四川绵阳市南山中学2026届高三下学期模拟预测热手考试数学试题

绵阳南山中学高2023级高考热手考试 数学试题 命题人：杜立松董文宝刘群建吕宗明文家强周瑞审题人：杜立松吕宗明 注意事项： 1答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷 上无效 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.若A={0,-1,1},则A的子集个数为() A.3 B.6 C.7 D.8 2.在复平面内，复数云=京的共轭复数z在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设x∈R,则“cosx=0”是“sinc=1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 1(:-云广的展开式中，第5项为常数项，则该展开式的所有二顶式系数的和为() A.1 B.32 C.64 D.128 5将函数f()=sin(m+号o>0)的图象向左平移号个单位长度后得到函数g(四)的图 象，且函数g(x)是偶函数，则ω的最小值是() A号 B.1 c号 D多 6.过抛物线y=4x的焦点F作斜率为正的直线交抛物线于A,B两点，且AF列=2BF,则直 线AB的斜率为() A B.√2 C.2W2 D.2√5 7.已知球O的半径为1，圆锥内接于球O,则圆锥体积的最大值为() A.l6元 81 B瓷 c D.32r 27 第1页，共4页 8.甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个 班比另一个班多2分或打满6局时结束。设甲班在每局中获胜的概率为号，乙班在每局中 获胜的概率为号，且各局胜负相互独立.比赛结束时甲班所得分数为X,则P(X=2)= () A别 B.348 C. 0 ·729 D.23 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩， 得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 甲班 10 b 乙班 c 30 附：x2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(n=a+b+c+d), P(x2≥) 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 号，则下列说法正确的是() A.甲班人数多于乙班人数 B.甲班的优秀率低于乙班的优秀率 C.表中c的值为15，b的值为50 D.根据小概率值α=0.025的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系” 10.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知bcosC,acosA,ccosB成等差数 列，且asinC=√(1-acosC),则下列结论正确的是（) AA=号 B.b=1 C.A4BC周长取值范围为(25,2+V3 D若O是△ABC外接圆的圆心，则△0AC和△OBC面积之差的取值范围为(-怎答] 第2页，共4页 11.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,AB⊥BC,用一平面a 截该三棱锥分别与棱AB,PB,PC,AC相交于点D,E,F,G,如图所 示，记向量元为平面α的一个法向量，下列条件中，使DE⊥DG的 是() A.若元∥AB B.若元∥PC C.若元∥PB D.若元∥AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知x,y均为非负数，且x+2划=1，则2+1的最小值为 13.已知向量à，6满足a=1,a+26=2,且(-2a)1i,则à·6= 4已知双曲线若-苔-1a>06>0的左右焦点为R马，P为双陆线上一点，△P5的 内心为I,直线IF,I乃的斜率分别为%1，k2,且5k1+k2=0,则该双曲线的渐近线夹角的正切 值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,3Sn=4am-2. (1)证明：数列{am}是等比数列，并求出通项公式： (2)设函数f)=x·(nx-)的导函数为fx,数列{b.}满足b,=f(a),求数列b}的 前n项和T 16.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A1BC1中，AA1⊥平面ABC,∠ACB=90°，CA=CB=√2，AA1 =√，D是棱A1B1的中点，F是棱BC上靠近C的三等分点，E在棱BB1上，且AD⊥ EC. (1)求证：EF∥平面ADC1; (2)求平面DEC1与平面AEF的夹角的余弦值. 第3页，共4页 17.(15分) 已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未 售出的商品，每1吨亏损0.3万元.根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量 的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以x(单 位：吨，100≤x≤150)表示下一个销售季度的市场需求量，T(单位：万元)表示该电商下一 个销售季度内经销该商品获得的利润， 个频率组距 0.030 0.025 0.020 0年年：8由年年 0.015 0.010 0 100110120130140150 需求量xh (1)视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求P(x≥120)： (2)将T表示为x的函数，求出该函数表达式： (3)在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各 个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如x∈ [100,110),则取x=105的概率等于市场需求量落入[100,110)的频率)，求T的分布列及数 学期望E(T). 18.(17分) 已知直角坐标系中△ABC满足sinB+sinC=√2，B-l,0),C(1,0),动点A的轨迹为曲线 sinA T (1)求曲线T的方程； (2)若半径为5的圆的圆心在曲线T上运动，过原点O作因M的两条切线，分别与曲 线T交于E,F,射线OE,OF的斜率存在，并记为1,2. ()求证：1k为定值： ()求|OE·OF的最大值 19.(17分) 己知f(x)=(1-x)e”-1, (1)求函数fx)的极值： (2)正项数列{an}满足ame=e-1,a1=1, (i)若不等式am≤m对任意的正整数n成立，求实数m的取值范围； (ii)若am≤Aan+1,求实数A的最小值. 第4页，共4页绵阳南山中学高2023级高考热手考试 数学试题参考答案 1 P 3 4 5 6 7 8 10 11 D D B A ABDABD ACD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.法一：因为集合A={0,-1,1},所以A的子集有0，{0，{-1}，{1，{0-1，{0,1}，{-1,1} {0,-1,1}共8个 法二：因为集合A有3个元素，故子集的个数为2=8个.故选：D 2油忽，复数=品欲- -5+5i= 10 2+2, 所以该复数在复平面内对应的点为（分》，2在复平面内对应的点为（号，》）在第四象 限故选：D, 3.由c0s=0,得0=受+k,k∈么，由sinx=1,得x=号+2kmk∈乙， 又{le=受+2kkeZ={=受+km,keZ}, 所以“cosx=0”是“sinx=1”的必要不充分条件.故选：B 4二项式(2红-左广的展开式的第r+1为=C2”(2, 所以男=C2r(广=C,所以n=6, 所以该展开式的所有二项式系数的和为2，故选：C 5.由题意go)=f(e+号)=sin(+号+50(o>0)是偶函数， 所以号+写0=受+标kEZ,解得o=号+3k,k∈z, 又w>0,所以当且仅当k=0时，0a=专故选：A 6.法一：由抛物线方程知：F(1,0): 由题意知：直线AB斜率不为0，可设AB:x=my十1，A(c1,1),B(x2,2), 由G-m以十得：-mg-4=0,心+=4m,9地三4 lAF=2BF,.y1=-2y2,则-2=-4，解得：y2=-√2， ∴班+=-=√2，即m=2,解得：m=臣 ·直线AB的斜率k=1=2√2 m 法二：由+的名-LA=25F得到AP例=3， 1 第1页，共8页 设直线的顿斜角为8，由AN=1-8o0得3=1-2o0所以ca0=分所以 2 tand=2W2.故选：C. 7.依题意，由球O及其内接圆锥的性质知，球心O在其内接圆锥的高所在直线上， 圆锥体积最大时，球心O在其内接圆锥的高上，设球心O到圆锥底面的距离为x(0≤x< 1), 由球的截面小圆性质得：圆锥底面圆半径r=√1一x,则圆锥的高h=1+x, 圆锥的体积f)=V=了=号1-(1+，f✉)=-号3-(+1， 当0<红<专时，f)>0,当分<z<1时，f)<0,即函数f)在(0，号)上单调递增， 在（兮1）上单调递减。 所以当=专时，=〔号)=引1-（号门1+号）=，即圆锥体积的最大值为 32x.故选：B 81 8.X=2,甲乙比分20或24，当20时甲班胜，当24时乙班胜： Px=2)=(号+2号号户（分户-者+8-8故选c 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9对于C,由条件知10+b+c+30=105,19=号故b+。=65,10+c=30, 105 所以b=45,c=20,故C错误： 对于A,由于甲班人数为10+b=10+45=55, 乙班人数为c+30=20+30=50<55,故A正确： 对于8，由于甲班优秀率为号品乙班优秀率为品-号>品放8正确： 对于D,由于x= 105×(45×20-10×30)2 ≈6.109>5.024，故D正确 55×50×30×75 故选：ABD l0.由题意得，2 acosA=bcosC+ccosB,则2 sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB= sin(B+C)=sinA, 因为Ae(0,5),所以sinA>0,则cosA=号，则A=号，放A正确： 因为asinC--V3(1-csC),所以asinC+V3 acosC--2asin(C+3)=√3，则 asin(C+A)=asin B三3因为sin-s品B所以b-asinB白l,故Bi正确 2 sinA 由A-ha=ic即度 b 3 sinB=sinc得a-25 2sinBc= sinC sinB 所以：a+b+c=a+c+1= √3 nB+1 sin(B+号】 +1 2sinB sinB 第2页，共8页 √5 sinB+写。 2 cosB +1=5+y3cosB+3 2sinB sinB 2sinB 2 2c0s号 2 +， B+2B1 2sin号cos号 △ADC为能角三角形，所以0<B<受0<答-B<受得晋<B<号，则音<号<子： 因为m后=a答-）-有=2-5，所以2-5<am号<1， 则1≤1 252,放3<93号<月+3， B tan 2-√5 2 故△BC周长取值花国为(35,3+v3),放C错误： 设△ABC的外接圆半径为R,∠ABC=0, 则a 3 sin9=2R,则R= 1 1 2sin 2 故△OAC和△OBC面积之差为： S=R((sinAC0C-sin∠B0C)=2{2sg(广sin20-sin2∠BAC) 112 sin20-sin 2sin0cos- 9(sn0+os动) 4sin0cos0-v3(sin20+cos0) 8sin' 8sin 16sin0 2 16tan日+4tan0-6, 因为后<0<号所以an>方则0<a<5, 故当，1。 tand 2y3时，S=Y6 3 当、 tand =5时5=0，当→0时8+语 故0AC和△OBC面积之差的取值范围为(-语得引故D正跪故选：ABD 11.由PA⊥底面ABC,得PA⊥BC.又AB⊥BC,故BC⊥平面PAB 因为DEC平面PAB,所以BC⊥DE. 若要DE⊥DG,由于DGC平面ABC, 故只需DE⊥平面ABC 对于A:若元∥AB,且DE⊥元，得DE⊥AB. 又BC⊥DE(已证)，故DE⊥平面ABC.故A正确： 对于B:若元∥PC,且DE⊥元，得DE⊥PC 又BC⊥DE,故DE⊥平面PBC,只能推出DE⊥PB,无法推出DE⊥平面ABC.故 B错误； 对于C:若元∥PB,得DG⊥PB.由PA⊥底面ABC,得PA⊥DG 故DG⊥平面PAB,因为DEC平面PAB,所以DE⊥DG.故C正确： 对于D:若元∥AC,且DE⊥元，得DE⊥AC.又BC⊥DB,故DE⊥平面ABC.故D 第3页，共8页 正确；故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.8 3.1 14.45 2由题可得会+号-层+号+2刻=2+2+智+号≥1+1-8， (当且仅当x=2y=士时取等)，则2+子的最小值为8 13.因为(-2)16，所以(-2a)·石=0，即=2a·元， 又因为a=1,a+26=2,所以1+4a.方+42-1+12a.6=4, 从而a-6=子 14.设△PF的内切圆与P,F,P分别切于E,M,N, 由PFl-|PF=|MIE-|MF=2a,得(cw+c)-(c-M)=2a,则xM=a 不妨设P位于双曲线的右支，设k1=tana,k=-tanB,则5tana=tanb 所以5☑所越调.即a+ MFME c-a 所以c=a,所以e=多设渐近线的顿斜角，则an0=Vei- 21 所以an20=,2n=-45,所以该双曲线的渐近线夹角的正切值为4W5 1-tan'g 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1):3Sn=4am-2,.3Sn-1=4an-1-2,(n≥2)， 相减得3am=4an-4am-1,即an=4an-1,又3S1=4a1-2→a1=2≠0， 所以数列{an}是以4为公比的等比数列， 。。。。。。 。。。。。。。。。 …4分 所以am=2·4-1=2m-1 …6分 (2)+f(a)=.(Ina-2):.f(t)=2alnx+.I-a-2lng. ∴bn=2.2n-1n2n-1-ln2-(2m-1)4, … 9分 Tn=ln2[1×4+3×4+…+(2m-1)4] .4Tn=ln2.[1×42+3×43+…+(2m-1)4+1] 相减得-3T=1n2·[1×4+2(4+…+4)-(2n-1)4+1] -n2-1x4+2x161=4-1-14+], 1-4 整理得2=l2-[《号n-吾+9刀 .…13分 第4页，共8页 16.法一(1)等腰直角三角形A1BC1中，D是斜边AB1的中点，∴.CD⊥A1B1 :AA1⊥面A1B1C1,.AA1⊥CD,∴.直线CD⊥平面ABA1B1, ∴.CD⊥AD,又AD⊥EC,.AD⊥平面DEC1, ADDE,ton/A DA=tanLDEB=3.:BE=3 3 -,可得BE=2EB1,….3分 在AB上取点C,使BC=号BA,连接BG,则BG∥AD,所以EC∥平面ADC, 在BC上取点F,使BF=号BC,连GF,则FG∥DC,所以GP∥平面ADC, ∴.平面EGF∥平面ADC,即EF∥平面ADC, …7分 (2)取AB的中点O,分别以OB,OC,OD为c,,z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A-10.0.10,24)r(分号，0)，D00. 设平面AP的法向量为元=(x,y,z), 由分L西得x+20 ”元⊥AF 2x+y=0 令x=1,得元=(1，-2，-5)， 10分 取平面DEC1的法向量AD=(1,0,√5)，…13分 6os<元a≥=是-平 41 所以平面DEC与平面AEF的所成锐二面角的余弦值为 2 ….15分 法二(1)由题可知，CA,CB,CC1两两垂直，建系如图，设BE=m, 则A02.0.BV2.0,F号00， D号竖5.Ca05E2.0m 而=(-9.元-（反.05-m DG-竖-要o 由AD·C=0得-1+√3(3-m)=0所以m=2y5 3 所以B.02) ….3分 2当90-2设面ADG的法向显=云. 所以=(-22 3 [2 「AD元=0 2y+V3z=0 由 /2 DC·元=0 。-y 2y=0 令=1.-6》 所以尿元=-22+25.6=0， 3 33 所以EF∥平面ADC. ….7分 第5页，共8页 〔24证=（√2，-2,2，A正=（号-2.0.设面A迈r的法向量对=(20 AE·元1=0 2-+2=0 由 DF.元1=0 令71=(3,1，-√6)，….10分 3西-V2h=0 呢-（受-竖9G-〔←.0，. 设面DEC1的法向量m=(r,y,z2), D元·元=0 得 2② 2 320 由 -V2x+3 ,令72=(1，-1，W6),….13分 (EC·元=0 3230 .c0s<i1,n2>= 3-1-6_√2 W16×W8 4 所以平面DC与平面AEP的夹角的余弦值为√2 ….15分 17.(1)根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得： P(x≥120)=P(120≤x<130)+P(130≤x<140)+P(140≤x≤150) =0.030×10+0.025×10+0.015×10=0.7. …4分 (2)当x∈[100,130)时，T=0.5x-0.3(130-x)=0.8c-39, 当x∈[130,150]时，T=0.5×130=65。 所以7=0.8x-39,100≤<130 …7分 65,130≤x≤150 (3)由题意及(2)可得： 当x∈[100,110)时，T=0.8×105-39=45,P(T=45)=0.010×10=0.1: 当x∈[110,120)时，T=0.8×115-39=53,P(T=53)=0.020×10=0.2: 当x∈[120,130)时，T=0.8×125-39=61,P(T=61)=0.030×10=0.3; 当x∈[130,150]时，T=65,P(T=65)=(0.025+0.015)×10=0.4. 所以T的分布列为： 12分 T 45 53 61 65 0.1 0.2 0.3 0.4 ..E(T)=45×0.1+53×0.2+61×0.3+65×0.4=59.4万元. …15分 18.(1)设点A(m,g),因为simB+siC=V2,所以AC+lAB=2BC>BCL sinA 所以动点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆（除去与直线BC的交点）， 所以2a=2W2,所以a=√2，c=1,b=1 所以曲线T的方程为号+=1〔红≠士2方 …5分 第6页，共8页 (2)设M,则变+6-1即+26=2 (i)设过原点O的圆M的切线的方程为y=kx,由 k-0l=⑤得 √1+k 3 (号-子)-2m8k+g听- 2=0 3 所以k1·k= …10分 - 2 3 明号 2时- 3 ()法一：由（①知，k+k=2kk=-号，设E(,h,F物 6-3 2, (y=kix 2 2k1 由{ (2+y= 得2+1i=2k+1 所以1OEP= 薄号1 2k+2 2然1同理0=1+2 1 k号+1 12分 所以|OEf+0F=2+2X+1+2k+1 1 1 2(k+k)+2 =2+ 4k+2(k+6)+1 =2+ 2(k1+k)+2 2++2=3. .15分 所以1OB1-1OF1≤OE1O-号（当且仅当1o网=10r时取=） …17分 2 法二：设EV2cosa,sind),FW反cos9R,simB),由()知，k~ks=}tanatanB= .1 所以tanatanB=-1 …12分 OBP=2c0a+sintan,OpP=2c0+sn=2tan 1+tan a 1+tan'B 所以OB,OpP=2+ona2+anB) (2+tama)(2+,1,） tan'a …15分 (1+tan'a)(1+tanB) (1+tana)(1+1 tan a (2+tana)(2tanu+1≤ 3+3tan)2 (1+tan'a)2 (1+tan'a)2 =9(当且仅当tana=±1时取=) 所以O,lO≤号 17分 19.(1)fx)=(1-x)e-1,∴.f'x)=-xe, .函数fx)在区间(-∞，0)上递增，在区间(0，+∞)上递减， fx)的极大值为f0)=0,无极小值， …3分 (2)()由a,e=e-1,得e=e-1,由()知，当x>0时，f)<0,即e1<e, an dnW dnston an 所以数列{an}是递减数列，即an≤a1=1, 即实数m的取值范围是[1，+o), …8分 第7页，共8页 (倒）：a≤ant1,即ah≥c a, e=e1≥e,令m=ae(0,.1,e-e+1≤0， an 令函数f)=e子-e+1,f0)=0,.3∈(0,1，使函数fr)在区间(0，r)上递减， 即f)=e+牙e-e≤0在(0.)恒成立， 又f(0)=0,∴32∈(0，c1),使函数f(x)在区间(0，c)上递减； 令函数g=fe,即ga)=e+c-e≤0在(0)恒成立， “g0)=是-1≤0→≥2 …14分 现证明a+1>c,即证明e=1>e, an 令t=an∈(0,1]，整理得e-1-te>0 构造函数=e-1-如，侧h✉=e气e-1-), 易证e≥+1，e-1-号≥0，即h()≥0， 所以函数h(x)在区间(0，+∞)上递增，即h(x)=e°-1-e0>0, 即e=e-1>e成立，所以入的最小值为2. …17分 第8页，共8页