2026年中考数学二轮复习备考解答题中有关圆的证明与计算题高频考点预测练

**基本信息** 聚焦圆的切线证明与计算，以“连半径证垂直”“全等/相似转化”为核心方法，构建“判定-性质-计算”逻辑链，强化推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线证明|15题（含同心圆、旋转等情境）|连半径证垂直、全等三角形、角平分线性质|从切线定义出发，结合圆周角定理、垂径定理推导判定条件| |相关计算|15题（面积、长度等）|扇形面积公式、勾股定理、相似比|以几何证明为基础，通过代数运算解决度量问题|

2026年初中数学中考二轮复习备考 解答题中有关圆的证明与计算题高频考点预测练 1.如图，己知AB为⊙O的直径，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B,点D, F是ADB的三等分点，BA,CD的延长线相交于点E. D (I)求证：DC是⊙O的切线； (2)若⊙0的半径为1，求阴影部分面积.。 2.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O,且与小圆相交于A,与大圆 相交于点B,小圆的切线AC与大圆相交于D,OC平分∠ACB (I)证明：直线BC是小圆的切线； (2)试证明：AC+AD=BC; (3)若AB=8cm,BC=10cm,求大圆与小圆形成的圆环的面积. 3.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B,∠DAB=∠C0B. E (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)直线AB与CD交于点E,且DE=3,AE=V3,求阴影部分的面积. 试卷第1页，共3页 4.如图，△ACD内接于⊙O,直径AB交CD于点G,过点D作射线DF,使得 ∠ADF=∠ACD,延长DC交过点B的切线于点E,连接BC. G D (1)求证：DF是⊙0的切线； (2)若CD=号CG,BE=3CE=3,求DE的长. 5.如图，在⊙0中，AB是直径，弦CD LAB于点E,过点C作⊙O的切线，交AB的延 长线于点F,连接DF。 A (I)求证：DF是⊙O的切线； (2)若AE=9,BE=1,求线段CF的长， 6.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，分别连接C0,BC,⊙O的切线AD与BC的 延长线交于点D,E是AD的中点，连接CE (1)求证：CE是⊙0的切线： (②)若tanD=寻，BC=6,求四边形A0CE的面积. 7.如图，AB是半圆O的直径，AD和BC是它的两条切线，切点分别为A、B,CO平分 ∠BCD. 试卷第1页，共3页 A 0 B (1)求证：CD是半圆O的切线， (2)若AD=2,CD=5,求BC的长. 8.如图，点D是以AB为直径的⊙O上的一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点 C,点E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F, (1)求证：DF是⊙O的切线： (2)若OB=BF,EF=8,求AD的长 9.如图1，点A为⊙0外一点，过点A作⊙O的切线AC,切点为C,CD是⊙0的直径， 过点D作DEAO交⊙O于点E,连接AE并分别延长AE、CD,两线交于点B E E B B D 图1 图2 (I)求证：AB是⊙O的切线； (2)若∠B=30°，BD=1,求图中阴影部分面积（结果保留π）； (3)如图2，若⊙0的半径为2，点I是△DEC的内心，连接EI并延长至点F,使得 FO⊥EF,垂足为F,连接DF.当点A运动时，求DF的最小值， 10.如图，AB为⊙O的直径，BC是圆的切线，切点为B,OC平行于弦AD, 试卷第1页，共3页 (I)求证：DC是⊙0的切线： (2)直线AB与CD交于点F,且DF=4,AF=2,求⊙O的半径. 11.定理证明： B 图1 图2 (1)如图1，PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B,求证：PA=PB: 定理应用： (2)如图2，△ABC是⊙0的内接等腰三角形，AB=AC=2,∠D=60°，DC是⊙O 的切线，若DABC,求四边形ABCD的面积. 12.如图，在□ABC0中，以点0为圆心，OC长为半径作⊙0，⊙0分别交BC,OA于 点E,F,C0的延长线交⊙O于点D,连接AD,AE,已知AE是⊙O的切线. D B (I)求证：AD是⊙0的切线： (2)若AB=BE=6,求CF的长（结果保留π）. 13.如图，AB是⊙O的直径，AC,BC是⊙O的弦，过圆心O作BC的平行线0D与过点 C的切线交于点D,与AC交于点E. 试卷第1页，共3页 B E A (I)求证：AD是⊙0的切线： (2)如果∠CD0=∠B,0D=3,求CD的长； (3)在(2)的条件下，求图中阴影部分的面积. 14.如图，AC,BD是圆内接四边形ABCD的对角线，AC⊥BD于点E,BD平分∠ADC. D B E C (1)求∠BAD的度数； (2)点P在DB的延长线上，PA是该圆的切线. ①求证：PC是该圆的切线； ②若PA=AC=V5,直接写出PD的长. 15.如图，在Rt△0AB中，∠A0B=90°，OA=OB=4,以点0为圆心，2为半径画 圆，过点A作⊙O的一条切线AP,切点为P,连接OP,将OP绕点O按逆时针方向旋转到 0H时，连接AH,BH,设旋转角为(0<&<360°). H B 备用图 试卷第1页，共3页 (I)当弧PH的长为π时，求α的度数，并求出此时线段OP扫过的面积； (2)如图，当a=90°时，求证：BH是⊙O的切线； (3)直接写出S△4H的最大值与最小值的差. 试卷第1页，共3页 《2026年初中数学中考二轮复习备考解答题中有关圆的证明与计算题高频考点预测练》参 考答案 1.(1)见解析 29器=号-吾 【分析】(1)连接0D由点D,F是ADB,的三等分点可知AD=DP,DP=BP,进而可 知∠A0D=∠DOF=∠B0F=青∠A0B=60°，则可证△OBC兰△ODC由此可知 ∠ODC=∠OBC,根据BC是⊙O的切线，则OB⊥BC则可证∠ODC=∠OBC=90· OD⊥CD,OD是⊙O的半径，则可证DC是⊙O的切线： (2)由OD⊥EC,可知在Rt△DOE中，∠OED+∠D0E=90°，根据 ∠D0E=60°，∠DE0=30°进而可知在Rt△D0E中，OE=20D=2,由勾股定理 得DE=V,进而可求△D0E的面积，进而可求扇形DOE的面积，用割补法可求出阴影 部分面积. 【详解】(1)证明：如图，连接0D, :点D,F是ADB的三等分点， ∴AD=DF=BF, ∠A0D=∠DOF=∠B0F=青∠A0B=60°， OD=OB 在△OBC和△ODC中 ∠D0C=∠B0C=600 0C=0C .△OBC≌△ODC(SAS), ∴∠ODC=∠OBC(全等三角形对应角相等) 又BC是⊙O的切线， OB⊥BC, ∴∠0DC=∠0BC=90°， .OD⊥CD,OD是⊙O的半径， ·DC是⊙O的切线： 答案第1页，共2页 (2)解：：OD⊥EC(己证)， :∠ED0=90°， :在Rt△DOE中，∠OED+∠DOE=90°， 又：∠D0E=60°， :∠DE0=30°， :在Rt△DOE中，OE=20D=2, 由勾股定理得：DE=V0E2-0D2=V22-1=5, SAD0E=支×1XV5=9,S用形A0D=9器=号， 9阴影=SA0E-SBM00=9-音 【点晴】本题考查全等三角形的判定和性质，扇形的面积和弧长，圆的切线证明，勾股定理， 割补法求面积，能够熟练掌握割补法是解决本题的关键 2.(1)见详解： (2)见详解； (3)16πcm2, 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握切线的判定、全等 三角形的判定方法是解题的关键， (1)只要证明OE垂直BC即可得出BC是小圆的切线； (2)利用全等三角形的判定得出△OAD兰△OEB,从而得出EB=AD,从而得到 CE十EB=BC,从而证明AC十AD=BC; (3)根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积， 【详解】(1)解：连接0D,过O作OE⊥BC,垂足为E, B :AC是小圆的切线，AB经过圆心O, :OA⊥AC, :C0平分∠ACB,OE⊥BC, ·∠AC0=∠0CE,∠OAC=∠0EC,OC=OC, 答案第1页，共2页 ·△AC0≌△EC0(AAS), 0E=0A, ·OE是小圆的半径， ·BC是小圆的切线； (2):AC切小圆于点A,BC切小圆于点E, OA=OE,0D=OB,∠0AD=∠0EB=90°， ·△OAD≌△OEB, :EB=AD, :△AC0≌△EC0, :AC=CE, CE+EB=BC, ÷BC=AC+AD: (3):∠BAC=90, AB=8cm,BC=10cm, ÷AC=VBC2-AB2=V102-82=6, ·BC=AC+AD, :AD=BC-AC=4, 又：0D2-0A2=AD2, 圆环的面积为：S=π(0D)2-π(0A)2=42元=16π(cm2) 3.(1)见解析 23V5-π 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连 过切点的半径，也考查了圆周角定理和扇形的面积公式及三角函数的应用.熟练掌握切线的 判定与性质是解题的关键， (1)连接0D,根据∠DAB=∠COB,得ADIOC,∠AD0=∠DOC,进而得 ∠DOC=∠BOC,证明△DOC兰△BOC(SAS),根据全等三角形的性质、切线的判 定定理证明； (2)设0A=OD=r,求出0D的长，得出∠B0D=120°，根据扇形的面积公式计算即 可 答案第1页，共2页 【详解】(1)证明：连接0D, D E '∠DAB=∠COB, :AD IIOC, ÷∠AD0=∠DOC, 0A=OD. ·∠ADO=∠DAB, :∠D0C=∠B0C, 在△D0C和△BOC中， OD=OB ∠DOC=∠BOC (0C=0C :△DOC≌△BOC(SAS), ·∠ODC=∠OBC, :BC为⊙O的切线， :∠0BC=90°， ∠0DC=90°， :OD⊥CD, :OD是⊙O的半径， :CD是⊙O的切线， (2)解：设0A=OD=r, 在Rt△0DE中r2+32=(5+r)解得r=V5, 0D=5, 在Rt△ODE中， :tan∠B=器=9， ÷∠E=30°， ÷∠D0E=60°，∠BCE=600, 答案第1页，共2页 :BC,CD均为⊙O的切线， :OC平分∠BCD, ÷∠0CD=30°， 0D=5, ·CD=3, :∠D0E=60°， ÷∠B0D=120°， :△DOC≌△BOC, :S阴影=支×V5×3×2- 120回=35-T 360 4.(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理和相似三角形的判定和性质： (1)连接OD,BD,等边对等角，结合圆周角定理推出∠ODF=90·,即可得证； (2)证明△DEB∽△BEC,列出比例式进行求解即可. 【详解】(1)证明：连接OD,BD,则：OA=OD=OB, D .∠OAD=∠ODA∠ODB=∠OBD, ∠ADF=∠ACD,∠ACD=∠ABD, ∠ADF=∠ABD, :AB为直径， ∠ADB=90°， ∠ABD+∠0AD=90°， ∠ADF+∠0DA=90°，即：∠ODF=90°， OD⊥DF, :OD是⊙0的半径， 答案第1页，共2页 DF是⊙O的切线： (2):BE为⊙0的切线， AB⊥BE, .∠CBE+∠ABC=90°， :AB为直径， .∠ACB=900, .∠CAB+∠ABC=90o, .∠CAB=∠CBE, ∠CAB=∠CDB, .∠CBE=∠CDB, ∠E=∠E, .△DEB△BEC =器， ∴BE2=CE.DE BE=3CE=3, .CE=1, DE=9. 5.(1)见解析 2)9 【分析】(1)由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,得AB垂直平分CD,所以 CF=DF,由切线的性质得∠OCF=90°，由∠FDC=∠FCD,∠ODC=∠OCD,推 导出∠ODF=∠OCF=90°，即可证明DF是⊙O的切线； (2)由AE=9,BE=1,得AB=10,则0C=0B=0A=5,所以0E=4,求得 CE=V0c2-0B区=3，由tan∠C0F=器=器=，求得CF=0C= 【详解】(1)证明：：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E, :CE=DE, ∴AB垂直平分CD, :过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点F, .CF⊥OC,CF=DF, 答案第1页，共2页 ∠OCF=90°，∠FDC=∠FCD, 0C=0D, ∠ODC=∠OCD, ∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD十∠FCD=∠OCF=90°， :OD是⊙O的半径，且DF⊥OD, DF是⊙O的切线； (2)解：：AE=9,BE=1, :AB=AE+BE=10, .0C=0B=0A=AB=5, .0E=0B-BE=4, :∠0EC=∠0CF=90°， CE=V0c2-0E=52-42=3, tanC0F=器=是=， :CF=0C=星×5=9， :线段CF的长是要 【点晴】此题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，切线的判定与性质，勾股定理，解直角 三角形等知识，推导出AB垂直平分CD,进而证明CF=DF是解题的关键。 6.(1)见解析 2299 【分析】(1)连接AC,根据切线性质得出∠BAD=90°，根据圆周角定理得出 ∠ACB=90°，根据直角三角形性质得出CE=专AD=AE,根据等腰三角形的性质得出 ∠ECA=∠CAD,∠OAC=∠OCA,求出∠OCA十∠ECA=∠OAC+∠CAD=90°， 即可得出结论； (2)根据切线的性质得出∠BAD=90°，解直角三角形得出AC=m6c=号=8，根 据勾股定理求出BA=√AC2+BC=V⑧2+6=10，解直角三角形得出 AD=器=号=号，根据SA4cE=SAc回=S△4cDS△40c=S△Bc0=SSAACB 答案第1页，共2页 求出结果即可. 【详解】(1)证明：如图，连接AC, B :AD是⊙O的切线， ·∠BAD=90°， :AB为直径， :∠ACB=90°， ·∠ACD=90· :点E是AD的中点， .CE=AD=AE, ÷∠ECA=∠CAD, :0A=0C, .∠OAC=∠0CA, ·∠0CA+∠ECA=∠0AC+∠CAD=90°， ·OC⊥CE, :OC为半径， :CE是⊙O的切线， (2)解：：AD是⊙0的切线， ∠BAD=90°， ∠D十∠B=90°， 由(1)得：∠ACB=∠ACD=90°， ·∠BAC+∠B=90°， :∠BAC=∠D, tan∠BAC=, &AC=mc=号=8， BC :BA=VAC2+BC2=V82+62=10, 答案第1页，共2页 ·B0=0A=0C=5, :∠BAD=90°， tanD=器， “AD=器=9=9， AE=ED,BO=0A ÷SA4E=S△cBD=2 SAACD'S△40c=SABCO=SA4cB :S四边形A0cE=S△4cE+S△40c=S△4m+S△4B=S△ABD=克×号×AB×AD=9 【点晴】本题主要考查了切线的判定和性质，解直角三角形的相关计算，圆周角定理，勾股 定理，三角形面积计算，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质. 7.(1)证明见解析； (2)BC=3. 【分析】(1)过0作0E⊥CD,垂足为E,再由角平分线的性质得到OE=OB,从而可知 DC是半圆O的切线； （2)由切线长定理可知DE=DA=2,EC=CB,再由线段和差可求得BC的长； 本题主要考查了切线的性质和判定、切线长定理的应用，掌握切线的性质和判定、切线长定 理是解题的关键， 【详解】(1)证明：如图，过0作OE⊥CD,垂足为E, B :BC与半圆O相切于点B, OB⊥CB, CO平分∠BCD, :.0B=0E, ∴0E是半圆0的半径， .CD是半圆O的切线； (2)解：：AD、CD是半圆O的两条切线，切点分别为A、E, 答案第1页，共2页 DE=AD=2, CD=5, :.CE=CD-DE=3, CD、CB是半圆O的两条切线，切点分别为E、B, :BC=CE=3. 8.(1)证明见解析 (2)12 【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，30°直角三角形的性质，等 腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键. (1)连接OD,BD,由AB为⊙O的直径得∠BDC=90°，根据BE=EC知∠1=∠3、 由0D=0B知∠2=∠4，根据BC是⊙0的切线得∠3+∠4=90°，即∠1十∠2=90°得 证； (2)根据直角三角形的性质证△OBD是等边三角形，得到∠F=∠A=30°，则 AD=DF,BE=专EF=4,求得DE=BE=4,得到DF=12,即可得到结论. 【详解】(1)证明：如图，连接OD,BD, :AB为⊙O的直径， :∠ADB=∠BDC=90°， 在Rt△BDC中， BE=EC, DE=EC=BE, ∠1=∠3， :BC是⊙O的切线， .∠3+∠4=90°， ÷∠1十∠4=90°， OD=0B, ∠2=∠4， 答案第1页，共2页 .∠1+∠2=90°， 即∠0DF=90°， ·半径OD⊥DF, ÷DF为⊙O的切线： (2)解：：OB=BF,∠0DF=90o, :0B=BD=BF=OD, ·△OBD是等边三角形， :∠BOD=∠0BD=60°， :∠0DF=∠ADB=90°， ·∠F=∠A=30°， :AD DF, :∠FBE=90°， BE=专EF=4, :DE=BE=4, DF=12, ·AD=DF=12 9.(1)证明见解析 @9-言π (3)DF的最小值V5-1 【分析】本题考查切线的性质与判定，扇形面积计算，三角形内心： (1)连接0E,证明△AOE≌△A0C(SAS),结合⊙O的切线AC,得到 ∠AE0=∠AC0=90°，即可得到AB是⊙O的切线； (2)由∠B=30°，得到0B=20B,∠B0E=60°，BE=V30E,结合BD=1,得到 OD=OE=1,BE=V30E=V,然后根据图中阴影部分面积S△BOE-S扇OE计算即 可 (3)延长EF交⊙O于M,连接OM,取OM中点N,连接FN,DN,由点I是△DEC的 内心，得到∠DEM=专∠DEC=45·,由F0上EF,得到∠0FM=90°，根据斜边中 答案第1页，共2页 线的性质得到FN=OM=1,即可得到DF≥DN-FN=5-1,当F在DN上时， DF=5-1最小. 【详解】(1)解：连接0E, E D 图1 OE=0D, .∠OED=∠ODE, DEAO, ∴∠OED=∠AOE,∠ODE=∠AOC, .∠A0E=∠AOC, .△A0E≌△A0C(SAS), ∠AE0=∠AC0, :⊙O的切线AC, .∠AE0=∠AC0=90°， AB是⊙O的切线： (2)解：：∠AE0=∠AC0=90°，∠B=30°， :0B=20B,∠B0E=60°，BE=V30E, 设半径OD=OE=r,则OB=BD+OE=BD十r, :BD=1, r+1=2r, 解得r=1, :0D=0E=1,BE=V50E=V5, :图中阴影部分面积为S△50E-S角阳0e=支×1×V5-器×π×12=-名π： (3)解：延长EF交⊙O于M,连接OM,取OM中点N,连接FN,DN, 答案第1页，共2页 B D M 图2 :直径CD, .∠DEC=90°， 点I是△DEC的内心， ∴EF平分∠DEC=90°， :.∠DEM=号∠DEC=45°， ∠DOM=2∠DEM=90°， :⊙0的半径为2， .0D=0M=2, OM中点N, 0N=MN=0M=1, :DN=V0D2+0N=12+22=5, F0⊥EF, .∠0FM=90°， .FN=0M=1, ·DF≥DN-FN=5-1, :当F在DN上时，DF=V5-1最小 10.(1)见解析 (2)3 【分析】(1)连接OD,根据切线的性质得到OB⊥BC,证明△DOC兰△BOC,根据 切线的性质得到∠ODC=∠OBC=90·，根据切线的判定定理证明结论， (2)设⊙O的半径为r,根据勾股定理列出方程，解方程求出⊙O的半径. 答案第1页，共2页 【详解】(1)证明：连接OD, B :BC是⊙O的切线， ÷OB⊥BC, OCILAD, .∠BOC=∠OAD,∠DOC=∠ODA, :0A=0D, ·∠ODA=∠0AD, .∠DOC=∠BOC, 在△D0C和△BOC中， OD=OB ∠DOC=∠BOC 0C=0C ÷△DOC≌△BOC(SAS, :∠0DC=∠0BC=90°， OD⊥CD, :OD是⊙O的半径， :DC是⊙O的切线： (2)解：设⊙0的半径为r,则0F=OA十AF=r+4, 在Rt△0DF中，0D2+DF2=0F2,即r2+42=(r+2)2, 解得：r=3, :⊙0的半径为3. 【点晴】本题考查的是切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股 定理的，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键， 11.(1)见解析：(2)2V3 【分析】(1)由切线的性质得到∠0AP=∠0BP=90°，再由等边对等角得到 ∠OAB=∠OBA,则可证明∠PAB=∠PBA,进而证明PA=PB 答案第1页，共2页 (2)先证明号∠A0C+∠0CA=90·,由切线的性质得到 ∠ACD+∠0CA=∠0CD=90°，则∠ACD=专A0C,由圆周角定理得到 ∠B=专∠AOC,则∠ACD=∠B,由平行线的性质得到∠CAD=∠ACB,则可证明 ∠ACD=∠CAD,得到AD=CD,进而可证明△ACD是等边三角形，△ABC是等边三 角形，则四边形ABCD是菱形，作CE⊥AD于点E,则∠AEC=90·, AE=DE=AD=1,求出CE=V5,则S四边形ABcD=AD·CE=2V5 【详解】(1)证明：如图1，连接0A、OB、AB, B 图1 :PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B, PA⊥OA,PB⊥OB, :∠0AP=∠0BP=90°， :0A=0B, ·∠0AB=∠0BA, :∠OAP-∠OAB=∠OBP-∠OBA, ·∠PAB=∠PBA, ·PA=PB (2)解：如图2，连接0A、0C,则0A=0C, 图2 ·∠0CA=∠0AC, ÷∠A0C+2∠0CA=180°， ÷3∠A0C+∠0CA=90°， :DC与⊙O相切于点C, :DC⊥OC, 答案第1页，共2页 :∠ACD+∠OCA=∠OCD=90°， ÷∠ACD=克A0C, :∠B=支∠A0C ·∠ACD=∠B, :AD‖BC, ·∠CAD=∠ACB, AB=AC ·∠B=∠ACB, ·∠ACD=∠CAD, AD CD, :∠D=60°， ·△ACD是等边三角形， ·∠CAD=∠ACB=60°， :△ABC是等边三角形， ·AB=CB=AC=AD=CD=2, ·四边形ABCD是菱形， 作CE⊥AD于点E,则∠AEC=90°，AE=DE=AD=1, CB=NAc2-AE=22-17=3, ÷S四边形ABcD=AD·CE=2×V5=2W5, 四边形ABCD的面积是2V5. 【点晴】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，等边三角形的性质与判定，菱形的性质 与判定，勾股定理，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键。 12.(1)见解析 (2)4π 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线： 圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和弧长公式， (1)连接0E,如图，根据切线的性质得到∠AE0=90°，再证明∠AOD=∠AOE,于 是可判断△AOD兰△AOE,所以∠ADO=∠AE0=90·,然后根据切线的判定方法得 答案第1页，共2页 到结论； (2)由AB=BE=6得到∠BAE=∠BEA,再根据平行四边形的性质得到OC=AB=6 ，∠BA0=∠C,OABC,接着证明∠0EC=2∠BEA,则利用∠AE0=90°得到 ∠0EC=60。,然后求出∠C0F的度数后用弧长公式计算. 【详解】(1)证明：连接OB,如图， E :AE是⊙O的切线， ·∠AE0=90°， :四边形ABCO为平行四边形， :OA|lBC, ·∠A0D=∠C,∠A0E=∠0EC, :0E=0C, .∠OEC=∠C, ·∠A0D=∠AOE, 在△A0D和△AOE中， OD=OE ∠AOD=∠AOE (0A=0A .△A0D≌△AOE(SAS), :∠AD0=∠AE0=90°， :OD⊥AD, ·AD是⊙O的切线； (2)解：：AB=BE=6, ·∠BAE=∠BEA, :四边形ABCO为平行四边形， :OC=AB=6,∠BA0=∠C,OABC, ·∠OAE=∠BEA, ·∠OAB=2∠AEB, 答案第1页，共2页 :0E=0C, ·∠C=∠OEC=∠OAB, ·∠0EC=2∠BEA, :∠AE0=90°， :∠0EC+∠BEA=90°， ÷∠0EC=60°， :∠E0F=∠E0C=60°， 即∠C0F=120°， :CEF的长度=2=4π. 180 13.(1)见解析 @9 (3)5-3x 8 【分析】(1)根据切线的性质得出∠DC0=90·，根据平行线的性质及等腰三角形的性质 得出∠2=∠3，利用SAS可证明△C0D兰△A0D,即可得出∠DA0=∠DC0=90°， 可得结论： (2)由(1)可知∠B=∠1=∠2，根据∠CD0=克∠B得出∠CD0=30°，利用∠CD0的 余弦值即可得答案； (3)设OD交⊙O于F,根据S阴影=S△40D-S扇形A0F,利用扇形面积公式计算即可得答 案 【详解】(1)证明：如图，连接0C, B 3 A :CD是⊙O的切线， .∠DC0=90o, 答案第1页，共2页 0B=0C, ∠B=∠1， BCOD ∠B=∠3，∠1=∠2， .∠2=∠3， OC=0A,OD=OD, .△C0D≌△AOD(SAS), .∠DA0=∠DC0=90o, .OA⊥AD, :点A在⊙0上， ·AD是⊙O的切线： (2)解：由(1)知：∠B=∠1=∠2， :∠CD0=∠B :∠CD0=3∠2， ∠CD0+∠2=90°， .∠CD0=30o, :∠DC0=90°， CD=OD.COSLCDO=3c0s30= 2 (3)如(1)中图，设0D交⊙0于F, 由(1)(2)知，∠3=∠2=2∠CD0=60,0A=0C=30D=月，AD=CD= “SaD=0AAD=××9= 只 60() S扇形A0F=60草=寻π， 9y3-3π ·S阴影=S△40D-S扇形A0F= 8 【点晴】本题考查的是切线的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周 角定理、扇形面积的计算及解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关 键。 14.(1)∠BAD=90 答案第1页，共2页 (2)①见解析；②PD的长为3. 【分析】(1)由角平分线的定义求得∠ADB=∠CDB,根据圆周角定理求得 ∠ADB=∠BAC,利用AC⊥BD,据此可求解： (2)①连接0A,OC,证明△A0P兰△C0P,推出∠0CP=∠0AP=90°，即可证 明PC是该圆的切线； ②证明△PAC和△BA0都是等边三角形，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股 定理求得半径为1，据此求解即可 【详解】(1)解：：BD平分∠ADC, ·∠ADB=∠CDB :∠BAC=∠CDB, ·∠ADB=∠BAC :AC⊥BD, :∠ADB+∠CAD=90°. ∠BAC+∠CAD=90·. :∠BAD=90°： (2)①证明：如图，取BD的中点O,连接OA,OC. D C “∠BAD=90°， ·BD是该圆的直径， :点O是该圆的圆心 :PA是⊙O的切线， :∠0AP=90°. :OA=OC,AC⊥BD, ÷∠A0P=∠COP. OP=OP, .△AOP≌△C0P. 答案第1页，共2页 .∠0CP=∠0AP=90°. ·PC是⊙O的切线： ②：PC、PA都是⊙O的切线， :.PA=PC, PA=AC=3, .PA=PC=AC=3. △PAC是等边三角形， ∠AP0=∠APC=30°，∠A0P=60°， ∴P0=20A,△BA0是等边三角形， :P02=0A2+PA2, .0A=1, .0A=0D=1,P0=20A=2, PD=3, PD的长为3. 【点晴】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质以及 勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件， 15.(1)210;3π (2)证明见解析 (3)82 【分析】(1)由弧长公式及扇形面积公式代值求解即可得到答案； (2)由AP是⊙0的切线，可得∠0PA=90°，证明△A0P兰△BOH(SAS),则 ∠OHB=∠OPA=90°，即OH⊥BH,进而结论得证： (3)由勾股定理得，AB=V0A+0B2=4W2,如图3，过0作H1H21AB,交圆于 H1H2,如图所示，根据S△4HB的最大值与最小值的差为S△4BH,一S△ABH,=AB·H1H2 ,计算求解即可. 【详解】(1)解：：⊙0的半径是2，弧PH的长为π， 品0×2π×2=号π，解得x=210°： 答案第1页，共2页 :线段0P扫过的面积=器×π×22=π： (2)证明：：AP是⊙O的切线， ∠0PA=90°， =90°，∠A0B=90°， ∠POH-∠AOH=∠AOB-∠AOH,即∠AOP=∠B0H, 在△A0P和△BOH中， OP=OH ∠AOP=∠BOH 0A=0B .△AOP≌△BOH(SAS), ∠OHB=∠OPA=90°，即OH⊥BH, :OH是半径， ·BH是⊙O的切线； (3)解：由勾股定理得，AB=V0A2+0B2=4W2, 过0作H1H2⊥AB,交圆于H1、H2,如图所示： H, “.S△4HB的最大值与最小值的差为 S△4BH2-S△AEH,=AB·H1H2=方×4W2×4=8V2, :S△4HB的最大值与最小值的差为82， 【点睛】本题考查了旋转的性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理， 等知识.熟练掌握切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键。 答案第1页，共2页