7.4 二项分布与超几何分布同步练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4 二项分布与超几何分布 一、单项选择题 1.已知随机变量，服从两点分布，若，，则（ ） A. B. C. D. 2.高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 3.一个盒子里装有大小相同的个黑球和个白球，从中不放回地取出个球，则白球个数的数学期望是（ ） A. B. C. D. 4.盒中有个螺丝钉，其中个是坏的.现从盒中随机抽取个，则概率是的事件为（ ） A. 恰有个是坏的 B. 个全是好的 C. 恰有个是好的 D. 至多有个是坏的 5.有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的正品数的数学期望值是（ ） A. B. C. D. 6.现有语文、数学课本共本（其中语文课本不少于本），从中任取本，至多有本语文课本的概率是，则语文课本的本数为（ ） A. 本 B. 本 C. 本 D. 本 二、多项选择题 7.在足球训练课上，，两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得分，射不中得分.已知，每次点球命中的概率分别为，，，若轮比赛后，的总得分分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若当且仅当时，取得最大值，则 8.在一个袋中装有质地大小一样的个黑球，个白球，现从中任取个小球，设取的个小球中白球的个数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 随机变量服从超几何分布 D. 随机变量服从二项分布 9.若件产品中有件次品和件正品.现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，则下列结论正确的是（ ） A. 若是有放回的抽取，则 B. 若是无放回的抽取，则 C. 若是有放回的抽取，的数学期望 D. 若是无放回的抽取，的数学期望 三、填空题 10.若随机变量服从二项分布，，则______ . 11.设随机变量服从两点分布，若，则______ . 12.从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，设所选人中女生人数为，则的概率是______ . 四、解答题 13.某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮次，选手在连续投篮时，第一次投进得分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多分；若某次未投进，则该次得分，且下一次投进得分.已知甲同学每次投进的概率为，乙同学每次投进的概率为，且甲、乙每次投篮相互独立. （1）求甲最后得分的概率； （2）记甲最后得分为，求的概率分布和数学期望； （3）记事件为“甲、乙总分之和为”，求. 14.某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖，抽奖箱里放有个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球. （1）当时，记为一次抽奖抽到“中奖”小球的个数，求的分布列与期望； （2）商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，若使中奖概率不低于，求的最大值. 15.某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得分，未罚进不得分，当分值拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若名球员全部罚球后双方差分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否不影响，各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； （2）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第个球员需出场罚球的概率. 一、单项选择题 1.答案：C 解析：由，得，解得，，故。服从两点分布，所以。 2.答案：B 解析：设最大，则，解得；，解得，故。 3.答案：B 解析：白球个数服从超几何分布，期望。 4.答案：C 解析：恰有个好的（即好坏）的概率为。 5.答案：B 解析：正品数服从超几何分布，期望为。 6.答案：C 解析：设语文课本本，由，解得。 二、多项选择题 7.答案：ACD 解析： A：，，故等价于。 C：方差，在递增，故时。 D：由，解得。 8.答案：BC 解析：服从超几何分布，。 9.答案：ACD 解析： 有放回时，，。 无放回时超几何分布期望。 三、填空题 10.答案：7 解析：，。 11.答案：0.6 解析：由和，解得。 12.答案： 解析：。 四、解答题 13.解：(1)记事件A为“甲得3分”，分析3分是 ，不可能是，所以在这四次投篮中，连续两次投中，另两次没中，记甲得3分，所以 (2)的取值为，，，，，， 分布列： 期望 (3)记为乙最后得分，则事件为“甲1分，乙6分”，“甲3分，乙4分”，“甲4分，乙3分”，“甲6分，乙1分” 故 14.解：(1)当时，抽奖箱里标有“中奖”字样小球个，未标有“中奖”字样小球个，一次抽奖，可能取出个标有“中奖”小球，或者个标有“中奖”小球，个未标有“中奖”小球，或者个标有“中奖”小球，所以的可能取值为，， 所以的分布列为： 期望 (2)抽奖箱里标有“中奖”字样小球个，未标有“中奖”字样小球个，参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，包含抽到个标有“中奖”小球，个未标有“中奖”小球，或个标有“中奖”小球，两种情况，所以参加抽奖的顾客中奖概率为 ，若使中奖概率不低于，则 ，解得或 ，又 ，所以的最大值为 15.解：(1)设每一轮罚球中，甲队球员罚进球的事件为，未罚进球的事件为；乙队球员罚进球的事件为，未罚进球的事件为 。设每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的事件为，由题意，得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种：甲、乙均未罚进球，或甲、乙均罚进点球，则 ，故每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为 (2)因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即四轮罚球结束时比分可能为或或 ①比分的概率为 ②比分的概率为 ③比分的概率为 综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为 学科网（北京）股份有限公司 $$