精品解析：河北定州中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

高二数学 班级______姓名______ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用列举法表示集合，再根据交集的概念及运算求解. 【详解】由题设知， 又， 所以． 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据简单的复合函数的导数求得，再将代入即可得解. 【详解】因为，所以， 所以． 3. 一位游客去陕西西安旅游，想在秦始皇陵兵马俑、大雁塔、西岳华山、陕西历史博物馆、大唐不夜城这5个景点中随机选取3个，则该游客选择的3个景点中包含大雁塔和秦始皇陵兵马俑的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出5个景点中随机选取3个的所有选法，再求游客选择的3个景点中包含大雁塔和秦始皇陵兵马俑的选法数，利用古典概型概率公式求结论. 【详解】由题可知，所求概率． 4. 已知变量和的统计数据如下表： 1 2 3 4 0.3 2.4 4.6 6.7 已知其回归直线方程为，据此可以预测当时，（ ） A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中的数据求得，由，可计算，求得回归直线方程，再代值计算即得. 【详解】根据表格中的数据，可得， 所以， 所以， 所以当时，． 5. 设p：，q：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由可得，解得； 由可得，解得； 因为是集合的真子集，所以命题是命题的必要不充分条件. 6. 某前沿科技公司邀请某专业棋手与公司新研发的两款机器人和分别进行一局比赛，若在一局比赛中专业棋手获胜，则该专业棋手获得该局比赛对应的奖金，否则不获得奖金．已知该专业棋手与两款机器人比赛获胜的概率均为，则在该专业棋手获得奖金的条件下，其只获得一局比赛胜利的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设相应事件，根据互斥事件和独立事件求，，结合条件概率公式运算求解. 【详解】设事件为“该专业棋手获得奖金”，事件为“该专业棋手只获得一局比赛的胜利”， 该专业棋手获得奖金包括：战胜机器人，没战胜机器人，概率为； 战胜机器人，没战胜机器人，概率为； 同时战胜机器人和机器人，概率为， 所以． 又因为，所以根据条件概率公式得． 7. 在空间直角坐标系Oxyz中，点，已知若点在平面ABC内，则，则在三棱锥内部（不包括表面）的整点（横、纵、竖坐标均为整数的点）的个数为（ ） A. 504 B. 168 C. 84 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】先确定三棱锥内部的点满足的条件，结合隔板法求方法总数，并利用组合数性质计算即可得解. 【详解】由题可知，若点是三棱锥内部（不包括表面）的整点，则，且． 利用隔板法可知：当时，不同的正整数解个数为； 当时，不同的正整数解个数为； 当时，不同的正整数解个数为； 当时，不同的正整数解个数为， 所以三棱锥内部的整点的个数为 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与大小无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先利用导数判断得到在上单调递增，在上单调递减．再利用导数证得时，恒成立，进而利用单调性比较函数值的大小即可判断各选项. 【详解】， 令，则， ∵时，；时，； ∴函数在上单调递增，在上单调递减． 令，则 当时，， ∴在上单调递增, 即时，恒成立 又因为当时，，所以， 所以，即，所以A不正确，B正确． 当时，易知，所以，即 ， 所以C，D都不正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若二项式展开式的所有二项式系数之和为，则下列说法中正确的为（ ） A. B. 展开式中所有项的系数和为 C. 展开式中的常数项为 D. 展开式中二项式系数最大的项为第项和第项 【答案】AC 【解析】 【分析】由二项式系数和为计算可判断A；令，代入计算可判断B；求得通项公式，令，解得，代入计算可判断C；根据二项式系数的性质即可判断D. 【详解】对于A，由二项式系数和为得，解得，故A正确； 对于B，令得，故B错误； 对于C，二项式展开式的通项为，令，得， 即常数项为，故C正确； 对于D，展开式中所有项的二项式系数依次为，最大的为，对应的是第项，故D错误． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 B. 已知一系列样本点的回归方程为，若样本点（m，3）与（2，n）的残差（残差＝实际值－模型预测值）相等，则 C. 残差的平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 将两个具有相关关系的变量x，y的一组数据调整为，，决定系数不变（附： 【答案】CD 【解析】 【分析】根据相关系数绝对值与线性相关性强弱的关系判断A；根据残差的定义计算判断B；残差的平方和与拟合效果的关系判断C；根据决定系数的计算公式可判断D. 【详解】对于A，样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，故A错误； 对于B，由题意得，整理得，故B错误； 对于C，由一元线性回归模型的知识可知，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故C正确； 对于D，，易知调整后，变成了变成了变成了 ，因此都不变，所以决定系数不变，故D正确． 11. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 若函数至少有一个零点，则实数的取值范围为 C. 曲线在处的切线斜率的最大值为 D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】函数是偶函数，利用导数求其在时的最大值​即可判断A；由得时，函数无零点即可判断B；求导并求的最大值即可判断C；由变形为，进而，再结合对数均值不等式即可判断D. 【详解】因为的定义域为，，所以函数为偶函数， 对于A，当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以时，函数的最大值为， 所以的最大值为，故A正确； 对于B，，∴当时，函数无零点，所以B错误； 对于C，当时， 设则原问题转化为求的最大值． 令，解得或． 当 时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 又，当时，，且． 所以的大致图象如图所示： 所以，故C正确； 对于D，若且，则，变形为， ∴，即， 结合对数均值不等式（，且） 得，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则______． 【答案】0.4## 【解析】 【详解】随机变量服从正态分布， ，， ． 13. 的二项展开式中，的系数为______（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项为 令，解得, 故的系数为． 14. 现有甲、乙两个箱子，分别装有除颜色外其他都相同的小球．甲箱中有5个红球和4个白球；乙箱中有3个红球和6个白球．按以下步骤进行摸球实验： 第一步：抛掷一枚均匀硬币，若正面向上选甲箱，反面向上选乙箱； 第二步：从选中的箱子中不放回一次性摸出2球． 设随机变量为摸出的两球中红球的个数，则的期望______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定随机变量的可能取值为0，1，2，求出对应的概率，再根据期望公式求解即可. 【详解】随机变量的可能取值为0，1，2． ； ； . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定条件求出切点，结合导数的几何意义求出斜率，进而求出切线方程即可. （2）先求出的单调递减区间，再利用集合之间的包含关系求解参数的范围. 【小问1详解】 由得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 令，解得，即的单调递减区间为， 又因为函数在区间上单调递减， 所以，解得． 16. 已知有甲、乙、丙、丁、戊五名同学． （1）将这五名同学排成一排，且甲、乙不相邻，共有多少种不同的排列方法？ （2）将这五名同学排成两排，第一排2个人，第二排3个人，共有多少种不同的排列方法？ （3）这五名同学计划分成三组去附近的3个景点游玩，若每个景点至少有一组同学，且每组同学至少有一人，问共有多少种不同的安排方法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用插空法，先排无限制的丙、丁、戊产生空位，再将甲、乙插入空位中排列，由分步计数原理相乘即得； （2）直接分步从五人中选二人排在第一排、余下三人排在第二排； （3）先将五名同学分成三组，求出总的分组方法，再求出将三组同学分到三个景点中的分法，最后通过分步计数原理求解即可. 【小问1详解】 将甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排，且甲、乙不相邻，可分两步进行： 第一步，先排丙、丁、戊，有种不同的排法； 第二步，在丙、丁、戊周围的四个空隙中插入甲、乙，有种不同的排法． 由分步计数原理，不同的排法种数为． 【小问2详解】 将甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成两排可分两步进行： 第一步，第一排2个人，有种不同的排法； 第二步，第二排3个人，有种不同的排法． 由分步计数原理，不同的排法种数为． 【小问3详解】 第一步，将五名同学分成三组，有两种分法： 第一种：一组有3个人，另外两组均有1个人，共有种分法； 第二种：一组有1个人，另外两组均有2个人，共有种分法． 所以总的分组方法数为． 第二步，将三组同学分到三个景点中，有种分法， 由分步计数原理，不同的安排方法种数为． 17. 2026年4月23日是第31个世界读书日，某校调研高二学生的阅读情况，随机抽取100名学生进行调查，并结合月考语文成绩统计如下表：（表格中数字单位：人） 阅读情况 语文成绩 合计 120分及以上 120分以下 经常阅读 20 不经常阅读 21 50 合计 100 （1）请完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生月考语文成绩120分及以上与是否经常阅读有关； （2）现按月考语文成绩是否在120分及以上比例分配从样本经常阅读的学生中抽取5人，从这5人中再随机抽取2人做进一步的调查，记抽取的2人中，成绩在120分及以上的人数为X，求X的分布列及期望． 附表及公式： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ，其中． 【答案】（1）列联表如下： 阅读情况 语文成绩 合计 120分及以上 120分以下 经常阅读 30 20 50 不经常阅读 21 29 50 合计 51 49 100 ，学生月考语文成绩120分及以上与是否经常阅读无关 （2）的分布列为： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）补充完整的列联表，写出零假设，计算卡方，对比临界值即可判断； （2）确定X的可能取值为0，1，2，求出对应的概率即可得分布列，进而求得期望. 【小问1详解】 补充完整的列联表如下： 阅读情况 语文成绩 合计 120分及以上 120分以下 经常阅读 30 20 50 不经常阅读 21 29 50 合计 51 49 100 零假设：学生月考语文成绩120分及以上与是否经常阅读无关． 根据列联表中的数据计算可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即学生月考语文成绩120分及以上与是否经常阅读无关． 【小问2详解】 由题可知，抽取的5名学生中，成绩在120分及以上的有3人，成绩在120分以下的有2人， 所以X的可能取值为0，1，2， ， 的分布列为 0 1 2 X的数学期望． 18. 某商场开展抽奖活动，一个圆形转盘被平均分成四个相等扇形，4个区域分别标有“唐三藏”“孙悟空”“猪八戒”“沙僧”，指针落在每个区域的概率相同．每人有4次转动转盘的机会，记X为指针指向次数最多的区域的次数（若并列，则取该次数）． （1）记4次转动过程中，转到“孙悟空”的次数为Y，若规定：当时，顾客可以额外转动转盘一次，当时，顾客不再额外转动转盘．记转动过程中，转到“孙悟空”的总次数为． （ⅰ）求； （ⅱ）求； （2）求随机变量的数学期望． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，然后求即可；第二问根据全概率公式求解即可. （2）由题意，列出的所有取值，分别求对应概率，根据期望值的公式计算期望. 【小问1详解】 由题意可知． （ⅰ）. （ⅱ）记事件表示“”，事件表示“”，事件表示“”，事件表示“”． 则， ， ． 则 【小问2详解】 随机变量的可能取值为． ； ； ； ． ． 19. 已知函数． （1）求证：当时，； （2）讨论函数的零点个数； （3）设是函数的极值点，求证：． 【答案】（1）证明：设，则， 当时，单调递增，所以，即． 设，则，单调递减， 所以当时，，即． 综上，，即当时，． （2）当时，无零点； 当或时，只有一个零点； 当时，有两个零点． （3）证明：由题可知， 因为是函数的极值点，所以， 显然，所以， 易知，所以，所以，所以． . 由得，并结合（1）得到 ， ，， ,. 【解析】 【分析】（1）令，，利用导数分别证得当时，和成立进而得证； （2）由 得，利用导数分析函数得到 其大致图象，讨论与图像的交点情况即可； （3）由是的极值点，得到，进而得到且，利用（1）得到，从而，再通过化简确定符号即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，即 得， 因为，所以， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以. 当时，，所以， 当时，， 所以 的大致图象如图所示： 所以当时，无零点； 当或时，只有一个零点； 当时，有两个零点． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 班级______姓名______ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 一位游客去陕西西安旅游，想在秦始皇陵兵马俑、大雁塔、西岳华山、陕西历史博物馆、大唐不夜城这5个景点中随机选取3个，则该游客选择的3个景点中包含大雁塔和秦始皇陵兵马俑的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知变量和的统计数据如下表： 1 2 3 4 0.3 2.4 4.6 6.7 已知其回归直线方程为，据此可以预测当时，（ ） A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9 5. 设p：，q：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某前沿科技公司邀请某专业棋手与公司新研发的两款机器人和分别进行一局比赛，若在一局比赛中专业棋手获胜，则该专业棋手获得该局比赛对应的奖金，否则不获得奖金．已知该专业棋手与两款机器人比赛获胜的概率均为，则在该专业棋手获得奖金的条件下，其只获得一局比赛胜利的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系Oxyz中，点，已知若点在平面ABC内，则，则在三棱锥内部（不包括表面）的整点（横、纵、竖坐标均为整数的点）的个数为（ ） A. 504 B. 168 C. 84 D. 36 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与大小无法确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若二项式展开式的所有二项式系数之和为，则下列说法中正确的为（ ） A. B. 展开式中所有项的系数和为 C. 展开式中的常数项为 D. 展开式中二项式系数最大的项为第项和第项 10. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 B. 已知一系列样本点的回归方程为，若样本点（m，3）与（2，n）的残差（残差＝实际值－模型预测值）相等，则 C. 残差的平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 将两个具有相关关系的变量x，y的一组数据调整为，，决定系数不变（附： 11. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 若函数至少有一个零点，则实数的取值范围为 C. 曲线在处的切线斜率的最大值为 D. 若，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则______． 13. 的二项展开式中，的系数为______（用数字作答）． 14. 现有甲、乙两个箱子，分别装有除颜色外其他都相同的小球．甲箱中有5个红球和4个白球；乙箱中有3个红球和6个白球．按以下步骤进行摸球实验： 第一步：抛掷一枚均匀硬币，若正面向上选甲箱，反面向上选乙箱； 第二步：从选中的箱子中不放回一次性摸出2球． 设随机变量为摸出的两球中红球的个数，则的期望______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 16. 已知有甲、乙、丙、丁、戊五名同学． （1）将这五名同学排成一排，且甲、乙不相邻，共有多少种不同的排列方法？ （2）将这五名同学排成两排，第一排2个人，第二排3个人，共有多少种不同的排列方法？ （3）这五名同学计划分成三组去附近的3个景点游玩，若每个景点至少有一组同学，且每组同学至少有一人，问共有多少种不同的安排方法？ 17. 2026年4月23日是第31个世界读书日，某校调研高二学生的阅读情况，随机抽取100名学生进行调查，并结合月考语文成绩统计如下表：（表格中数字单位：人） 阅读情况 语文成绩 合计 120分及以上 120分以下 经常阅读 20 不经常阅读 21 50 合计 100 （1）请完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生月考语文成绩120分及以上与是否经常阅读有关； （2）现按月考语文成绩是否在120分及以上比例分配从样本经常阅读的学生中抽取5人，从这5人中再随机抽取2人做进一步的调查，记抽取的2人中，成绩在120分及以上的人数为X，求X的分布列及期望． 附表及公式： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ，其中． 18. 某商场开展抽奖活动，一个圆形转盘被平均分成四个相等扇形，4个区域分别标有“唐三藏”“孙悟空”“猪八戒”“沙僧”，指针落在每个区域的概率相同．每人有4次转动转盘的机会，记X为指针指向次数最多的区域的次数（若并列，则取该次数）． （1）记4次转动过程中，转到“孙悟空”的次数为Y，若规定：当时，顾客可以额外转动转盘一次，当时，顾客不再额外转动转盘．记转动过程中，转到“孙悟空”的总次数为． （ⅰ）求； （ⅱ）求； （2）求随机变量的数学期望． 19. 已知函数． （1）求证：当时，； （2）讨论函数的零点个数； （3）设是函数的极值点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $