7.4.1二项分布 同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.1　二项分布 同步练习题 2025-2026学年第二学期高二数学人教A版选择性必修第三册 【学习目标】 1.能举例说明伯努利试验、n重伯努利试验的特征；能用例子解释二项分布的特征. 2.会求二项分布的分布列、均值及方差，并能够应用该模型解决实际问题. 【例题精练】 【例1】已知随机变量，则______________. 【答案】 【分析】直接根据二项分布的概念即可得结果. 【详解】因为随机变量， 则， 故答案为：. 【例2】甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，求： (1)赛完4局且甲获胜的概率； (2)在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据第4局甲胜，前3局甲胜两局可求概率； （2）先求第3局乙获胜的概率，再求出第3局乙获胜且甲最终获胜的概率，从而可得所求的条件概率. 【详解】（1）赛完4局，甲获胜，则第4局甲胜，前3局甲胜两局， 设事件为“赛完4局且甲获胜”，则. （2）设为“甲获胜”，为“第3局乙获胜”，则， 事件包含两种情况，第3局乙获胜，第4局比赛后最终甲获胜和第3局乙获胜，第5局比赛后最终甲获胜， 其中第3局乙获胜，第4局比赛后最终甲获胜，则乙只在第3局获胜，概率为， 第3局乙获胜，第5局比赛后最终甲获胜，则第1,2,4局中，有1局乙获胜，有2局甲获胜， 第5局甲获胜，概率为， 而， 故. 【例3】有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解； （2）应用二项分布写出概率，再写出分布列，最后应用公式计算数学期望即可. 【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为. （2）由题意得， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 【例4】2026年新春，我市质检部门抽查了一家生产剪纸的文创工坊，随机抽取了100幅剪纸作品，检测其工艺质量指标，检测结果的频率分布直方图如图所示． (1)求a的值，并估计该工坊生产剪纸的质量指标值的中位数（用分数作答）； (2)新春佳节，市民选购剪纸时更看重工艺品质，若规定质量指标值不低于30为“新春优品剪纸”，用样本估计总体，从该厂生产的大量剪纸中随机抽取4幅，记其中“新春优品剪纸”的幅数为，且各件产品是否为“优品”相互独立．求的分布列并计算数学期望与方差． 【答案】(1)，中位数为； (2) ， 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求出a的值，设中位数为m，列式计算即可； （2）先求出优品的概率，再根据二项分布的特点求出概率列出分布列，最后利用公式求出数学期望与方差. 【详解】（1）由得． 由图知，中位数在区间内，设中位数为m， 则，解得． （2）通过频率分布直方图计算得：P（优品），即， 由题意可知：服从二项分布，即． 由二项分布概率公式得： ； ； ； ； ． 所以X的分布列为： ； ． 【例5】某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3)游戏Ⅱ 【分析】（1）根据古典概型概率公式直接计算可得结果； （2）利用二项分布直接计算即可得出分布列和期望； （3）分别计算出参加一次游戏Ⅰ和游戏Ⅱ对应的奖金期望值，可知应选择游戏Ⅱ. 【详解】（1）由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率. （2）易知, 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为， 因此可知, 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望或. （3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下： 记分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额， 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ. 【A组基础达标】 一、单选题 1．设，且，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由二项分布的概率公式可得，所以， 则. 故选：C 2．某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布计算公式可求得结果为. 【详解】记“至少有两次击中目标”为事件，连续射击三次击中目标的次数为， 由每次射击击中目标的概率均为，则未击中目标的概率均为； 则. 故选：D 3．某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数，则（    ） A．13 B．12 C．5 D．4 【答案】C 【详解】，则，故． 4．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中有放回地摸出20个球作为样本，用表示样本中黄球的个数，则（    ） A．4.8 B．9.6 C．16 D．19.2 【答案】D 【分析】首先求出从袋子中摸出一个球是黄球的概率，则，再根据二项分布的方差公式及方差的性质计算可得； 【详解】解：依题意从袋子中摸出一个球是黄球的概率，则， 所以， 所以； 故选：D 5．某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知，，再利用二项分布求概率即可. 【详解】设答对的题目数量为，则， . 故选：A. 6．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析下落过程碰撞的次数和向左向右落下的概率，分别分析落入③号球槽和⑥号球槽的情况，分析求解，即可得答案. 【详解】下落过程中，需要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为， 落入③号球槽需向左4次，向右2次，则, 落入⑥号球槽需向左1次，向右5次，则， 则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为. 故选：B 二、多选题 7．下列说法正确的是（    ）． A．设为重伯努利试验中事件发生的次数，则 B．在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响 C．对于重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同 D．如果在次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中，这个事件恰好发生次的概率， 【答案】ABD 【分析】根据重伯努利试验的特征和二项分布的定义可依次判断各个选项得到结果. 【详解】一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验为重伯努利试验． 在重伯努利试验中，各次试验的结果相互之间没有影响，各次试验中事件发生的概率相同．故B正确，C错误． 二项分布的定义为：在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数， 则这个事件恰好发生次的概率，． 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．故A正确，D正确． 故选：ABD． 8．若袋子中有个白球，个黑球，现从袋子中有放回地随机取球次，每次取一个球，取到白球记分，取到黑球记分，记次取球的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分析可知，可判断A选项；利用独立重复试验的概率可判断B选项；利用二项分布的期望公式可判断C选项；利用二项分布的方差公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，每次摸到白球的概率为，则，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 三、填空题 9．甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为__________．（结果用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项分布概率公式来分两类计算即可. 【详解】事件：甲胜5局，得5分，乙得0分，则， 事件：甲胜4局，负1局，得4分，乙得1分，则， 所以五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 故答案为： 10．若随机变量，则______．已知随机变量，且，则______． 【答案】 【分析】空1由题意可得即可求解，空2利用二项分布期望和方差的公式求解即可. 【详解】空1：由题意可得； 空2：由，且，即，解得. 故答案为：；. 四、解答题 11．某会员店的本地会员占，外地会员占.现开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，每个会员对该店商品质量满意与否相互独立. (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员（其中会员总数远大于2），记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可. 【详解】（1）设事件：抽取的是本地会员，， 则事件：抽取的是外地会员，， 事件：会员对商品质量满意，，， 所以. （2）由（1）可知，单次抽取会员满意的概率，不满意的概率为， 的所有可能取值为0，1，2. 则，， ，， 0 1 2 所以. 12．射击俱乐部对初学者进行考核，规则为进行4次射击，命中目标不少于2次即合格.假设一名初学者每次射击命中目标的概率为，且各次射击是否命中相互独立. (1)求这名初学者考核合格的概率； (2)为了节省弹药，在初学者命中目标2次（无论4次射击是否全部完成）或者即使剩余的射击机会全部命中也不能合格的情况下就停止考核.将停止考核时这名初学者的射击次数记为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由二项分布的概率计算公式可得结果； （2）由相互独立事件的概率乘法公式计算可得分布列，由数学期望的计算公式可得结果. 【详解】（1）设4次射击中命中目标的次数为，则. 记初学者考核合格为事件，则. （2）（2）由题意可得，的所有可能取值为2、3、4， ， ， . 故的分布列为 2 3 4 【B组能力提升】 1．甲､乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用独立重复事件，分析获胜情况，即可求出概率. 【详解】甲第一局获胜并最终以获胜，说明在4局比赛中，甲胜了3局，输了1局， 并且输掉的这局为第二局或第三局， 故概率为. 故选：C 2．甲、乙两球队比赛，设事件“甲队主力球员首发”，事件“甲队获胜”，据统计，，，，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的乘法公式，得，再由条件概率公式得，从而，根据期望公式求解. 【详解】根据概率的乘法公式， 得， 根据条件概率公式得， 可得， 由于每场比赛的结果相互独立， 所以甲队获胜的场数，从而． 故选：B． 3．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列：，设为数列的前n项和，则事件“且”发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出事件“”发生的概率，再减去其中不满足条件“”的事件（即前两次均摸到红球，后四次均摸到白球）的概率，即可得出结论. 【详解】由题意说明共摸球六次，只有2次摸到红球，4次白的， 每次取得红球的概率为，取得白球的概率为，则； 又，所以，前两次不能为， 前两次为，后4次均为1的概率为：， 所以所求概率为：． 故选：D 4．小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 【答案】 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 5．聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 【答案】(1) (2)的分布列为，当最大时． 【分析】（1）先定义“输入的问题没有语法错误”、“一次应答被采纳” 两个事件，明确已知概率后，直接套用全概率公式，分“无错采纳” 和“有错采纳” 两类情况相加即可． （2）依据 “次独立重复试验+固定成功概率” 判定服从二项分布，列出分布列；最后通过计算相邻概率比值，解不等式找到单调区间，确定概率最大时的值 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， ． （2）依题意，， 所以的分布列为， 当最大时，有 即， 解得，， 故当最大时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.1　二项分布 同步练习题 2025-2026学年第二学期高二数学人教A版选择性必修第三册 【学习目标】 1.能举例说明伯努利试验、n重伯努利试验的特征；能用例子解释二项分布的特征. 2.会求二项分布的分布列、均值及方差，并能够应用该模型解决实际问题. 【例题精练】 【例1】已知随机变量，则______________. 【例2】甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，求：(1)赛完4局且甲获胜的概率；(2)在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率． 【例3】有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 【例4】2026年新春，我市质检部门抽查了一家生产剪纸的文创工坊，随机抽取了100幅剪纸作品，检测其工艺质量指标，检测结果的频率分布直方图如图所示． (1)求a的值，并估计该工坊生产剪纸的质量指标值的中位数（用分数作答）； (2)新春佳节，市民选购剪纸时更看重工艺品质，若规定质量指标值不低于30为“新春优品剪纸”，用样本估计总体，从该厂生产的大量剪纸中随机抽取4幅，记其中“新春优品剪纸”的幅数为，且各件产品是否为“优品”相互独立．求的分布列并计算数学期望与方差． 【例5】某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 【A组基础达标】 一、单选题 1．设，且，那么（   ） A． B． C． D． 2．某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 3．某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数，则（    ） A．13 B．12 C．5 D．4 4．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中有放回地摸出20个球作为样本，用表示样本中黄球的个数，则（    ） A．4.8 B．9.6 C．16 D．19.2 5．某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（   ） A． B． C． D． 6．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列说法正确的是（    ）． A．设为重伯努利试验中事件发生的次数，则 B．在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响 C．对于重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同 D．如果在次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中，这个事件恰好发生次的概率， 8．若袋子中有个白球，个黑球，现从袋子中有放回地随机取球次，每次取一个球，取到白球记分，取到黑球记分，记次取球的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为__________．（结果用数字作答） 10．若随机变量，则______．已知随机变量，且，则______． 四、解答题 11．某会员店的本地会员占，外地会员占.现开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，每个会员对该店商品质量满意与否相互独立. (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员（其中会员总数远大于2），记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望. 12．射击俱乐部对初学者进行考核，规则为进行4次射击，命中目标不少于2次即合格.假设一名初学者每次射击命中目标的概率为，且各次射击是否命中相互独立. (1)求这名初学者考核合格的概率； (2)为了节省弹药，在初学者命中目标2次（无论4次射击是否全部完成）或者即使剩余的射击机会全部命中也不能合格的情况下就停止考核.将停止考核时这名初学者的射击次数记为，求的分布列和数学期望. 【B组能力提升】 1．甲､乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两球队比赛，设事件“甲队主力球员首发”，事件“甲队获胜”，据统计，，，，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则（   ） A． B． C． D． 3．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列：，设为数列的前n项和，则事件“且”发生的概率为（    ） A． B． C． D． 4．小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 5．聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $