专题11一次函数与方程（组）、不等式和实际问题易错必刷题型专项训练 2025-2026学年人教版八年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 以一次函数为核心纽带，系统整合方程（组）、不等式、几何图形与实际问题，14类题型配套易错点+解题技巧，构建“概念-方法-应用”三阶训练体系，培养数学眼光与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数综合（题型1-7）|28题（如已知交点求方程解）|数形转化：图象与方程、不等式互化，交点坐标即方程组解|以函数图象为直观载体，建立代数关系（方程、不等式）的几何表征，强化抽象能力与推理意识| |几何综合（题型8、14）|8题（如直线围成面积）|坐标与线段转换：求交点定图形顶点，用面积公式计算|结合几何性质（菱形、平行四边形），实现函数解析式与图形度量的结合，发展几何直观| |实际应用（题型9-13）|20题（如最大利润问题）|建模与取值：列函数解析式，结合不等式确定整数解或最值|聚焦行程、利润等现实情境，通过函数模型解决实际问题，提升应用意识与数据观念|

专题11 一次函数与方程（组）、不等式和实际问题 易错必刷题型专项训练 【温馨提示】本专题共14类核心题型，属于一次函数综合应用重难点，搭建函数与方程、不等式、几何图形、实际应用题的联系。重点利用函数图象求解方程、不等式、方程组，求解图形面积，同时覆盖行程、利润、计价、方案选择等实际题型，是中考核心必考专题。 【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【题型8 求直线围成的图形面积】 【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点】 【题型9 分配方案问题】 【题型3 利用图象法解一元一次方程】 【题型10 最大利润问题】 【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【题型11 行程问题】 【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【题型12 阶梯计价问题】 【题型6 两直线的交点与二元一次方程组】 【题型13 其它问题】 【题型7 图象法解二元一次方程组】 【题型14 一次函数与几何综合】 【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 易错点：混淆x、y轴交点对应的方程解。 解题技巧：直线与x轴交点横坐标，即为对应一元一次方程的解。 1．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线在直线下方的部分的自变量取值解答D． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 所以方程的解是，则A正确； ∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点， ∴当时，两个函数值相等， 即方程的解是，则B正确； 方程组的解是，则C正确； 不等式的解集是，则D错误． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【答案】D 【分析】先观察直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方，得，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解即可判断选项，然后根据直线与轴交点的坐标可判断；最后根据当时，直线在直线的下方，可判断． 【详解】解：、因为直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方， 所以，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程组的解为，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与轴交点的坐标是， 所以方程的解为，该选项正确，不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项错误，符合题意． 3．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：①，②，③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是________． 【答案】3 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与轴、轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：一次函数经过第一、二、三象限， ，故①正确； 一次函数与轴交于负半轴，与轴交于， ，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式组的解集是，故⑤正确； 正确的一共有3个． 4．已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 __________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为函数图象与轴交点的横坐标． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，该点是函数图象与轴的交点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点】 易错点：写错交点坐标，混淆横纵坐标。 解题技巧：方程解为x值，交点坐标为(x, 0)。 5．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】利用一次函数的性质对①进行判断；利用一次函数的交点问题对②④进行判断；结合函数图象对③进行判断． 【详解】解：直线经过第一、三象限， ， 直线与轴的交点在轴下方， ， ，故①正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是，故②正确； 当时，，故③错误； 当时，函数， 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ， ，故④正确； 综上可知，正确的是：①②④． 6．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 7．已知一次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义以及一次函数与轴的交点问题，先根据一次函数的定义确定的取值，再验证函数与轴是否有交点即可得到结果. 【详解】解：函数是一次函数， 根据一次函数的定义，一次函数中自变量的最高次数为， 二次项系数， 将代入得函数解析式为， 令，解得，该函数图象与轴有交点，符合题意， 故的取值范围是． 8．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， 点A的坐标为， ； 当时，， 点B的坐标为， ， 当为腰时，， 点C的坐标为或； 当为腰时，， 点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为或或 故答案为：或或 【题型3 利用图象法解一元一次方程】 易错点：不会将方程转化为函数图象交点问题。 解题技巧：移项构造，图象与x轴交点横坐标即为方程解。 9．如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数与一元一次方程的联系，以及点P坐标，可直接得出方程的解． 理解一次函数与一元一次方程的联系是解题关键． 【详解】解：由图知，一次函数的图象经过点P， 方程的解是． 10．如图，一次函数的图象经过点，，则关于的方程的解是（    ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案． 【详解】由条件可知当时，， 方程的解是． 11．如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系.将方程变形为，可知方程的解即为两函数图像交点的横坐标．根据交点坐标即可得出答案． 【详解】解：由方程，移项得， ∵一次函数与的图像相交于点， ∴当时，成立， ∴关于��的方程的解是． 12．函数和的图象相交于点，则方程的解为________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点与一元一次方程解的关系，方程的解为两个一次函数图象交点的横坐标，结合已知交点坐标即可求解． 【详解】解：∵函数和图象交点的横坐标，就是方程的解． ∴由题意得，方程的解为． 【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 易错点：不等号方向、取值范围判断颠倒。 解题技巧：图象在x轴上方y>0，下方y<0，结合增减性定解集。 13．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数图象的平移规律可知一次函数 的图象与轴的交点坐标为，进而根据图象解答即可求解． 【详解】解：一次函数的图象向左平移个单位长度得到一次函数 的图象， ∵一次函数的图象经过点， ∴一次函数 的图象与轴的交点坐标为， 由函数图象可知，当时，一次函数 的图象位于轴的下方， ∴关于的不等式的解集为． 14．如图，是函数的图象，则函数的图象可能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象确定和的符号，再根据一次函数图象与系数的关系判断的图象位置． 【详解】解：函数的图象从左向右上升，且与轴交于正半轴 在函数中，一次项系数，常数项 函数的图象经过第一、三、四象限，且与轴交于负半轴， 观察选项，只有D符合． 15．一次函数是常数，且的图象如图所示，那么关于的不等式的正整数解是__________． 【答案】 ，2 【分析】根据不等式与一次函数的关系求解即可． 【详解】 解：由图象可知， 当时，函数图象在  x  轴上方或  x 轴上，即 ， 所以不等式的解集为． 因为 x是正整数， 所以x的正整数值为  1，2 ． 16．如图，直线（，为常数）经过点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【详解】对于函数，经过点，当，， 观察图象可知，当时，． 【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 易错点：分不清图象上下位置对应大小关系。 解题技巧：交点为分界点，上方图象函数值更大，分区间写解集。 17．如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察图像可知，交点右侧，即时，直线在直线上方，符合不等式的条件，所以不等式的解集就是． 18．如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将点代入直线，求解即可确定点坐标，结合图像确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：将点代入直线， 可得，解得，即交点， 结合图像可知，关于x的不等式的解集为， 在数轴上表示为． 19．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________个． 【答案】3 【分析】利用一次函数的图像与性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ，． 故②正确． ∵一次函数与轴的交点在轴的下方， ． 故①正确． ∵当时，， ∴关于的方程的解为． 故③正确． ∵当时， 一次函数在一次函数的上方， ∴当时，． 故④错误． 综上所述，其中正确的结论有3个． 20．已知一次函数的图像与一次函数的图像如图所示： (1)根据图像可知，直线经过点（0， ）和（ ，0）； (2)由图像可知，当时，的取值范围是 ； (3)由图像可知，直线与相交于点，则 ，不等式的解集是 ； (4)上面解决问题的方法体现了 思想． 【答案】(1)2， (2) (3)， (4)数形结合 【分析】（1）分别令和代入 求解即可； （2）观察图像，确定直线在 x上方部分对应的 x 的取值范围； （3）将点 M 的纵坐标代入 解析式求 a，根据图像上下位置关系确定不等式解集．； （4）根据利用函数图像解决方程和不等式问题的特征确定数学思想即可． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，， 所以图像经过点 ； 当 时，，解得 ， 所以图像经过点 ． （2）解：由图像可知，直线与 x 轴的交点坐标为． 当时，函数图像位于 x 轴上方． 观察图像可知，此时 x 的取值范围是 ． （3）解：∵直线与相交于点， ∴，解得 ． ∴点 M 的坐标为 ∵不等式，即． 由图像可知，当时，直线的图像在直线 的图像下方． ∴不等式的解集是 ． （4）解：本题通过观察函数图象的位置关系来确定方程的解和不等式的解集，将代数问题与几何图形相结合，体现了数形结合思想． 【题型6 两直线的交点与二元一次方程组】 易错点：不理解交点坐标就是方程组的解。 解题技巧：两直线交点横、纵坐标，就是对应方程组的唯一解。 21．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点A，下面结论正确的是（   ） A． B．， C．方程的解是 D．当时， 【答案】C 【分析】根据图象进行分析判断即可． 【详解】解：由图象可知，，故A错误； ，，故B错误； 方程的解是，故C正确； 当时，，故D错误. 22．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由函数图象可知：方程组的解是． 23．已知一次函数与（是常数，）的图象的交点横坐标是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，先根据交点横坐标求出交点纵坐标，得到交点坐标，即可确定方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与的图象交点横坐标是， ∴把代入得， ∴两条直线的交点坐标为， ∵二元一次方程组可变形为， ∴方程组的解是． 24．如图，直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先根据两直线相交的问题解方程组得到交点坐标为，再根据第四象限点的坐标特征得到，然后解不等式组即可． 【详解】解：解方程组得， ∴直线与直线的交点坐标为， ∵直线与直线的交点在第四象限， ∴， 解得：． 【题型7 图象法解二元一次方程组】 易错点：画图不准，读取坐标出现误差。 解题技巧：画出两条直线，精准读取交点坐标，即为方程组解。 25．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 26．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 27．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 【详解】解：函数可化为， ∵无论k为何值，一次函数的图像恒过一定点， ∴， 解得， ∴无论k为何值，一次函数的图像恒过定点． 故答案为：． 28．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的综合问题． 二元一次方程组无解的条件是两条直线平行，即x的系数相等但b不等，通过令k相等求解k的值． 【详解】解：由方程组无解，得直线与直线平行，故x的系数相等，即 ． 解方程： ， 移项得： ， 即：， 解得：． 故答案为：． 【题型8 求直线围成的图形面积】 易错点：找错顶点坐标，底高对应错误。 解题技巧：求出所有交点坐标，确定底和高，用三角形面积公式计算。 29．已知一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象与x轴的交点坐标是 B．图象经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为2 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质，交点坐标的求解方法和三角形面积公式，逐个判断各选项的说法，即可找出不正确的结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． ∵当时，，解得， ∴图象与轴的交点坐标是，A说法正确，不符合题意． ∵ ，， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，B说法错误，符合题意. ∵ ， ∴ 随的增大而增大，C说法正确，不符合题意． 当时，，即图象与轴交点为，结合与轴交点， ∴图象与两坐标轴围成的三角形面积为 ，D说法正确，不符合题意． 30．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线，直线、直线与轴围成的三角形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】先根据平移性质得到的解析式．再求出两条直线与轴的交点，以及和的交点，最后用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，得到的解析式为， 令，分别求两条直线与轴的交点坐标： 对，，解得 ， 即与轴的交点为； 对，， 解得， 即与轴的交点为； ∴三角形在轴上的底边长为． 联立与的方程求交点： 解得，即两直线交点纵坐标为，三角形的高为． ∴三角形面积． 31．已知关于x的一次函数与． （1）这两个函数图象的交点坐标是__________； （2）若这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积是2，则___________． 【答案】 2或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质进行解答． （1）通过联立两个一次函数解析式，解方程得到交点坐标； （2）先求两个函数与轴的交点坐标，再以这两个交点的距离为底边、两函数交点的纵坐标为高表示三角形面积，根据面积等于列方程求解． 【详解】（1）解：联立与， 得， 整理得， 由，解得， 代入得， 故交点坐标为． （2）解：函数与轴交于点， 函数与轴交于点， 两函数交于点． 三角形面积， 由，得， 简化得， 即或， 解得或， 均满足， 故或． 故答案为：；2或． 32．我们规定一次函数是一次函数的“孪生函数”，如是的“孪生函数”．若和它的“孪生函数”的图象与轴围成的三角形面积为2，则的值为_________． 【答案】5或 【分析】本题考查了一次函数图象和性质的关系，一次函数图象上点的坐标特征，明确新定义，求得“孪生函数”是解题的关键． 根据定义求得两函数与轴的交点以及两函数的交点，根据题意得到，解得 【详解】解：∵， ∴它的“孪生函数”为， 令，代入 得，即点． 令，代入得，即点． ∴， ． 当时，， 代入，得， 即交点． ∵和它的“孪生函数”与y轴围成的三角形面积为2， ∴三角形顶点为、和， ∴底边在轴上，长度为，高为交点横坐标的绝对值，面积． 解得或． 故答案为：5或． 【题型9 分配方案问题】 易错点：忽略自变量为非负整数、取值范围受限。 解题技巧：列函数解析式，结合不等式确定整数方案，逐一筛选。 33．随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【答案】D 【分析】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方． 对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确； 对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确； 对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确； 对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和， 将，代入得，解得， ． 当时，，不是元，选项D错误； 综上，错误的说法是D． 34．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再比较，即可得出答案． 【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，， 此时， ∵游泳的次数介于次之间 ∴当时，， 即此时购买C类会员年卡，消费最低， ∴最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 35．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元 【分析】（1）设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个，根据题意列出不等式求出的取值范围，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元，则，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元， 则， ， 随a的增大而增大， 当时，w最小，此时， 的最小值为， 答：购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元． 36．今年年初，某种玩偶以其独特的外观爆火，广受年轻人的喜爱．因市场需要，厂家需要加大生产力度．已知这种产品需要，B两种主要原材料．该厂购进了这两种原料A，B，其中购进千克A材料和千克材料的总价为89元．购进千克A材料和千克B材料的总价为96元（单位：元/千克）． (1)A、B两种原材料每千克的价格分别是多少元； (2)若该工厂计划购进两种原材料共2700千克，其中购进A材料的重量不少于B材料重量的2倍，且B材料购进不少于300千克．当购进A材料多少千克时所需资金最少，最少资金是多少． (3)为满足市场需求，厂家派遣甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物．甲配送车提前出发，他们的配送距离s（千米）关于配送时间t（分钟）的函数图象如图所示： ①乙配送车从出发到追上甲配送车需要 分钟． ②乙车出发 分钟，甲乙两车相距1.62千米． 【答案】(1)A材料每千克5元，B材料每千克6元 (2)购进A材料2400千克，最少资金为13800元 (3)20；2或38 【分析】（1）根据两种购买方案的总价列二元一次方程组，求解A、B两种原材料的单价． （2）根据题意列一元一次不等式组确定自变量的取值范围，建立所需资金关于购进A材料重量的一次函数关系式，根据一次函数的增减性求最值． （3）①根据图象即可求解；②根据函数图象上的点的坐标求出甲、乙两车的速度，分乙车追上甲车之前和之后两种情况列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设A材料每千克元，B材料每千克元， 根据题意，得， 解得， ∴A材料每千克5元，B材料每千克6元； （2）解：设购进A材料千克，则购进B材料千克， 购进A材料的重量不少于B材料重量的倍， ， ， B材料购进不少于300千克， ， ， ， 设所需资金为元， ， ， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， ． 答：当购进A材料2400千克时所需资金最少，最少资金是13800元； （3）解：①由图象可知，乙车追上甲车所需时间为分钟； ②由图象可知，甲车速度为千米/分钟， 乙车速度为千米/分钟， 乙车出发时，甲车已行驶12分钟， 甲车领先距离为千米， 设乙车出发后分钟，甲乙两车相距1.62千米， 当乙车追上甲车前，甲车在乙车前， ， 解得， 当乙车追上甲车后，乙车在甲车前， ， 解得． 故乙车出发2或38分钟，甲乙两车相距1.62千米． 【题型10 最大利润问题】 易错点：不结合增减性，盲目取最值。 解题技巧：列出利润函数，根据k的正负，在取值范围内取最值。 37．某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，利用图像中的数据，通过待定系数法求出销量和售价之间的函数关系式，将代入求出对应的销量，最后根据“总利润（售价进价）销量”即可． 【详解】解：设销量和售价之间的函数关系式为， 将和代入得：， 解得：， 则函数关系式为， 将代入，得， 则总利润（元）． 38．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的求解，理解题意是解决本题的关键． 根据表中数据确定销售量y与销售单价x成一次函数关系，再利用利润公式建立w与x的二次函数关系即可． 【详解】解：由表可知，销售量y与销售单价x满足一次函数关系，设， 将点和代入， 得， 解得， ∴， ∴日销售利润销售收入总成本 ． 故答案为：． 39．某物流公司组织辆汽车装运甲、乙、丙三种物资共吨到某地，按计划辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且都刚好装满．根据下表提供的信息，解答下列问题： 物资种类 甲 乙 丙 每辆汽车运载量（吨） 每吨所需运费（元/吨） (1)设装运甲种物资的车辆数为，装运乙种物资的车辆数为，求与的关系式； (2)如果装运甲种物资的车辆数不少于，装运乙种物资的车辆数不少于，那么车辆的安排有几种方案？ (3)在（2）的条件下，若要求总运费最少，请写出采用的具体安排方案，并求出最少总运费． 【答案】(1) (2)车辆的安排共有种方案 (3)安排辆汽车装运甲种物资，辆汽车装运乙种物资，辆汽车装运丙种物资，总运费最少，最少费用为元． 【分析】（1）先表示出装运丙种物资的车辆数为，根据物资总量构造方程，并化简即可； （2）根据题意列出不等式，得到的取值范围，并求出其中的整数解，即可得出安排方案； （3）设总运费为元，根据题意写出与得关系式，利用一次函数的增减性结合的取值范围，求出的最小值，并写出对应的安排方案． 【详解】（1）解：根据题意， 装运丙种物资的车辆数为， ∴， 化简，得； （2）解：∵， ∴装运丙种物资的车辆数为， 根据题意，可列不等式： ， 解得，其中整数解为，，， 答：车辆的安排共有3种方案． （3）解：设总运费为元， 根据题意，， ∵， ∴随着的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最小值， 此时． 答：安排辆汽车装运甲种物资，辆汽车装运乙种物资，辆汽车装运丙种物资，总运费最少，最少费用为元． 40．某服装公司在新春到来之际，新上市A型和B型两款童装，准备将80件A型童装和120件B型童装分配给甲、乙两个电商平台专卖店销售．A型童装成本价90元，B型童装成本价80元，其中140件给甲电商平台专卖店，60件给乙电商平台专卖店，且都能卖完．两电商平台专卖店销售这两种童装每件的价格（元）如下表： A型（元） B型（元） 甲店 190 170 乙店 170 180 (1)设分配给甲电商专卖店A型产品x件，如果记这家服装公司卖出这200件童装的总利润为y（元），求y关于x的函数关系式； (2)如果要使得总利润最大，服装厂应当如何分配？最大利润是多少？ 【答案】(1)y=30x+17000 (20≤x≤80) (2)分配方案为甲店分配A型童装80件，B型童装60件，乙店分配A型童装0件，B型童装60件，最大利润为19400元 【分析】（1）设分配给甲电商专卖店A型产品x件，再表示出分配给甲电商专卖店B型产品数量，以及分配给乙电商专卖店A、B型产品的数量，结合利润售价成本，即可求出函数关系式； （2）根据（1）所得关系式，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设分配给甲电商专卖店A型产品x件，则分配给甲电商专卖店B型产品件，分配给乙电商专卖店A型产品件，B型产品件， 由题意得： ， 又， ， y关于x的函数关系式为； （2）解：由（1）可知，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为， 此时（件），（件），（件）， 即分配方案为甲店分配A型童装80件，B型童装60件，乙店分配A型童装0件，B型童装60件，最大利润为19400元． 【题型11 行程问题】 易错点：看错横纵轴含义，混淆路程、时间、速度。 解题技巧：先明确坐标轴意义，结合速度、路程公式分析图象拐点。 41．A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的有哪几个（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】通过观察函数图象获取信息，利用路程、速度、时间的关系进行计算，以及列方程解决行程问题.根据图象分别求出甲、乙的速度及函数解析式，逐一判断各结论即可 【详解】解：由图象可知，乙从时出发，甲从时出发， 乙比甲提前出发，故①正确； 甲从到行驶了， 甲行驶的速度为，故②正确； 乙从到行驶了， 乙行驶的速度为， 当时，乙行驶的路程为， 此时甲行驶的路程为， 甲、乙两人相距，故③错误； 设乙离开地的距离与时间的函数关系式为， 当时，甲未出发，， 若乙比甲多行驶，则， 解得； 当时，甲离开地的距离与时间的函数关系式为， 若乙比甲多行驶，则， 解得， ④错误； 综上所述，正确的结论有①②． 42．一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地距离为，慢车离乙地的距离为，慢车行驶时间为，两车之间的距离为．，与的函数关系图象如图1所示，与的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中；②当时，两车相遇；③当时，两车相距；④图2中点的坐标为；⑤当或时，两车相距．其中正确的有___________（请写出所有正确判断的序号） 【答案】①③④ 【分析】结合两个图确定快车到乙地的时间，再计算出两辆车的速度，根据两车的位置关系，逐项判断即可． 【详解】解：对于①，由图2可知，时，直线斜率变小， ∴此时快车到达乙地，即，故①正确； 对于②，快车的速度为，慢车的速度为， ∴两车相遇时间为，即，故②错误； 对于③，∵， ∴此时两车相向而行， ∴两车距离为，故③正确； 对于④，当时，快车到达乙地，慢车离开乙地， ∴两车相距， ∴点的坐标为，故④正确； 对于⑤，∵， ∴两车相向而行， ∴两车距离为， ∵， ∴快车到达乙地，慢车离开乙地， ∴两车相距，故⑤错误． 综上所述，正确的结论为：①③④． 43．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)______； (2)用含的代数式表示的长； (3)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (4)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，直接写出点的运动速度应为多少？ 【答案】(1)13 (2) (3)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形 (4)点的运动速度应为 【分析】（1）过点作，由、得矩形，故，，得；在中，由勾股定理得； （2）点速度为，在上运动时间为，分两段表示：当时，；当时，在上运动，； （3）只有点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （4）设的速度为，在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）解：过点B作于点G，如图， ∵，， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，； （2）解：∵点Q的速度为， 由（1）得，点Q在线段上运动的时间为，在上运动的时间为， ∴点Q运动总时间为， ∴当点Q在线段上运动时，即， 运动t秒时，， ∴， 当点Q在线段上运动时，即， 此时Q从C出发向D运动的路程为，即， 综上所述，； （3）解：当点Q在线段上运动时， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ， 只需即可， 由题意得，， ∴， 由（2）可得，， 解得； ②四边形是平行四边形，如图所示： ， 只需，四边形是平行四边形， ∵， 解得， 综上所述，当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （4）解：设的速度为，由（3）可知，在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（3）可得，， 由（2）可得，， ， 解得， 当点的速度为时，四边形为菱形． 44．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度（单位：米）与操控无人机的时间（单位：分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： (1)在上升或下降过程中，无人机的速度为________米/分钟． (2)无人机在米高的上空停留的时间是________分钟． (3)图中表示的数是________；表示的数是________． (4)求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】（1）根据第分钟内，无人机上升的高度和上升时间，即可求解； （2）观察图象即可求解无人机在米高的上空停留的时间； （3）由（1）可知无人机上升或下降的速度，分别求解、； （4）先计算经过分钟无人机下降的高度，再计算第分钟时无人机的飞行高度． 【详解】（1）解：观察图象可知，在第分钟内，无人机上升的高度为， 所以在上升或下降过程中，无人机的速度为； （2）解：观察图象可知，无人机在米高的上空停留的时间为； （3）解：观察图象可知，在第分钟内，无人机上升的高度为， ∴此段时间内，上升时间为， ∴， 在第分钟内，无人机下降的高度为， ∴此段时间内，下降时间为， ∴； （4）解：在第分钟内，无人机下降的高度为， 第分钟时无人机的飞行高度为． 【题型12 阶梯计价问题】 易错点：分段区间划分错误，计费公式混用。 解题技巧：分段列解析式，找准分界点，对应区间对应计算。 45．出租车收费标准：起步价8元（3公里内），超过3公里每公里加收1.5元，设行驶路程公里，总费用y元，函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】总费用由起步价和超过3公里部分的费用两部分组成，先计算超过3公里的路程，再算出对应费用，最后整理得到y与x的函数关系式． 【详解】解：∵行驶路程为公里， ∴超过3公里的路程为公里， 超过3公里部分的费用为元， ∴， 整理得． 46．某水果批发市场香蕉的价格如下表： 一次购买香蕉数（千克） 不超过千克 千克以上但不超过千克 千克以上 每千克价格 元 元 元 若小强购买香蕉千克（大于）付了元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【详解】解：大于千克，单价为元， 数量为千克， ． 47．“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了A、B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表： 收费套餐 月使用费／元 包月上网时间／ 超时费／（元／） 5 20 0.4 0.5 设每月上网学习时间为小时，套餐A、B对应的收费金额分别为元，元． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________，__________； (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网学习的时间为70小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)选择B方式上网学习合算，理由见解析 【分析】（1）观察函数图象，即可作答； （2）根据表格的信息列式，即可作答； （3）分别算出当每月上网时间70小时的时候，方案A，B的收费金额，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：由函数图象可知，，； （2）解：当时，； （3）解：每月上网时间为70小时，选择B方式上网学习合算，理由如下： 由图象可得， 当时，（元）， （元）， ∵， ∴如果每月上网时间70小时，选择B方式上网学习合算． 48．项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与x之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 【答案】(1)， (2)当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样．当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算．当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算 【分析】（1）根据题意分别找出与x，与x的等量关系，从而求得与x，与x之间的函数关系式； （2）由求得x的临界值，从而分情况进行讨论得出结果． 【详解】（1）解：由题意得： 在“绿园”店购买的费用与x的关系式为：， 在“植享”店购买的费用与x的关系式为：． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ， ， 当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样， 当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算， 当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算． 【题型13 其它问题】 易错点：脱离实际场景，自变量范围未限制。 解题技巧：结合实际意义定取值范围，再分析函数变化与最值。 49．生物学中，植物生长所需水分与生长时间存在一定关联．某研究小组观察某种幼苗，发现其在天内吸收的水分（单位：毫升）与生长时间（单位：天）近似满足一次函数关系．部分实验数据如下表所示，则下列说法正确的是（     ） 生长时间天 10 15 20 30 吸收水分毫升 2.5 3.75 5.0 7.5 A．该一次函数的表达式为 B．当生长时间为38天时，吸收水分为9.5毫升 C．吸收的水分随生长时间的增加而减少 D．当生长时间为50天时，吸收水分为12.5毫升 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出解析式后依次判断即可求解． 【详解】解：设解析式为（）， 将和代入解析式得： ， 解得：， ∴解析式为，A选项不正确； 令，解得，B选项正确； 由可知，y随x的增加而增大，C选项不正确； 题目记录的是在天内吸收的水分（单位：毫升）与生长时间（单位：天）近似满足一次函数关系，故当生长时间为50天时，吸收水分为12.5毫升不符合题意，D选项不正确． 50．最近正是草莓成熟的时候，草莓园给每位入园采摘草莓的顾客配一个篮子．每位顾客采摘草莓需付总金额y（元）与采摘草莓质量的关系如表（未记录完整）： 采摘草莓质量 1 2 3 4 5 … 需付总金额y（元） 18 33 48 ？ 78 … 根据上表中的数据，写出表中采摘草莓质量时，需付总金额______（元） 【答案】63 【分析】由表格数据可知与满足一次函数关系，先求出函数解析式，再代入计算可得的值． 【详解】解：根据表格中的数据可得当质量增加时，总金额增加15元，因此y是x的一次函数， 设，将，代入得： ， 解得：， ∴与的函数关系式为， 将代入得． 51．根据以下素材解决问题 素材 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加． 问题解决 (1)任务1：若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式； (2)任务2：若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 【答案】(1) (2)18辆 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出车身总长与购物车辆数的函数解析式； （2）设每列最多有辆购物车，根据“该商场的直立电梯长为，”列不等式求出相应的的值即可； 【详解】（1）解：由题意可得，， 即车身总长与购物车辆数的函数解析式为； （2）解：设每列最多有辆购物车， 则， 解得：， 即每列最多放9辆购物车， 因此一次运输两列，总车辆数为辆， 即直立电梯一次性最多可以运输18辆购物车． 52．项目化学习 某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧的长度y与所挂重物质量x之间的关系，设计如图①所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为6，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表： 所挂物体质量x/ 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/ 6 8 10 13 14 16 请帮该兴趣小组解决下列问题： (1)上表中有一个y值错误，请指出并改正后，直接写出y与x的关系式（不需要写取值范围）． (2)以所挂物体质量x为横轴，弹簧长度y为纵轴建立如图②所示的平面直角坐标系，将表中的数据在平面直角坐标系中描出，并将描出的点连线． (3)如果该弹簧所挂重物超过，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为，该弹簧是否会发生永久形变？请说明理由． 【答案】(1)错误的值是13，应该是12；y与x的关系式为； (2)见解析 (3)未超过弹性限度．见解析 【分析】（1）找到每增加物体，弹簧伸长的规律，据此即可判断错误的值是13，应该是12；利用待定系数法求解即可得到y与x的关系式为； （2）描点，连线，即可画出函数图象； （3）求得时，弹簧的长度，比较，即可判断． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可以发现，除了当时，外，其余数据都满足每增加物体，弹簧伸长的规律， ∴错误的值是13，应该是12； 设关系式为， 将，代入得， 再代入，，得， 解得， ∴y与x的关系式为； （2）解：描点，连线，如图所示： （3）解：已知弹簧所挂重物超过时会超过弹性限度， 我们先计算时弹簧的长度： 将代入，得：， ∵， ∴此时所挂物体质量小于，未超过弹性限度， ∴弹簧不会发生永久形变． 【题型14 一次函数与几何综合】 易错点：坐标与线段长度转换出错，几何性质结合不熟练。 解题技巧：先求解析式、交点坐标，转化为线段长度，结合几何性质解题。 53．如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①根据菱形的性质判断即可；②求得的周长：，菱形的周长：，比较即可判断；③求得菱形的面积为即可得到菱形的面积有最大值． 【详解】解：①当，时，， 令，，解得， ∴， 以为对角线作菱形，且点在第一象限， ∴在线段的垂直平分线上， ∴这样的菱形有无数个，说法正确； ②当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的周长：，即， 菱形的周长：， ∴对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③∵，∴， ∴菱形的面积， ∵， ∴菱形的面积有最大值； 综上，①②③都是正确的． 54．如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为，过点向上作轴，且，连接，若直线与有公共点，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】求出直线经过点和点时，的值，即可得出结果． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，轴，且， ∴，； 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得； ∴当直线与有公共点时，． 55．如图①．直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以四个点为顶点的四边形能构成一个平行四边形，直接写出符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式；将代入，解方程即可； （2）在中，分别令，，解方程即可得点坐标； （3）以四个点为顶点构成一个平行四边形，分两种情况：①当以为边，由或，即可求得相应的点坐标，②当以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：． （2）解：根据（1）可得直线，直线， 在中，令，得， ， 令，得，解得：， ． （3）解：存在． 如图，①当以为边时， ， ，， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴； 或， ∴； ②当以为对角线时， 设对角线的交点为，则， ∴，即； 综上所述，符合条件的的坐标为：或或． 56．如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线与x轴正半轴交于点C．点D在线段上，连接． (1)求点A、B、C的坐标； (2)已知，求点D的坐标； (3)点P为x轴上一点，满足，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）对于，分别令，，可求出点A，B的坐标，对于，令，可求出点C的坐标，即可； （2）根据题意可得，，设点，则，可得，再由，即可求解； （3）分两种情况，结合等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，，当时，， ∴点， 对于， 当时，， ∴点； （2）解：由（1）得：，， ∴，，， ∴，， 设点，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； （3）解：由（1）得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当点P在点C的左侧时，如图，过点A作交的延长线于点G，过点A作轴，分别过点B，G作，垂足分别为点M，N，则，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点P的坐标为； 当点P在点C的右侧时，如图，在线段上取点H，使，过点C作交y轴于点K，则点，    ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 一次函数与方程（组）、不等式和实际问题 易错必刷题型专项训练 【温馨提示】本专题共14类核心题型，属于一次函数综合应用重难点，搭建函数与方程、不等式、几何图形、实际应用题的联系。重点利用函数图象求解方程、不等式、方程组，求解图形面积，同时覆盖行程、利润、计价、方案选择等实际题型，是中考核心必考专题。 【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【题型8 求直线围成的图形面积】 【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点】 【题型9 分配方案问题】 【题型3 利用图象法解一元一次方程】 【题型10 最大利润问题】 【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【题型11 行程问题】 【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【题型12 阶梯计价问题】 【题型6 两直线的交点与二元一次方程组】 【题型13 其它问题】 【题型7 图象法解二元一次方程组】 【题型14 一次函数与几何综合】 【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 易错点：混淆x、y轴交点对应的方程解。 解题技巧：直线与x轴交点横坐标，即为对应一元一次方程的解。 1．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 3．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：①，②，③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是________． 4．已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 __________ ． 【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点】 易错点：写错交点坐标，混淆横纵坐标。 解题技巧：方程解为x值，交点坐标为(x, 0)。 5．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④ 6．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 7．已知一次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 8．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为______． 【题型3 利用图象法解一元一次方程】 易错点：不会将方程转化为函数图象交点问题。 解题技巧：移项构造，图象与x轴交点横坐标即为方程解。 9．如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 10．如图，一次函数的图象经过点，，则关于的方程的解是（    ） A． B．3 C．2 D．1 11．如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 12．函数和的图象相交于点，则方程的解为________． 【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 易错点：不等号方向、取值范围判断颠倒。 解题技巧：图象在x轴上方y>0，下方y<0，结合增减性定解集。 13．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 14．如图，是函数的图象，则函数的图象可能是（） A． B． C． D． 15．一次函数是常数，且的图象如图所示，那么关于的不等式的正整数解是__________． 16．如图，直线（，为常数）经过点，则关于的不等式的解集为______． 【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 易错点：分不清图象上下位置对应大小关系。 解题技巧：交点为分界点，上方图象函数值更大，分区间写解集。 17．如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 18．如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 19．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________个． 20．已知一次函数的图像与一次函数的图像如图所示： (1)根据图像可知，直线经过点（0， ）和（ ，0）； (2)由图像可知，当时，的取值范围是 ； (3)由图像可知，直线与相交于点，则 ，不等式的解集是 ； (4)上面解决问题的方法体现了 思想． 【题型6 两直线的交点与二元一次方程组】 易错点：不理解交点坐标就是方程组的解。 解题技巧：两直线交点横、纵坐标，就是对应方程组的唯一解。 21．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点A，下面结论正确的是（   ） A． B．， C．方程的解是 D．当时， 22．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 23．已知一次函数与（是常数，）的图象的交点横坐标是，则关于的二元一次方程组的解是______． 24．如图，直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是____________． 【题型7 图象法解二元一次方程组】 易错点：画图不准，读取坐标出现误差。 解题技巧：画出两条直线，精准读取交点坐标，即为方程组解。 25．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 26．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 28．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【题型8 求直线围成的图形面积】 易错点：找错顶点坐标，底高对应错误。 解题技巧：求出所有交点坐标，确定底和高，用三角形面积公式计算。 29．已知一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象与x轴的交点坐标是 B．图象经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为2 30．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线，直线、直线与轴围成的三角形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 31．已知关于x的一次函数与． （1）这两个函数图象的交点坐标是__________； （2）若这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积是2，则___________． 32．我们规定一次函数是一次函数的“孪生函数”，如是的“孪生函数”．若和它的“孪生函数”的图象与轴围成的三角形面积为2，则的值为_________． 【题型9 分配方案问题】 易错点：忽略自变量为非负整数、取值范围受限。 解题技巧：列函数解析式，结合不等式确定整数方案，逐一筛选。 33．随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 34．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 35．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 36．今年年初，某种玩偶以其独特的外观爆火，广受年轻人的喜爱．因市场需要，厂家需要加大生产力度．已知这种产品需要，B两种主要原材料．该厂购进了这两种原料A，B，其中购进千克A材料和千克材料的总价为89元．购进千克A材料和千克B材料的总价为96元（单位：元/千克）． (1)A、B两种原材料每千克的价格分别是多少元； (2)若该工厂计划购进两种原材料共2700千克，其中购进A材料的重量不少于B材料重量的2倍，且B材料购进不少于300千克．当购进A材料多少千克时所需资金最少，最少资金是多少． (3)为满足市场需求，厂家派遣甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物．甲配送车提前出发，他们的配送距离s（千米）关于配送时间t（分钟）的函数图象如图所示： ①乙配送车从出发到追上甲配送车需要 分钟． ②乙车出发 分钟，甲乙两车相距1.62千米． 【题型10 最大利润问题】 易错点：不结合增减性，盲目取最值。 解题技巧：列出利润函数，根据k的正负，在取值范围内取最值。 37．某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 38．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________． 39．某物流公司组织辆汽车装运甲、乙、丙三种物资共吨到某地，按计划辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且都刚好装满．根据下表提供的信息，解答下列问题： 物资种类 甲 乙 丙 每辆汽车运载量（吨） 每吨所需运费（元/吨） (1)设装运甲种物资的车辆数为，装运乙种物资的车辆数为，求与的关系式； (2)如果装运甲种物资的车辆数不少于，装运乙种物资的车辆数不少于，那么车辆的安排有几种方案？ (3)在（2）的条件下，若要求总运费最少，请写出采用的具体安排方案，并求出最少总运费． 40．某服装公司在新春到来之际，新上市A型和B型两款童装，准备将80件A型童装和120件B型童装分配给甲、乙两个电商平台专卖店销售．A型童装成本价90元，B型童装成本价80元，其中140件给甲电商平台专卖店，60件给乙电商平台专卖店，且都能卖完．两电商平台专卖店销售这两种童装每件的价格（元）如下表： A型（元） B型（元） 甲店 190 170 乙店 170 180 (1)设分配给甲电商专卖店A型产品x件，如果记这家服装公司卖出这200件童装的总利润为y（元），求y关于x的函数关系式； (2)如果要使得总利润最大，服装厂应当如何分配？最大利润是多少？ 【题型11 行程问题】 易错点：看错横纵轴含义，混淆路程、时间、速度。 解题技巧：先明确坐标轴意义，结合速度、路程公式分析图象拐点。 41．A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的有哪几个（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 42．一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地距离为，慢车离乙地的距离为，慢车行驶时间为，两车之间的距离为．，与的函数关系图象如图1所示，与的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中；②当时，两车相遇；③当时，两车相距；④图2中点的坐标为；⑤当或时，两车相距．其中正确的有___________（请写出所有正确判断的序号） 43．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)______； (2)用含的代数式表示的长； (3)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (4)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，直接写出点的运动速度应为多少？ 44．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度（单位：米）与操控无人机的时间（单位：分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： (1)在上升或下降过程中，无人机的速度为________米/分钟． (2)无人机在米高的上空停留的时间是________分钟． (3)图中表示的数是________；表示的数是________． (4)求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【题型12 阶梯计价问题】 易错点：分段区间划分错误，计费公式混用。 解题技巧：分段列解析式，找准分界点，对应区间对应计算。 45．出租车收费标准：起步价8元（3公里内），超过3公里每公里加收1.5元，设行驶路程公里，总费用y元，函数关系式为（    ） A． B． C． D． 46．某水果批发市场香蕉的价格如下表： 一次购买香蕉数（千克） 不超过千克 千克以上但不超过千克 千克以上 每千克价格 元 元 元 若小强购买香蕉千克（大于）付了元，则关于的函数关系式为__________． 47．“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了A、B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表： 收费套餐 月使用费／元 包月上网时间／ 超时费／（元／） 5 20 0.4 0.5 设每月上网学习时间为小时，套餐A、B对应的收费金额分别为元，元． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________，__________； (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网学习的时间为70小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 48．项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与x之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 【题型13 其它问题】 易错点：脱离实际场景，自变量范围未限制。 解题技巧：结合实际意义定取值范围，再分析函数变化与最值。 49．生物学中，植物生长所需水分与生长时间存在一定关联．某研究小组观察某种幼苗，发现其在天内吸收的水分（单位：毫升）与生长时间（单位：天）近似满足一次函数关系．部分实验数据如下表所示，则下列说法正确的是（     ） 生长时间天 10 15 20 30 吸收水分毫升 2.5 3.75 5.0 7.5 A．该一次函数的表达式为 B．当生长时间为38天时，吸收水分为9.5毫升 C．吸收的水分随生长时间的增加而减少 D．当生长时间为50天时，吸收水分为12.5毫升 50．最近正是草莓成熟的时候，草莓园给每位入园采摘草莓的顾客配一个篮子．每位顾客采摘草莓需付总金额y（元）与采摘草莓质量的关系如表（未记录完整）： 采摘草莓质量 1 2 3 4 5 … 需付总金额y（元） 18 33 48 ？ 78 … 根据上表中的数据，写出表中采摘草莓质量时，需付总金额______（元） 51．根据以下素材解决问题 素材 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加． 问题解决 (1)任务1：若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式； (2)任务2：若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 52．项目化学习 某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧的长度y与所挂重物质量x之间的关系，设计如图①所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为6，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表： 所挂物体质量x/ 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/ 6 8 10 13 14 16 请帮该兴趣小组解决下列问题： (1)上表中有一个y值错误，请指出并改正后，直接写出y与x的关系式（不需要写取值范围）． (2)以所挂物体质量x为横轴，弹簧长度y为纵轴建立如图②所示的平面直角坐标系，将表中的数据在平面直角坐标系中描出，并将描出的点连线． (3)如果该弹簧所挂重物超过，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为，该弹簧是否会发生永久形变？请说明理由． 【题型14 一次函数与几何综合】 易错点：坐标与线段长度转换出错，几何性质结合不熟练。 解题技巧：先求解析式、交点坐标，转化为线段长度，结合几何性质解题。 53．如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 54．如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为，过点向上作轴，且，连接，若直线与有公共点，则的取值范围为__________． 55．如图①．直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以四个点为顶点的四边形能构成一个平行四边形，直接写出符合条件的点坐标． 56．如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线与x轴正半轴交于点C．点D在线段上，连接． (1)求点A、B、C的坐标； (2)已知，求点D的坐标； (3)点P为x轴上一点，满足，求点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $