专项06 上海中考解答题第21题命题特点与命题趋势（大题专练）（上海专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项06 上海中考解答题第21题命题特点与趋势 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近五年（2021–2025）上海中考数学第 21 题整体定位为中档解答题（10 分），核心是函数建模 + 解直角三角形 / 简单几何，稳定在 “基础综合、情境真实、两小问梯度” 的格局，难度略升但不偏不怪。 一、近五年真题考点与结构（2021–2025） 年份 主题背景 核心考点 难度 2021.21 解三角形（△ABC） 勾股定理、锐角三角比（tan）、中线性质 中 2022.21 一次函数 + 反比例函数 一次函数解析式、反比例函数解析式、三角比应用 中 2023.22 一次函数+实际应用 求函数解析式、求函数值 中 2024.21 一次函数 + 反比例函数 待定系数法、k 的几何意义、sin 值计算 中偏上 2025.21 一次函数 + 反比例函数 分段一次 / 反比例函数、读图建模、待定系数法 中偏上 二、命题特点（稳定不变） 核心模块：函数 + 几何（解直角三角形为主） 函数：一次函数必考，2024 起加入反比例函数，2025 出现分段函数建模。 几何：解直角三角形（sin/cos/tan）为绝对核心，辅以勾股定理。极少涉及纯代数运算或复杂几何证明，重应用、轻技巧。 情境真实，贴近生活从 2021 纯几何→2022 双函数→2023 一次函数实际应用→2024 双函数→2025 热水器建模，生活化、跨学科趋势明显，强调 “现实问题→数学模型” 转化。 梯度清晰，层层递进 第 1 小问（4–5 分）：基础计算 / 求解析式，送分为主，保证基本得分。 第 2 小问（5–6 分）：综合应用 / 建模计算，需数形结合、方程思想，有一定思维量。 源于教材，立足通性通法试题改编自课本例题 / 习题，待定系数法、数形结合、方程思想为核心方法，无偏题怪题，强调 “双基” 与素养。 三、命题趋势（稳中求新，2026 预判） 函数综合化：一次函数为主，分段 / 反比例持续渗透 2025 双函数建模是重要信号：从单一函数→ 双函数建模，强调读图、建模、用模能力。 2026 大概率延续：一次函数 + 反比例 / 分段函数，结合实际情境（如行程、成本、温度变化）。 几何工具化：解直角三角形永恒核心，圆 / 四边形辅助 情境素养化：真实问题、跨学科、数据建模 从 “纯数学题”→真实情境应用题（热水器、测量、成本、环保等）。 强调数学建模、数据分析、应用意识，符合课标 “从解题到解决问题” 要求。 难度微升：计算量与思维量略有增加，但不超纲 2024–2025 难度略升：多条件整合、分步建模、跨模块综合，但仍属中档题，无超纲内容。 2026 保持8:1:1难度结构，第 21 题稳定在中档偏上，区分度适中。 真题·欣赏 1.（2024·上海·中考真题21）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 研考点·通技法 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可； （2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， 把代入， 得； （2）解：由（1）知： 设l与y轴相交于D，    ∵轴，轴轴， ∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 真题·欣赏 2.（2025·上海·中考真题21）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 研考点·通技法 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求分式的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值即可求出定义域； （2）根据（1）所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得， ∴， ∴关于的函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解；由（1）可得当时，， ∴加满水时，， ∴ 答：当水加满时，储水装置内水的温度为． 真题·欣赏 3.（2022·上海·中考真题21）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）． (1)求这个一次函数的解析式； (2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值． 研考点·通技法 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，求锐角的三角比。 （1）用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式； （2）构造直角三角形，正确理解三角比的定义即可解题． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式y=kx+1， 把A（2，3）代入，得3=2k+1， 解得：k=1， ∴这个一次函数的解析式为y=x+1； （2）解：如图， 设反比例函数解析式为y=， 把A（2，3）代入，得3=， 解得：m=6， ∴反比例函数解析式为y=， 当x=6时，则y==1， ∴B（6，1）， ∴AB=， ∵将点B向上平移2个单位得到点C， ∴C（6，3），BC=2， ∵A（2，3），C（6，3）， ∴ACx轴， ∵B（6，1），C（6，3）， ∴BC⊥x轴， ∴AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴cos∠ABC=． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC⊥BC是解题的关键． 破类题·提能力 1．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中（如图），正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如果将正比例函数的图像向下平移3个单位，得到的新函数的图像与反比例函数图像相交于点，求的余弦值． 2．（2026·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系（如图），已知正比例函数的图像与反比例函数（）的图像相交于点，过点作轴的垂线，与反比例函数的图像相交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)联结，点是的中点，联结，求的长． 3．（2026·上海虹口·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线经过顶点和边上的一点，，．设边与轴正半轴的夹角为，且． (1)求双曲线的表达式； (2)如果轴，求点的坐标． 4．（2026·上海宝山·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线交于点、点B，点C和点A关于原点对称． (1)求k与n的值； (2)求的值． 5．（2025·上海徐汇·二模）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 6．（2025·上海·二模）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，其中点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标． (2)当时，请直接写出的取值范围． (3)过点作轴于点，连接．求的面积． 7．（2025·上海青浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积． 8．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），反比例函数（是常数，且）的图像经过点． (1)求的值； (2)点在该反比例函数图像上（点与点在不同的象限内），联结，与轴交于点，且，求的正切值． 9．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项06 上海中考解答题第21题命题特点与趋势 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近五年（2021–2025）上海中考数学第 21 题整体定位为中档解答题（10 分），核心是函数建模 + 解直角三角形 / 简单几何，稳定在 “基础综合、情境真实、两小问梯度” 的格局，难度略升但不偏不怪。 一、近五年真题考点与结构（2021–2025） 年份 主题背景 核心考点 难度 2021.21 解三角形（△ABC） 勾股定理、锐角三角比（tan）、中线性质 中 2022.21 一次函数 + 反比例函数 一次函数解析式、反比例函数解析式、三角比应用 中 2023.22 一次函数+实际应用 求函数解析式、求函数值 中 2024.21 一次函数 + 反比例函数 待定系数法、k 的几何意义、sin 值计算 中偏上 2025.21 一次函数 + 反比例函数 分段一次 / 反比例函数、读图建模、待定系数法 中偏上 二、命题特点（稳定不变） 核心模块：函数 + 几何（解直角三角形为主） 函数：一次函数必考，2024 起加入反比例函数，2025 出现分段函数建模。 几何：解直角三角形（sin/cos/tan）为绝对核心，辅以勾股定理。极少涉及纯代数运算或复杂几何证明，重应用、轻技巧。 情境真实，贴近生活从 2021 纯几何→2022 双函数→2023 一次函数实际应用→2024 双函数→2025 热水器建模，生活化、跨学科趋势明显，强调 “现实问题→数学模型” 转化。 梯度清晰，层层递进 第 1 小问（4–5 分）：基础计算 / 求解析式，送分为主，保证基本得分。 第 2 小问（5–6 分）：综合应用 / 建模计算，需数形结合、方程思想，有一定思维量。 源于教材，立足通性通法试题改编自课本例题 / 习题，待定系数法、数形结合、方程思想为核心方法，无偏题怪题，强调 “双基” 与素养。 三、命题趋势（稳中求新，2026 预判） 函数综合化：一次函数为主，分段 / 反比例持续渗透 2025 双函数建模是重要信号：从单一函数→ 双函数建模，强调读图、建模、用模能力。 2026 大概率延续：一次函数 + 反比例 / 分段函数，结合实际情境（如行程、成本、温度变化）。 几何工具化：解直角三角形永恒核心，圆 / 四边形辅助 情境素养化：真实问题、跨学科、数据建模 从 “纯数学题”→真实情境应用题（热水器、测量、成本、环保等）。 强调数学建模、数据分析、应用意识，符合课标 “从解题到解决问题” 要求。 难度微升：计算量与思维量略有增加，但不超纲 2024–2025 难度略升：多条件整合、分步建模、跨模块综合，但仍属中档题，无超纲内容。 2026 保持8:1:1难度结构，第 21 题稳定在中档偏上，区分度适中。 真题·欣赏 1.（2024·上海·中考真题21）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 研考点·通技法 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可； （2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， 把代入， 得； （2）解：由（1）知： 设l与y轴相交于D，    ∵轴，轴轴， ∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 真题·欣赏 2.（2025·上海·中考真题21）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 研考点·通技法 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求分式的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值即可求出定义域； （2）根据（1）所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得， ∴， ∴关于的函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解；由（1）可得当时，， ∴加满水时，， ∴ 答：当水加满时，储水装置内水的温度为． 真题·欣赏 3.（2022·上海·中考真题21）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）． (1)求这个一次函数的解析式； (2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值． 研考点·通技法 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，求锐角的三角比。 （1）用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式； （2）构造直角三角形，正确理解三角比的定义即可解题． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式y=kx+1， 把A（2，3）代入，得3=2k+1， 解得：k=1， ∴这个一次函数的解析式为y=x+1； （2）解：如图， 设反比例函数解析式为y=， 把A（2，3）代入，得3=， 解得：m=6， ∴反比例函数解析式为y=， 当x=6时，则y==1， ∴B（6，1）， ∴AB=， ∵将点B向上平移2个单位得到点C， ∴C（6，3），BC=2， ∵A（2，3），C（6，3）， ∴ACx轴， ∵B（6，1），C（6，3）， ∴BC⊥x轴， ∴AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴cos∠ABC=． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC⊥BC是解题的关键． 破类题·提能力 1．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中（如图），正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如果将正比例函数的图像向下平移3个单位，得到的新函数的图像与反比例函数图像相交于点，求的余弦值． 【答案】(1)； (2)的余弦值为 【分析】（1）先求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）利用平移的性质求得平移后函数的表达式为，联立求得点，再求得，作于点，求得各边的长以及边上的高，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图像经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将正比例函数的图像向下平移3个单位，则平移后函数的表达式为， 联立得， 解得或， 当时，， ∴点， 设直线交轴于点，直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， 令，则， 解得， ∴点， ∴， 作于点， ，，， ∵， ∴， ∴， ， ∴的余弦值． 2．（2026·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系（如图），已知正比例函数的图像与反比例函数（）的图像相交于点，过点作轴的垂线，与反比例函数的图像相交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)联结，点是的中点，联结，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出m，再待定系数法求解析式； （2）先求出点C的坐标，再利用直角三角形斜边中线求的长． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴，把代入，得． ∴反比例函数解析式为． （2）把代入，得． ∴．∵，∴． 又∵轴，∴． 在中，∵点是的中点， ∴， ∵，∴． 3．（2026·上海虹口·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线经过顶点和边上的一点，，．设边与轴正半轴的夹角为，且． (1)求双曲线的表达式； (2)如果轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图：过C作轴于D，解直角三角形可得、，即；再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，如图：过A作轴于E， 再解直角三角形可得，即点A的纵坐标为；再根据轴可得点B的纵坐标为，然后再求点B的横坐标即可解答． 【详解】（1）解：如图：过C作轴于D， ∵，． ∴，即，解得：， ∴， ∴， 设双曲线的表达式为， ∵C在双曲线上， ∴，解得：， ∴双曲线的表达式为． （2）解：∵，， ∴， ∴， 如图：过A作轴于E， ∵，． ∴，即，解得：， ∴点A的纵坐标为， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点B在双曲线上， ∴点B的横坐标为， ∴． 4．（2026·上海宝山·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线交于点、点B，点C和点A关于原点对称． (1)求k与n的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先联立一次函数与反比例函数的解析式求解点，然后由关于原点对称的点的坐标特征求解点，再根据勾股定理及其逆定理证明是直角三角形，最后根据正切的定义求解． 【详解】（1）解：由题意得，把代入得，， ∴， 把代入，则， 解得； （2）解：由（1）知一次函数解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵点C和点A关于原点对称，， ∴，如图： ∴， 同理可求， ∴， ∴， ∴在中，． 5．（2025·上海徐汇·二模）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，勾股定理逆定理得到，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线过 ， 得 抛物线的表达式为：． （2）∵点， ， ， ∵，， ，，， ， ， ． 6．（2025·上海·二模）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，其中点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标． (2)当时，请直接写出的取值范围． (3)过点作轴于点，连接．求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为， (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数图像上点的坐标特征，解题的关键是数形结合． （1）利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，根据对称性可求出点的坐标； （2）根据图像即可求解； （3）根据题意可求出点的坐标，进而求出的值，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 反比例函数的表达式为， 、关于原点对称， ； （2）根据图像可知，当时， 的取值范围为：或； （3）根据题意得：， ， ． 7．（2025·上海青浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积． 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为； (2)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； （2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， ∴轴，， ∴的面积． 8．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），反比例函数（是常数，且）的图像经过点． (1)求的值； (2)点在该反比例函数图像上（点与点在不同的象限内），联结，与轴交于点，且，求的正切值． 【答案】(1)的值为 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出，求出值即可； （2）过点分别作轴的垂线，垂足为点，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，再利用三角形相似的性质得到，最后根据正切的定义求出的正切值即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 解得； 所以，的值为2． （2）解：过点分别作轴的垂线，垂足为点， 由（1）可知，点，则，， ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 所以，在中，． 9．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将代入直线方程求出后可得点坐标，再将该坐标代入双曲线方程即可得到； （2）结合题意得出，，，根据垂直平分线的判定推得，解方程后可得，，将的值代入求得点和点坐标，满足存在即可． 【详解】（1）解：已知直线过点， 将代入直线方程， ， 双曲线过点，把，代入， ； （2）解：由题知：，，， ， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ，， 当时，，，， 当时，，，此时、重合，舍去， 综上：． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数综合、垂直平分线的判定、两点间的距离、一元二次方程的实际应用，解题关键是运用数形结合思想解题． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $