7.4二项分布与超几何分布同步练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 本练习以二项分布与超几何分布为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，构建从单一概念到实际情境的知识进阶路径，适配新授课分层教学，培养数学思维与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二项分布方差、超几何分布概率等单一概念与公式|以直接计算为主（如单选1-2），夯实运算能力| |能力提升|分布类型判断、期望方差性质等概念辨析|结合多选（如9-11），强化推理意识与数据意识| |综合应用|摸球模型等实际情境中的分布对比|通过有放回与不放回摸球（解答15），体现数学建模与创新意识|

7.4 二项分布与超几何分布 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．若随机变量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．校园歌手大赛设有轮独立打分环节，某选手每一轮获得“高分”的概率为，获得“普通分”的概率为．设表示该选手在轮中获得高分的轮数，则（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙两个班级之间进行排球比赛，采用五局三胜制（没有平局），已知甲班在每一局比赛中获胜的概率均为，若前三局甲班以的比分领先，则甲班最终获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 4．某化学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学完成一个实验，设抽到的女生人数为X，则（    ） A． B． C． D． 5．一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ） A． B． C． D． 6．已知随机变量，则下列选项中不正确的为（    ） A． B．当取最大值时， C． D． 7．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量服从二项分布 C．随机变量服从超几何分布 D． 8．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是（    ） A． B． C． D．以上均不对 二、多选题 9．已知随机变量，则（   ） A． B．当取最大值时， C． D． 10．一袋中有5个大小相同的黑球，编号为，还有3个同样大小的白球，编号为6，7，8，现从中任取3个球，则下列结论中正确的是（    ） A．取出的最小号码服从超几何分布 B．取出的白球个数服从超几何分布 C．取出2个黑球的概率为 D．若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则总得分最小的概率为 11．下列命题中正确的有（    ） A．已知随机变量，则 B．已知随机变量，则 C．若离散型随机变量的数学期望，则 D．已知为离散型随机变量，则 三、填空题 12．已知，，，则______． 13．某班有团员男生5名、女生3名，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则_______. 14．某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和的方差为______. 四、解答题 15．一袋子中有大小相同的10个小球，其中有3个白球，7个黑球.现从中依次摸出2个球，记摸到白球的个数为X. (1)若采用不放回摸球，求X的分布列； (2)若采用有放回摸球，求X的数学期望与方差. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《7.4 二项分布与超几何分布》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C B C C D ABD BC 题号 11 答案 BCD 1．C 【详解】因为随机变量满足，且， 所以，整理得到，所以， 即，解得，则，所以. 2．A 【分析】先判断随机变量服从二项分布，再代入二项分布的方差公式计算即可. 【详解】由题意可知，轮打分环节相互独立，每轮获得高分的概率均为， 故随机变量服从参数为，的二项分布，即。 则，故A正确. 3．B 【分析】根据前三局甲领先的赛况，分第四局甲直接获胜、第四局甲负且第五局甲获胜两种互斥情况分别计算概率，求和即可得到甲最终获胜的概率. 【详解】已知前三局甲以领先，甲最终获胜仅需再赢得局胜利，最多剩余局比赛，分两类互斥情形计算： 第四局甲获胜，比赛直接结束，对应概率； 第四局乙获胜，第五局甲获胜，对应概率； 故甲最终获胜的总概率为. 4．C 【分析】表示抽到的3名同学中女生2人，男生1人，利用组合知识即可求解， 【详解】由于表示抽到的3名同学中女生2人，男生1人，所以 5．B 【详解】从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数， 要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个， 从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为， 故恰好件不合格的概率为. 6．C 【详解】A选项，，所以A选项正确； B选项， ，当时，有最大值， 此时，所以B选项正确； C选项，，则，所以，所以C选项错误； D选项，，则，则，所以D选项正确. 7．C 【分析】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可． 【详解】解：由题意知随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确； 的取值分别为0，1，2，3，4，则，， ，，， ， 故A，D错误． 故选：C． 8．D 【分析】对“至少有一个一等品”按取出一等品的个数分类计算符合条件的事件数，结合古典概型概率公式得到结果比较选项判断. 【详解】从20个零件中任取3个，总事件数为。"至少有1个一等品"表示取出的3个零件中，一等品的数量为1个、2个或3个， 共三种情况： 1个一等品+2个二等品，有种不同的取法； 2个一等品+1个二等品，有种不同的取法； 3个一等品+0个二等品，有种不同的取法； 因此概率为. A、B、C选项均不符合，所以选D. 9．ABD 【分析】利用二项分布的概率公式、期望、方差公式和性质逐项判断. 【详解】， 对于A：，A正确； 对于B：，由二项式系数的性质， 当时，是中的最大值，此时取得最大值，B项正确； 因为，所以， ，则，C不正确，D正确. 故选：ABD 10．BC 【分析】根据超几何分布的概念判断A，B；利用超几何分布的概率计算求解可判断C，D. 【详解】对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数， 即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误； 对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数， 由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故B正确； 对于，取出2个黑球的概率为，故C正确； 对于，若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则取出三个白球的总得分最小， 总得分最大的概率为，故不正确. 故选：. 11．BCD 【详解】由（二项分布），方差公式为， 则，故A错误； 由（超几何分布），期望公式为， 则​，故B正确； 根据期望的性质：， 已知，代入得： ，故C正确； 根据方差的性质：，常数不改变方差， 左边：； 右边：； 因此，故D正确. 12． 【分析】根据二项分布的期望以及方差公式，结合方差的性质即可求解. 【详解】，故，所以, 故. 13． 【分析】根据题意可知，从8人中抽出4人作为代表，求出其中男生代表为3人的概率，可用超几何分布的概率公式计算. 【详解】根据超几何分布的概率公式，本题中， 将数值代入可得： . 故答案为：. 14．576 【分析】先分析可得的可能取值为190，150，110，然后根据超几何分布的概率计算公式求出概率，然后再根据均值和方差的计算公式进行计算即可得解. 【详解】由题意，可得的可能取值为190，150，110， 且，，， 则， 所以方差. 故答案为：576. 15．(1)分布列见解析； (2)期望，方差. 【分析】（1）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列. （2），利用二项分布的期望方差计算得解. 【详解】（1）依题意，的所有可能取值为， ，， 所以的分布为： 0 1 2 （2）依题意，的所有可能取值为，每次摸到白球的概率为，则， 所以的期望，方差. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $