精品解析：四川绵阳南山中学实验学校2025-2026学年高三下学期5月高考冲刺试题（一）数学试题

秘密★启用前【考试时间：2026年5月7日】 绵阳南山中学实验学校高2023级高三高考冲刺试题（一） 数学 （满分150分，考试时间150分钟） 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 若复数满足，则（ ） A. B. 13 C. D. 5 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（ ） A. 16 B. C. D. 7. 在中，满足，若对于边上任一点，恒有，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 8. 已知函数的图象上存在四个点能够构成一个以坐标原点为对称中心的平行四边形，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为等差数列，，，则下列说法正确的是（） A. B. 数列单调递减 C. 数列前8项和最大 D. 数列前5项和 10. 双曲正弦函数与“S”型函数是两类重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的运用，其解析式分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是上的增函数 B. ，恒成立 C. 的值域为 D. 曲线是中心对称图形 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，是曲线上任意两个不同的点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的渐近线方程为 B. 的图象是轴对称图形 C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 13. 正项等比数列中，与是的两个极值点，则______. 14. 已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，分别为角所对的边，且 （1）确定角的大小； （2）若且的面积为，求的值 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为的中点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面所成角的余弦值. 17. 流行病学调查表明某种疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. （1）若有某种治疗方案，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案痊愈的概率； （2）若市面上仅有两款药物和药物对疾病有疗效，且这两种药物的疗程各均为天（假定药物使用时，均按疗程服用天），超过天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过天也能痊愈已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：关于方程在区间上有两个根； （3）在（2）的条件下，设方程的两个根为，，其中，证明：. 19. 平面内动点到直线与的距离的平方和为定值． （1）求动点的轨迹的方程： （2）过点做互相垂直的两条直线，直线交曲线于点，直线交曲线于点，记的中点为中点为，其中为正整数． ①求证：直线过定点，设该定点为，求； ②若的面积记为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前【考试时间：2026年5月7日】 绵阳南山中学实验学校高2023级高三高考冲刺试题（一） 数学 （满分150分，考试时间150分钟） 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先确认数据已经从小到大排列，再根据百分位数的计算规则，计算 ．当结果不是整数时，取大于该结果的最小整数所对应的数据． 【详解】这组数据已经从小到大排列为 共有个数据，所以 因为不是整数，所以第百分位数是第个数据． 第个数据为，所以这组数据的第百分位数为． 2. 若复数满足，则（ ） A. B. 13 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由得 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为需要满足，所以，所以； 因为且，所以，所以， 则. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB，利用不等式的性质可判断，对于C，使用作差法即可判断，对于D，结合余弦函数的单调性和奇偶性即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A错误； 对于B，当时，，，此时，故B错误； 对于C，， 因为，所以，即，又因为 ，所以 ， 因此 ，即，故C正确； 对于D，余弦函数在上单调递减，所以 ， 又因为函数为偶函数，所以 ，故D错误. 5. 已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合， 所以， 又因为， 所以， ，得. A：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； B：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； C：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； D：令，显然该方程有整数解，本选项符合题意； 6. 抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（ ） A. 16 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线定义将“点到准线的距离”转化为“点到焦点的距离”，再利用三点共线求最值的方法即可求解. 【详解】由题意得抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心为，半径为1， 则，若求的最小值，则应三点共线， 且，则 . 7. 在中，满足，若对于边上任一点，恒有，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，的中点，连接，，由题意可得，从而得，，则有，即可得答案. 【详解】解：取的中点，的中点，连接，，如图所示： 则， 同理， 因为， 所以， 即， 所以对于边上任意一点都有， 因此， 又，为中点，为中点， 所以， 所以， 即， 所以， 即为钝角三角形． 又与的大小无法确定， 所以无法判断是否为等腰三角形． 故选：B． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是得出. 8. 已知函数的图象上存在四个点能够构成一个以坐标原点为对称中心的平行四边形，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合中心对称的坐标性质，将平行四边形存在性问题转化为方程根的个数问题，再通过构造函数利用导数分析单调性与值域，求解参数的取值范围. 【详解】∵ 平行四边形以原点为对称中心， ∴ 若点在的图像上，则其关于原点的对称点也在的图像上，设四个顶点分别为，其中. 当时，，对应对称点为，该点位于的图像上，故满足 ， 即问题等价于方程 在上有两个不同的正实根. 将方程变形得，设，当时， ，故在上单调递增. 当时，，，故 ， ，方程无解. 当时，，，结合的单调性，等价于，即. 设，求导得. ∵ 当时，，故，单调递增； 当 时，，故，单调递减. ∴ 的最大值为. 又当时，；当时，， 故要使有两个不同的解，需，即 . 【点睛】方法归纳：处理函数图像上存在中心对称点构成几何图形的问题时，优先利用中心对称的坐标性质，将几何问题转化为方程根的个数问题，再通过构造函数结合导数分析单调性、最值求解参数范围. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为等差数列，，，则下列说法正确的是（） A. B. 数列单调递减 C. 数列前8项和最大 D. 数列前5项和 【答案】AB 【解析】 【分析】先由等差数列求出公差与首项,推出通项,判定A正确；由公差为负知数列单调递减,B正确；令算出,得前7项和最大,C错误；再推出是等比数列,求出前5项和与D式不符,D错误,最终选AB. 【详解】设等差数列的公差为.由，，得. 首项，通项公式，故选项A正确. 由，得数列单调递减，故选项B正确. 令，解得，即时，；时，，因此数列前项和最大，选项C错误. 由，得，数列是首项为，公比为的等比数列，前项和，与选项D中不符，故选项D错误. 10. 双曲正弦函数与“S”型函数是两类重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的运用，其解析式分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是上的增函数 B. ，恒成立 C. 的值域为 D. 曲线是中心对称图形 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，与是上的增函数， 所以是上的增函数，所以A正确； 对于B，取，，， 所以，因为，， 则， ，所以B错误； 对于C，因为，，所以，所以C错误； 对于D，设， 则 ， 所以点是曲线的对称中心， 即曲线是中心对称图形，所以D正确. 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，是曲线上任意两个不同的点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的渐近线方程为 B. 的图象是轴对称图形 C. D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过分类讨论去掉绝对值，将曲线的方程按象限化简为对应的双曲线、椭圆部分，明确曲线构成，再逐一分析各选项涉及的渐近线、对称性、单调性、最值问题. 【详解】当时，则， 当时，则，显然不成立， 当时，则， 当时，则， 由双曲线的性质，曲线在第一、三象限存在同一条渐近线，A对， 因为椭圆和双曲线的对称轴为轴、轴，由图知，曲线不关于轴、轴对称，B错， 根据椭圆及双曲线在各象限的性质及上图知，曲线对应函数单调递增， 若，则必有，即，C对， 由的几何意义是点到直线距离的倍， 要使最小，只需曲线上的点到直线的距离最小， 结合上述分析及图，仅当点在第四象限，即椭圆部分时存在最小距离， 令与相切，联立得， 所以，则，可得， 当切线为，其过一、二、三象限，不满足与椭圆在第四象限相切， 当切线为 满足要求，则切点，即点到直线的距离最小， 所以最小值为，D对. 【点睛】方法归纳：求解含绝对值的曲线问题时，优先通过分类讨论去绝对值，将方程转化为熟悉的圆锥曲线方程，再结合对应圆锥曲线的性质分析问题；求与直线相关的最值时，可结合点到直线距离公式、参数方程或导数求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 【答案】32 【解析】 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，. 13. 正项等比数列中，与是的两个极值点，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】求导后，由题意和韦达定理得到，再根据等比中项的性质得到，最后根据对数的运算求出结果即可. 【详解】， 所以与是方程的两根， 所以在正项等比数列中，， 所以， 故答案为：2. 14. 已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合正方体的性质可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出球心到平面的距离，从而可求出，进而可求出的最小值. 【详解】 在正方体中，，且平面， 平面，所以平面，平面. 因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 如图，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以球心到平面的距离. 如图，因为正方体的内切球半径，所以圆的半径. 因为，所以，即， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，分别为角所对的边，且 （1）确定角的大小； （2）若且的面积为，求的值 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再结合三角形的性质求解即可. （2）利用三角形面积公式求解出，再结合余弦定理求解出即可. 【小问1详解】 由已知得， 由正弦定理得， 即， 即， 由于，可得， 因为，所以． 【小问2详解】 因为的面积为，所以解得． 由余弦定理可得， 所以，解得． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为的中点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，由条件可得平面及，进而可得平面，再线面垂直的性质可得线线垂直； （2）直接建立空间直角坐标系，用向量的方法求面面角可得. 【小问1详解】 设的中点为，连接.如图： 由，，得是等边三角形，故. 因为平面 ​平面，平面 ​平面，且平面， 根据面面垂直的性质定理，得平面. 又平面，故. 又因为分别是中点，故是的中位线，所以. 由得，故. 因为，平面，所以平面， 又平面，故. 【小问2详解】 由平面，得与平面所成角为，故. 又因为等边中，，所以，代入上式得. 又在直角中，，所以，因此， 所以为等腰直角三角形，所以. 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 得各点坐标： ，，，，， 因为平面在坐标平面内，所以取平面的法向量为. 设平面的法向量为，向量，， 由，得： ，， 令，，， 所以平面与平面所成角的余弦值：  . 17. 流行病学调查表明某种疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. （1）若有某种治疗方案，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案痊愈的概率； （2）若市面上仅有两款药物和药物对疾病有疗效，且这两种药物的疗程各均为天（假定药物使用时，均按疗程服用天），超过天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过天也能痊愈已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 【答案】（1） （2）先使用药物可使得痊愈的平均天数更短 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可； （2）分别求药物能治愈疾病的概率，再求出分别使用两种药物痊愈的分布列，再求期望，比较即可得解； 【小问1详解】 设使用治疗方案能杀灭致病菌为事件，使用治疗方案能杀灭致病菌为事件，使用治疗方案痊愈为事件 则，， 不能杀灭致病菌的概率为， 不能杀灭致病菌的条件下，不能杀灭致病菌的概率为， 因此，既不能杀灭致病菌也不能杀灭致病菌的概率为， 所以， 即使用治疗方案痊愈的概率为. 【小问2详解】 设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病的概率， 则有，， 设先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为， 则，，， 所以 ， 同理得，，， 则有 ， 从而有，因此需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：关于方程在区间上有两个根； （3）在（2）的条件下，设方程的两个根为，，其中，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用导数判断，分四种情况：，，，讨论可得； （2）构造函数，将方程的根转化为函数的零点问题，显然函数有一个根，再用零点存在性定理判断另一个零点可得； （3）由（2）知，根据函数单调性，要证只需证，再通过换元，即只需证 ，再构造函数，再令，用导数判断，从而可得，进而可得所证不等式. 【小问1详解】 由函数，所以函数的定义域为， ① 当时：对恒成立， 时，单调递减； 时，单调递增. ② 当时，当时，单调递增；当时，单调递增；当时，单调递减； ③ 当时： 恒成立，在单调递增； ④ 当时：当 时，单调递增；当时，单调递增； 时，单调递减； 综上所述，当 时，在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在，上单调递增；在上单调递减； 当时， 在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 令，显然，，所以方程有一个根. 由（1）知当时，在，上单调递增；在上单调递减； 所以是极大值，是极小值，且，即 . 又因为， 令，则 ，所以在上单调递减， 所以 ，即 ， 由零点存在定理，在存在唯一一个零点， 因此在上共有两个不同零点，即方程在上有两个根. 【小问3详解】 由（2）知，且在单调递增，且 因此要证，只需证. 令，则，故只需证明. 令， , 令， ， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以 ，故 ，即， 所以，因为在单调递增，因此. 19. 平面内动点到直线与的距离的平方和为定值． （1）求动点的轨迹的方程： （2）过点做互相垂直的两条直线，直线交曲线于点，直线交曲线于点，记的中点为中点为，其中为正整数． ①求证：直线过定点，设该定点为，求； ②若的面积记为，求证：． 【答案】（1） （2）①证明见解析；；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）设动点的坐标，利用点到直线的距离公式，分别表示出两个距离，根据距离平方和为列出等式，化简后即可得出轨迹方程； （2）①设两条互相垂直直线的斜率，联立椭圆方程，由韦达定理分别求出两个中点坐标，，进而求出直线的方程，整理后得到与斜率无关的定点，从而求出，同时验证和不存在的特殊情况； ②通过三个点的坐标，表示出面积，再通过合理放缩结合等比数列求和，即可得出证明. 【小问1详解】 设动点的坐标为，则到直线与的距离分别为 ，， 由，代入化简得， 即，整理得动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 ①设直线的斜率为，则的斜率为，点，令， 所以直线的方程为，代入， 整理得， 设，中点， 由韦达定理可得，， 即，同理，直线的方程为， 设中点，将点中的用替换， 即可得到，，即， 所以直线的斜率， 因此直线的方程为， 化简整理得，当时，，与无关， 因此直线过定点，所以； 当时，的方程为，的方程，中点， 直线方程为，所以过定点； 当不存在时，的方程为，的方程，中点， 直线方程仍为，所以过定点， 综上，直线过定点，. ②由，，坐标可知个点均位于坐标轴上， 则三角形以线段为底，为高， 所以，由可求得，， 则，对于，由，所以， 因此. 所以，对求和，， 化简整理得， 因此，，不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $