几何中有关证明与计算题 高频考点必刷题 2026年初中数学中考复习备考

**基本信息** 聚焦几何证明与计算高频考点，以题载法构建“性质应用-辅助线添加-推理计算”方法体系，逻辑链清晰 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线证明与计算|8题（题2/5/6等）|连半径证垂直、圆周角定理转化|圆的性质→切线判定→线段计算（勾股/相似）| |图形性质与判定|4题（题1/7/10等）|全等/相似判定、特殊图形性质应用|矩形/三角形性质→图形判定（菱形/等腰直角三角形）| |综合几何应用|3题（题4/9/12等）|折叠性质迁移、辅助线构造（作垂线）|多图形综合→性质关联→复杂推理计算|

几何中有关证明与计算题高频考点必刷题2026年初中数学中考复习备考 1.如图，在矩形ABCD中，P为边AB的一点，DP的中垂线分别交矩形两边AD,BC于 点E,F,交DP于点H,BF=CD,连结DF,PF E D B (1)判断△DFP的形状，并说明理由. (2)若AP=BP=2,求EH,EF的长. 2.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D,过点D作 DE L AC,垂足为点E,ED的延长线与AB的延长线交于点P. E B (I)求证：直线PE是OO的切线： 回者如P}PB-2,求o0作羊径以及D的长 3.如图，四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=45°，BD平分∠ABC,交AC于点F, 以AC为直径的OO经过CD的中点E. A D (1)求证：AB与⊙O相切： 2若1D=2,求M亚的长. 4.己知AB与⊙0相切于点C,OA=OB,∠AOB=80,OB与⊙0相交于点D,E为⊙0上一 点 G ○ B B 图① 图② (1)如图①，求∠CED的大小： (2)如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F,延长BO与⊙O相交于点G,若⊙O的 半径为3，求ED和EG的长. 5.如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙0，⊙0恰好经过点C,点D为半圆AB中点， 连接CD,过D作DE∥AB交AC延长线于点E. D (I)求证：DE为⊙O切线： ②若4C=4,CD=5,求o0。 的半径长 6.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙0与边BC、AC分别交于D、E两点， DF LAC于F. C F D E B (I)求证：DF为⊙O的切线： (2)若osC=3 5,CF=9,求AE的长. 7.如图，矩形ABCD,延长AB至点E,使BE=AB,延长CB至点F,使BF=CB,连接 AC,CE,EF,FA,DE. (I)求证：四边形AFEC是菱形： BE 2 (2)若BF-3,DE=10,求菱形AFEC的面积. 8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H,E为AB延长线上一点，CE交⊙O于点F (I)求证：BF平分∠DFE; 9 (2)若EF=DR,BE-5,AH=4,求⊙O的半径. H 9.如图，四边形纸片ABCD,点E在BC上，小明将纸片沿AE折叠，发现点B与点D重 合；继续把纸片沿MN(点M在CD上，点N在AE上)折叠，使MC叠合在射线MD上， 此时他发现NE恰好叠合在射线NA上， DM (I)求证：AE∥CD (2)求证：BE=CE 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D,E在边AB上，且∠DCE=45°， 过点B作AB的垂线，交CE的延长线于点F A F B (I)求证：CE2=AE·DE: (2)当AC=4,BD=3AD时，求BF的长. 11.如图，在△AOB中，A0=B0,点C是AB中点，以O为圆心，OC的长为半径作⊙0 交BO延长线于点D,交OA于点E,交OB于点F,过点D作⊙O的切线DG交BA延长线 于点C. D B C (1)求证：DG=CG: EH 1 (2)连接DE并延长交AB于点H,若DE3,CG=10,求⊙0的半径. 12.如图，△ABC中，AD LBC垂足为D,以BC为直径作⊙O,O0交ADAC于点 M、N,连接MN、MC、BN. B D (I)求证：∠CAD=∠CMN: ②若B=26,NC=4sn∠CN 3,求o0的半径及AM的长. 13.己知：如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB为直径，过点C的切线交AD的延长线于 点E,且AE⊥CE D (I)求证：DC=BC. (2)若DC:AB=3:5,求∠ACD的正切值. 14.如图，在△ABC中，AB=AC,⊙O为△ABC的外接圆，连接AO并延长交BC于点H, 点D为AC的中点，连接OD,过点A作AE∥BC交OD的延长线于点E. E B H (1)求证：AE为⊙O的切线： (②若D=V2,AE=V ,求BC的长 15.如图，在△ABC中，∠B=45°，⊙0经过B,C两点，与边AB交于点E,连接C0并 延长交AB于点M,交OO于点D,过点E作EF∥CD,交AC于点F. D (I)求证：EF是⊙O的切线： OM (2)若AC=BC,tan∠ACD=3,求MD的值. 参考答案 1.(1)等腰直角三角形，理由见解析 (2)EH=vio EF =40 3, 本题考查了矩形的性质，直角三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质和 相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键， Rt△BFP≌RtACDF(HL) (1)根据矩形的性质、线段垂直平分线的性质可证明 继而求解 即可； (2)先由勾股定理求出DP,再由等腰直角三角形的性质得出FH,通过证明 △DHE∽△DAP，再由相似三角形的性质求解即可. (1)等腰直角三角形，理由如下： ,四边形ABCD为矩形， ∴.∠B=∠C=90°， ∴.∠BPF+∠BFP=90°， ,DP的中垂线分别交矩形两边AD,BC于点E,F, .FP=FD, BF =CD, RtBFPRRtCDF(HL) .∠CFD=∠BPF, .∠CFD+∠BFP=90°， .∠DFP=90°. .△DFP是等腰直角三角形： (2).AP=BP=2, .AB=4, ,四边形ABCD为矩形， .BF=CD, ∴.AB=CD=BF=4. ·R△BFP≌RtCDF(HL) .'CF=BP=2. .'BC=AD=BF+CF=6, :∠A=90°， DP-VAD+APE=210 :DP的中垂线分别交矩形两边AD,BC于点E,F,△DFP是等腰直角三角形， :明DP=0=DH,DE=903 :∠DHE=∠A,∠HDE=∠ADP .△HEADAP, DH EH 10 EH ∴.DAAP,即62， 解得 H= 3, .EF=FH+EH= 3. 2.(1)见解析 (2)圆的半径为3， AD=125 5 (1)连接OD,AD,通过直径所对的圆周角等于90度，得到∠ADB=90°，结合等腰三 角形三线合一，可得∠BAD=∠CAD,接着证明∠ADO=∠CAD,推出ACIOD,即可得 到∠ODP=90°，即可得证； (2)连接OD,AD,在RtAOPD中，利用sinP,可算得OD,再用勾股定理得到DP, 接着在RtAPE中，利用sinP,可算得AE,再用勾股定理得到PE,推导出DE,最后在 RtAADE中利用勾股定理求得AD (1)证明：连接OD,AD, P :AB是直径， ∴.∠ADB=90° AB=AC, .∠BAD=∠CAD OA=OD, .∠BAD=∠ADO .∠ADO=∠CAD .ACIlOD .DE LAC, L0DP=90°， :OD是⊙0的半径， .直线PE是⊙O的切线： (2)解：连接OD,AD, E B D 由(1)可知，∠ODP=90°， sin p=3 PB=2,OB=OD, :sin P=OD=ODOD 3 OP OB+PB OD+2 5 :.OD=3,即圆的半径为3， .PO=5,AP=AO+OB+BP=3+3+2=8, :DP=VOP2-0D=5-3=4 在RtAPE中，∠iEP=0,sinP-6-4E-3 AP85 :AE=24 5, 5， DE=PE-PD=3 5 412 5 AD=AE+DE3 3.(1)见解析 .3π 2)4 (1)证明：如图，连接AE, :AC为直径， .∠AEC=90 .AE⊥CD :E为CD的中点， ..AC=AD :AD‖BC .∠ADB=∠CBD :BD平分∠ABC, ·∠ABD=∠CBD, ∠ABD=∠ADB. .AB=AD. .AC=AB, ∠ACB=∠ABC :∠ABC=45, ∠ACB=∠ABC=45°， ∴，∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=90°， .AB⊥AC AC为直径， :AB与⊙0相切 A D (2)解：如图，连接OE, O为AC的中点，E为CD的中点， OE∥AD: AD=2, 0E=3AD=1 .OE∥AD .∠COE=∠CAD ADI BC .∠CAD=∠ACB=45°， ∴.∠COE=∠CAD=45° .∠AOE=180°-∠COE=135° :.L= 35×π×1_3π 180 4 A D B 4.(1)∠CED=20° 23,3v5 本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： (1)连接OC,切线的性质得到OC⊥AB,三线合一，求出∠BOC的度数，圆周角定理求 出∠CED的度数即可； (2)平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到∠EDF=∠EFG-∠FED=60°，直径 得到∠GED=90°，解Rt&GED,进行求解即可. (1)解：连接OC :AB与⊙0相切于点C, ∴OC⊥AB.又OA=OB, :OC平分∠AOB :.∠COB= ∠AOB 2 ∠AOB=80°， .∠COB=40° 在OO中，∠CED=)∠COD 2 .∠CED=20° E B (2)由(1)知：∠CED=20°」 :EC∥OA, .∠EFG=∠AOB=80° :∠EFG为△DEF的一个外角， .∴∠EDF=∠EFG-∠FED=60° 由题意，DG为⊙O的直径， ∴.∠GED=90° 又⊙0的半径为3，则：DG=6。 在RIAGED中，cos∠EDG=ED DG in∠EDG=EG DG .ED=6cos60°=3，EG=6sin60°=35 5.(1)证明见解析 g6 (1)连接OD,根据点D为半圆AB中点得出∠AOD=90°，再由平行线的性质得出 ∠ODE=∠AOD=90°，即可证明DE为⊙O切线： (2)过点D作DF L AC,则△DCF是等腰直角三角形，可得DF=CF=1,再由勾股定理 求出D= ,即可求出⊙0的半径， (1)如图，连接OD, D :点D为半圆AB中点， .∠AOD=∠BOD=90° ,DE∥AB, ∠ODE=∠AOD=90° .DE为⊙O切线 (2)过点D作DF⊥AC,如图所示， D :∠ACD=)∠A0D=45, ∴.∠FDC=∠FCD=45° .DF=CF .CD=2 ∴.DF=CF=1 .AF=AC-CF=4-1=3 AD=AF+DF=10 ∠AOD=90°， ∴.△OAD是等腰直角三角形， 04-OD-AD-5 2 即⊙0的半径长是V5 本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理和平行线的性质，熟练掌握切线 的判定定理和圆周角定理是解题的关键， 6.(1)证明见解析 (2)7 (I)连接OD,AD,求出OD∥AC,推出OD⊥DF,根据切线的判定推出即可： (2)求出CD、DF,推出四边形DMEF和四边形OMEN是矩形，推出OM=EN, EM=DF=12,求出OM,即可求出答案. (1)连接OD,AD, D B :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， 又AB=AC, .BD=CD. 又OB=OA, OD∥AC, DF L AC, OD⊥DF, 又，OD为⊙0的半径， .DF为⊙O的切线： (2)连接BE交OD于M,过O作ON⊥AE于N, D M B 0 则AE=2NE, cosC=3 Γ5，CF=9, .DC=15」 :DF=V152-g=12 ,AB是直径， .∠AEB=∠CEB=90° :DF LAC,OD⊥DF .∠DFE=∠FEM=∠MDF=90° ∴.四边形DMEF是矩形， .EM=DF=12,∠DME=90°，DM=EF, 即OD⊥BE, 同理四边形OMEN是矩形， .OM=EN AN. :OD为半径， ∴.BE=2EM=24, .∠BEA=∠DFC=90°，∠C=∠C, .ACFD∽aCEB, DF CF :BE CE 129 ·249+EF, .EF=9=DM, 设⊙O的半径为R, 则在RtANO中，由勾股定理得： R2=122+(R-9)2 解得： R=225 18, 则EN=oM=225-g9=7 18 2 .AE=2EN=7. 本题考查了切线的判定，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形 的判定与性质，添加合适的辅助线解答是解题的关键。 7.(I)证明：：在矩形ABCD中，AB⊥BC, ∴，利用勾股定理有：AB2+BF2=AF2,AB2+BC2=AC2,EB2+BF2=FE2, EB2+BC2=EC2 BE=AB,BF=CB, 、AF2=EF2=AC2=EC2,即AF=EF=AC=EC, ∴四边形AFEC是菱形： (2)48 本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质以及勾股定理等知识. (1)结合矩形的性质，利用勾股定理证明AF2=EF2=AC2=EC2即可： (2)先求出AE,AB,AD之间的数量关系（都用BC表示出来），再在Rt△EAD中，利 用勾股定理列出方程即可求出BC,进而可得AE、FC的长度，问题得解. (1)略 BE_2 (2)BE=AB'BF 3' BE-AB-2BF 3 AE=2AB' .BF=CB, ,在矩形ABCD中，AB⊥AD,BC=AD, ·∠EAD=90°， BE=AB=2BF=2BC=2AD」 3 31 3 .在RIAEAD中，DE2=AD2+AE2, :10'=BC2+12ABP=2石BC,解得：BC=6(负值合去)， 9 BE=B-号8F-号8c=4, .FC=BC+BF=12,AE=2AB=8. A5e-5A+5am-×AE×FB+BC-x8x12=48. 25 8.1)见解析：(2)8· (I)根据圆内接四边形性质和圆周角定理求出∠EFB=∠CDB,∠BCD=∠DFB,根据垂 径定理求出CH=DH,求出BC=BD,根据等腰三角形性质求出∠BCD=∠CDB,求出 ∠EFB=∠DFB即可； (2)根据全等三角形的判定求出△DB≌△EFB,根据全等三角形的性质求出BD=BE= 5,证△DHB∽△ADB,根据相似得出比例式，代入求出即可. (1)证明：C、D、B、F四点共圆， ∴.∠EFB=∠CDB,∠BCD=∠DFB, ⊥ O四pOA过O ..CH=DH, ∴BC=BD, ∴.∠BCD=∠CDB, .∴.∠EFB=∠DFB, BF平分∠DFE: (2)解：设⊙O的半径为R, DF=EF ∠DFB=∠EFB ,在△DFB和△EFB中 FB=EB ∴.△DFB≌△EFB(SAS), ..BD=BE, BE=5, .BD=5, AB为⊙O直径，CD⊥AB, ∴.∠ADB=∠DHB=90°， '∠DBH=∠ABD, .∴.△DHB∽△ADB, BD BH ·ABBD' 9 9 AH=4,BD=5,AB=2R,BH-2R-4, 2R9 、4 2R5 25 解得：R=8,R=-2(舍去)， 25 即⊙O的半径是8· 本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，圆内接四边形，垂径定理等知识点， 能综合运用定理进行推理是解此题的关键。 9.(1)见解析 (2)见解析 (1)根据折叠的性质以及平行线的判定证明即可； (2)由第一次折叠可得∠AEB=∠AED,再由平行线的性质证明∠C=∠CDE即可. (1)证明：由第二次折叠可得，MN⊥CD,MN⊥AE, .∠CMN=∠ANM=90°， AE∥CD: (2)证明：由第一次折叠可得，∠AEB=∠AED,BE=DE, :AE∥CD, .∠AEB=∠C,∠AED=∠CDE. ∴∠C=∠CDE. .'DE =CE, .'BE=CE 10.(1)见解析 ②V 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，发现或构造相似三角形是解此题 的关键。 CE DE (1)证明CED2AEC,由相似三角形的性质得出AECE,即可得证： 拉iCnG7T点么到h-=8朗-25表0-20万 设DE=x,则AB=+:E别：AE-A=X-万：白勾殿定理求出DE-点， HE=x-2-名2，EB=BD-DE=号反，再由平行线得到相似三角形，利用其性质列 、3 出等式并进行计算即可得解. (1)解：：AC=BC,∠ACB=90° ∴.∠A=∠ABC=45°， :∠DCE=45°， ∴.∠A=∠DCE. ∠CED=∠AEC, .△CED∽△AEC .CE DE AE CE .CE2=AE.DE (2)解：过点C作CH⊥AB于点H, A D H E B 则MH=CH=BH=2N2 BD=3AD AD4B=5,BD=35: 设DE=,则 AE=x+2 EH=AE-AH=x-2 .CE2 CH2+EH2=AE.DE ∴.(2W2)2+(x-V2)2=x(x+V2) 前行×=柜 0E-5,E=-5-子5，B=0-0E-5, :CH⊥AB,BF⊥AB, .CH∥BF, ∴.△CHE∽△FBE BF BE :CH EH BF=2CH=4V2 11.(1)证明：连接0C,如图： D E A .OA=OB,C为AB的中点， .OC⊥AB 又：0C是⊙0的半径， CG是⊙0的切线， 又：DG是⊙O的切线， ∴DG=CG: (2)⊙0的半径为5. (1)证明CG是⊙0的切线，再根据切线长定理可得结论； (2)连接DE并延长交AB于点H,过点O作OG⊥DH于点G,连接EF,根据题意得到 EH_2 GH=5,设⊙0的半径为3x'则0D=0E=0C=3x:分别求出AE=2x,0B=5x: 8 BD=8x AH= 再根据直角三角形得到an∠B=tan∠O4B=DG_3 BD4,即8x=40 3 即可求解。 (1)略 (2)解：连接DE并延长交AB于点H,过点O作OG⊥DH于点G,连接EF,如图： B A :AO=BO,点C是AB中点， .OC⊥AB,OC平分∠AOB,即OC平分∠EOF, 又，OE=OF, .OC⊥EF, :∠DEF=90°， .OC‖DH, ,OC⊥AB, DH⊥AB .OD=OE,OG⊥DE, .GE=IDE EH 1 DE 3' EH 2 GE 3 EH 2 .GH 5' 设⊙0的半径为3x,则OD=OE=OC=3x, :OG⊥DE,DH⊥AB,OC⊥AB,即∠OGH=∠GHC=∠OCH=90°， .四边形OGHC是矩形， .'.GH =OC=3x. EH 2 3x=5, 6 :EH=5, .∠AHE=∠OGE=90°，∠AEH=∠OEG, ∴，△AEH∽△OEG AE EH 2 AE 2 ∴0EGE3,即3x=3, .'AE=2x, ..OB=OA=OE+AE=3x+2x=5x, ..BD=OD+OB=3x+5x=8x, 在a巾A-AE-EF-2x-g-是 6 :tan∠EAH=EH_5x3 S4，即mC04n=3, AH 8 .OA=OB, .∠B=∠OAB. 在Rt△BDG中，tam∠B=tan∠OAB=DC_3 BD 4 由(1)知，DG=CG=10, 103 :.BD 4' BD= 40 3,即8r= 3, 5 ..x= 3, ∴.⊙0的半径为3×，=5 3 12.(1)见解析 225-2v2 (I)根据圆周角定理以及AD L BC,可得∠CBN=∠CAD,即可解答： (2)连接BM,由(1)得：∠CBN=∠CMN,∠CAD=∠CMN,可得到 sin∠CBN=sin∠CAD 3,从而得到BC=,CW sin∠CBN=6,进而得到BN=25,4W=2, CD=4 AD=25 ，再证明△BDMAMDC,可得DM=2 ，即可求解 (1)证明：AD1BC, .∠ADC=90°， .∠CAD+∠ACD=90°， ,BC为⊙O的直径， ∴.∠BNC=90°， .∠CBN+∠ACD=90°， .∠CBN=∠CAD ,∠CBW=∠CMN, .∠CAD=∠CMN； (2)解：如图，连接BM, 由(I)得：∠CBN=∠CMN,∠CAD=∠CMN. :sin∠CMW=2 3 ·sin∠CBN=sin∠CMD=2 3 ,BC为⊙0的直径， .∠ANB=∠BNC=90°，∠BMC=90°， 在Rt△BNC中，：NC=4, .BC=. CN =6 sin∠CBN :BN=VBC-CN=V6-4=25,O0的￥径为3， 在Rt△AB 中，AN=VAB2-BN2=26-2V5=2, .AC=AN+CN=6. 在RtAADC中，CD=AC×Sin∠CAD=4, :AD-AC-CD-25 BD=BC-CD=2 :∠BMD+∠DBM=90°=∠BMD+∠CMD, .∠DBM=∠CMD :∠BDM=∠CDM=90°. .△BDMAMDC, BD DM 2 DM DMCD,即DM=4, DM-2 :4M=D-DM=2V5-2V2 13.(I)证明：连接OC,CE是⊙0的切线，OC⊥CE,又：AE⊥CE,AE∥OC, ∴.∠EAC=∠OCA.OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴.∠EAC=∠OAC, ..CD=BC CD=BC D 7 (2)24 (I)连接OC,因为CE是⊙O的切线，所以OC⊥CE,结合AE⊥CE可推出OC与AE平 行，进而得到角相等；再利用圆的半径相等得到角相等，结合圆周角定理的推论，证明 Dc和BC相等，即可得到DC=BC (2)由直径性质，可得∠ACB=90°：由DC:AB=3:5和DC=BC,得到BC与AB的比 值；设DC=BC=3k,AB=5k,由勾股定理得AC=4k,证明△ACE∽aABC,得 1CB,得AE=AC-(4k-16 AE AC AB 5k 5 .过点C作CG⊥AB于点G,由 S.w-ARCG-ACBC 2 求出CG=AC·BC=12k AB5,得CE=12K 5，由勾股定理得 DE=学得AD-5连接D.求BD=A-AD-5kP-告=2 由∠ACD=∠ABD,即得结论. (1)略 (2)解：DC:AB=3:5,DC=BC, .BC:AB=3:5 设DC=BC=3k,AB=5k, :AB是⊙0直径， .∠ACB=90, ..AC=AB2-BC2=(5k-(3k)2=4k. ∠EAC=∠CAB,∠E=∠ACB=90°， .△ACEn△ABC, .AE_AC ACAB· 六AE=AC-4k}16k AB 5k 5 过点C作CG⊥AB于点G, :AE⊥CE,AC平分∠EAB, .CE=CG. 1 1 S.Awe=ABCG-AC-BC, 2 .CG=AC-BC_12k AB 5' .CE=12k 5 在RACDE ,由定理：DE=nC-CE-3k2-2-9 ..AD=AE-DE=16k-9k=7k 5.55 连接BD, E C D 4 B ∠ADB=90°， .BD=AB-AD- 5- 24k .∠ACD=∠ABD, 7k tan∠ACD=tan∠ABD=AD 5 7 BD 24k24 5 14.(1)见解析 8W5 (2)5 (1)连接OB、OC,证明AH垂直平分BC,结合AE∥BC可得AH⊥AE,由AH是半 径，可得AE为⊙O的切线： CH AC (2)证明△ACH∽△EAD,得ADAE求得 CH=4v5 5,从而可求出BC. (1)证明：连接OB、OC,如图，则OB=OC, B H .·AB=AC, .AH垂直平分BC, 即BH=CH,∠AHC=90° AE‖BC, .∠OAE=180°-∠AHC=90°，即AH⊥AE, :AO是半径， :AE为⊙O的切线. (2)解：由点D为AC的中点， .AD=CD 又A0=C0. .OD⊥AC, .∠CHA=∠ADE=90° AE BC, .∠HCA=∠DAE, ∴.△ACH一△EAD, .CH_AC ·ADAE 贤器 解得CH46 5 ·BC=2CH=8 5 15.(1)见解析 (2)1 (1)连接EO,根据圆周角定理可知∠EOC=90°，根据平行线的性质可证OE⊥EF,又 因为点E是⊙O上一点，可证EF是⊙O的切线： BD DM (2)连接BD,可得∠CBD=90°，可证ACI‖BD,根据平行线的性质可知可证ACCM, DM 1 Q因为nACD3可得m乙CDB-S3,根据4C-BC可得OD2·所以点 BD M=1 是OD的中点，从而可得MD (1)证明：如下图所示，连接E0, △ABC中，∠B=45°， ∴.∠E0C=90°， ,EF∥CD ∠FE0=90°， .OE⊥EF, 又OE为⊙0的半径， .EF是⊙O的切线； M D 图1 (2)解：如下图所示，连接BD, :CD是⊙O的直径， .∠CBD=90° 又：AC=BC, ∠A=∠ABC=45°， ∠ACB=90°， .∠CBD+∠ACB=180°， .AC‖BD BD DM .∠ACD=∠CDB,ACCM, :tan∠ACD=3, tan∠CDB= BC BD -3 又AC=BC, 删肥畏 OD 1 “器子m0为 乙园 W 8 I=an WO 飞_q0 I Na