上单调递减. 又为偶函数，，则，即函数是偶函数， 又，则， 则（*）， 由可得，则， 将（*）两边同除以，可得，即， 由是偶函数可得，又因函数在上单调递增， 可得且，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件A，B满足，，则下列说法错误的是（ ） A. 事件A与B互为对立事件 B. 若，则 C. 若事件A，B互斥，则 D. 若事件A，B相互独立，则 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：如果事件与事件互为对立事件，则， 但，，，所以A错误； 选项B：如果，则，即，所以B正确； 选项C：如果事件，互斥，则，所以C错误； 选项D：如果事件，相互独立，则事件与，事件与也分别相互独立， 即，， 因此，所以D正确. 10. 杨辉是我国古代数学家，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．则下列结论正确的是（ ） A. 第20行中最大的数是第11个数 B. 第20行中从左到右第17个数与第18个数之比为 C. 记第20行第个数为，则 D. 第四斜行的数：，构成数列，则数列的前n项和为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用组合数公式，组合数性质以及二项式定理逐项分析即可. 【详解】对于A，因为杨辉三角第行的数对应组合数， 由组合数的性质：当为偶数时，最大数是，对应第个数， 可得第行对应，最大数为，是第个数，故A正确； 对于B，第20行的数对应组合数， 则从左到右第个数为，第个数为， 所以，故B错误； 对于C，因为第行第个数为， 所以，令，则 根据二项式定理，，故C错误； 对于D，因为第四斜行的数为：， 对应组合数为，即， 所以数列的前项和为： ，故D正确. 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上无极值点 B. 若，，则在上单调递减 C. 当，时，若关于x的方程有三个实根，则实数 D. 当，时，若在上最大值为，则实数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据判别式判断函数导数的符号判断A，根据导函数为二次函数判断在上的符号判断B，利用导数分析函数的单调性及极值判断CD. 【详解】因为，所以， 判别式为， 对A，，则，当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值点， 当时，恒成立，函数在上单调递减，无极值点，故A正确； 对B，当时，二次函数图象开口向上，对称轴为， 又，所以在上恒成立，故在上单调递增，故B错误； 对C，当时，，， 当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以时，有极大值为，当时，有极小值为0， 当时，；当时，，如图所示， 所以关于的方程有三个实根，则，故C正确； 对D，由C选项知，有极大值为，所以方程有一解， 则有， 设另外两解为，则， 整理得， 所以，， 解方程，解得或， 所以由函数的单调性及极值可知，若在区间上最大值为，则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_________． 【答案】63 【解析】 【分析】赋值法，令，. 【详解】， 令，得，令，得， 所以63. 13. 一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则在恰有3个不同整数的前提下，第二次取到3的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用排列组合公式先选再排求出恰有3个不同整数的情况数即可；分取到两个3和取到一个3两种情况求出在恰有三个不同整数的前提下第二次取到3的情况数，利用古典概型求解即可. 【详解】这列数中恰有3个不同整数有种， 在恰有三个不同整数的前提下第二次取到3共有种情况， 从而在恰有三个不同整数的前提下第二次取到3的概率. 14. 已知函数，若函数有2个零点，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分别讨论和时函数的单调性，求出最值，画出函数图象，根据函数的零点个数与和图象交点个数的关系，确定实数的取值范围. 【详解】当时，，则， 令，解得，，解得， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以当时，，，当时，， 当时，，则， 令，解得，，解得， 所以当时，单调递增,当时，单调递减， 当时，，，当时，， 作出函数的大致图象，如图所示： 因为函数有2个零点，所以与的图象有2个交点， 由图知和，即实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中． （1）求二项式系数最大的项； （2）判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项． 【答案】（1） （2）系数的绝对值最大的项是第项，系数最大的项是 【解析】 【分析】（1）根据二项式的通项公式及二项式系数的性质求解即可； （2）由通项公式列出不等式组计算即可. 【小问1详解】 由题意得，二项式的展开式的通项为： ，，． 二项式系数最大的项为中间项即第项， 所以． 【小问2详解】 由题意得，二项式的展开式的通项为： ，，． 设第项系数的绝对值最大，则， 整理得，即，解得． 因为，所以． 所以系数的绝对值最大的项是第项，其系数为. 所以展开式中的第项系数的绝对值最大． 当时，系数为；时，系数为； 时，系数为；时，系数为. 因此系数最大的项为对应的第项. 16. 已知函数． （1）若函数在处有极小值，求实数a的值； （2）若，求函数在区间上的最值． 【答案】（1）4 （2）最小值为，最大值为32． 【解析】 【分析】（1）由函数在处取得极小值，得，求出或，根据函数极值的概念，分别代入验证，即可求解； （2）利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，求得函数的最值. 【小问1详解】 由，得． 因为为的极小值点，所以，解得或． 当时，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以为的极小值点． 当时，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增．所以为的极大值点． 所以当时，在处取极大值，不符合题意， 综上：实数a的值为4． 【小问2详解】 当时，， 令得或． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以为在区间上的极大值，也是最大值． 因为，，，所以最小值为． 综上，函数在区间上的最小值为，最大值为32． 17. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛．（用数字作答） （1）若4人中男生、女生各选2人，则有多少种选法？ （2）若男生甲和女生乙至少选1人，则有多少种选法？ （3）若4人中必须既有男生又有女生，且男生甲和女生乙至少选1人，则有多少种选法？ 【答案】（1）60 （2）91 （3）86 【解析】 【分析】（1）根据题目要求直接选取即可； （2）先算出总选法数，减去甲乙都不在的选法数即可； （3）先算出既有男生又有女生的选法数，然后减去既有男生又有女生但甲乙都不在的选法数即可； 【小问1详解】 对于男生，从5名男生中选2人，选法有种． 对于女生，从4名女生中选2人，选法有种． 根据分步乘法计数原理，总选法有种， 所以男生、女生各选2人，共60种选法． 【小问2详解】 由题意，从9人中选取4人，选法有种． 若男生甲和女生乙都不在，则从剩下的7人中选取4人， 选法有种． 所以男生甲和女生乙至少选1人的选法有种． 【小问3详解】 由（2）得，从9人中选取4人，选法有种， 若选取的4人全部为男生，则选法有种， 若选取的4人全部为女生，则选法有种． 所以选取的4人中，既有男生又有女生的选法有种． 若男生甲和女生乙都不在，则从剩下的7人中选取4人，选法有种． 此时还剩下了4名男生和3名女生， 在这种条件下，选取的4人全部为男生的选法有种， 选取的4人全部为女生的选法有0种． 所以选取的4人中，男生甲和女生乙都不在且既有男生又有女生，选法有种． 所以从9人中选取4人，男生甲和女生乙至少选1人，且既有男生又有女生的选法有种． 18. 某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． （1）求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； （2）记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； （3）若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用独立事件概率公式求解； （2）用独立事件概率公式表示，转化为一元二次函数的最值问题； （3）使用条件概率公式与全概率公式求解. 【小问1详解】 甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为； 【小问2详解】 甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次； 或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为 ； 故当时，的最小值为 【小问3详解】 乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1 则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， 记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为， 则，， 事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为， 则， 且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故 由全概率公式， 所以 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，存在不相等的、，满足，证明：； （3）对任意的，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对进行求导，然后分和两种情况确定的单调性； （2）当时，由（1）可知在上单调递增，转化为证明，然后利用极值点偏移证明； （3）将问题转化为来求解. 【小问1详解】 的定义域为，. （i）当时，，此时在上单调递增. （ii）当时，令，得. 当时，；当时，. 在单调递减，在单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 当时，由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增. 不妨设，要证，即证，即证. ，即证. 令， 在上单调递增，，. ，，，证毕. 【小问3详解】 ，. 分离参数可得：，对都成立，即求右侧函数最小值. 令，则. 令，则， 在上单调递增，又，， 故存在唯一的，使得，. 令，，在上单调递增， ，，. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二5月数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则n的值为（ ） A. 10 B. 4 C. 6 D. 8 4. 已知函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 和 5. 某市教育行政部门近期将安排甲、乙、丙、丁、戊名教育专家前往四个不同地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排名专家的方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 袋中有5个黑球、3个白球，从袋中任取3个球，则至少有2个白球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件A，B满足，，则下列说法错误的是（ ） A. 事件A与B互为对立事件 B. 若，则 C. 若事件A，B互斥，则 D. 若事件A，B相互独立，则 10. 杨辉是我国古代数学家，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．则下列结论正确的是（ ） A. 第20行中最大的数是第11个数 B. 第20行中从左到右第17个数与第18个数之比为 C. 记第20行第个数为，则 D. 第四斜行的数：，构成数列，则数列的前n项和为 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上无极值点 B. 若，，则在上单调递减 C. 当，时，若关于x的方程有三个实根，则实数 D. 当，时，若在上最大值为，则实数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_________． 13. 一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则在恰有3个不同整数的前提下，第二次取到3的概率为_________． 14. 已知函数，若函数有2个零点，则实数m的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中． （1）求二项式系数最大的项； （2）判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项． 16. 已知函数． （1）若函数在处有极小值，求实数a的值； （2）若，求函数在区间上的最值． 17. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛．（用数字作答） （1）若4人中男生、女生各选2人，则有多少种选法？ （2）若男生甲和女生乙至少选1人，则有多少种选法？ （3）若4人中必须既有男生又有女生，且男生甲和女生乙至少选1人，则有多少种选法？ 18. 某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． （1）求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； （2）记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； （3）若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，存在不相等的、，满足，证明：； （3）对任意的，恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $