河北郑口中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

高一数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则 A．40 B． C． D． 2．已知事件，满足，，，则 A．0.9 B．0.6 C．0.3 D．0.18 3．已知向量，，若，则 A．-1 B．1 C．-9 D．9 4．某班有49名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该班选出了7人参加学校公益社团，其中男生4人，则该班女生人数为 A．21 B．24 C．28 D．32 5．已知某圆锥的底面积为，母线长为，则该圆锥的体积为 A． B． C． D． 6．在中，内角，，的对边分别为，，，且，则 A． B． C．或 D．或 7．在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为 A． B． C． D． 8．如图，在直二面角中，，两点都在直线上，，两点分别在两个半平面内，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则 A． B．在复平面内对应的点在第四象限 C． D． 10．如图，在长方体中，，，，为的中点，点为侧面内的动点（含边界），则下列说法正确的是 A．直线与为异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．有且只有一个点，使得 D．若，则点的轨迹长度为 11．已知一组样本数据，，的方差为3，则 A．，，不可能都相等 B．，，的方差也为3 C．该组样本数据的平均数有最值 D．的最小值为9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量在单位向量上的投影向量为，则的值为_________． 13．在正三棱台中，，，，则正三棱台的高为_________． 14．从1，2，3，4，5中随机取出3个数，其和记为，其余两个数之积为，则的概率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角． 16．（本小题满分15分） 为了解学生航空知识掌握的情况，某航空学校对全体学生进行航空知识问卷调查（满分100分），并从中随机抽取200份答卷作为样本，将样本成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值以及样本成绩的第75百分位数； （2）已知样本成绩落在的平均数是65，标准差是4，落在的平均数是85，标准差是2，求这两组成绩合并后的平均数和方差． 17．（本小题满分15分） 如图，四棱锥的底面为菱形，交于点，，为等边三角形，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 18．（本小题满分17分） 记的内角，，所对的边分别为，，，为的中点，，，． （1）求的值； （2）求的长． 19．（本小题满分17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体中所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体中所有以为顶点的面．如图，已知直四棱柱的所有棱长均为2． （1）求直四棱柱在顶点，，，处的离散曲率和； （2）若直四棱柱在顶点，处的离散曲率和为，为的中点． （i），分别为，的中点．作出平面截直四棱柱所得截面（保留作图痕迹，不需写作图过程），并求该截面的面积； （ii），分别为底面和的边界及其内部的两动点，求的最小值． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 参考答案 1．C 2．B 3．A 4．A 5．D 6．C 7．C 8．D 9．BCD 10．ACD 11．ABD 12． 13． 14．（也可写成） 15．（1）证明：如图，连接． 因为，分别为，的中点，所以． 2分 又平面，平面， 所以平面． 6分 （2）解：由（1）知， 所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角． 8分 又因为平面， 所以是直线与平面所成的角． 10分 在中，，所以， 又， 所以． 12分 即直线与平面所成的角为． 13分 16．解：（1）由题可得， 解得 3分 前3组的频率之和为， 4分 前4组的频率之和为， 5分 所以样本成绩的第75百分位数落在内，设为， 则，解得， 即样本成绩的第75百分位数为85． 7分 （2）样本成绩落在的频率为，人数为， 样本成绩落在的频率为，人数为， 9分 两组成绩合并后的平均数为， 12分 两组成绩合并后的方差为． 15分 17．（1）证明：因为底面为菱形，交于点， 所以为，的中点． 1分 因为为等边三角形，所以，所以． 3分 又，所以． 5分 又，平面，所以平面． 7分 （2）解：由（1）知平面，又平面，所以． 如图，过作于点，连接， 又，则平面． 9分 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角． 11分 因为底面为菱形，所以，且． 又，所以为等边三角形， 所以． 又为等边三角形，为的中点， 所以， 12分 在中，， 13分 所以，即二面角的正切值为2． 15分 18．解：（1）设，则． 因为为的中点，所以， 所以的面积与的面积相等， 2分 所以， 所以，即， 6分 所以． 又，所以，即． 8分 （2）因为为的中点，所以， 在中，由余弦定理得， 11分 在中，由余弦定理得， 14分 所以， 可得，即， 16分 解得． 17分 19．解：（1）由离散曲率的定义以及直四棱柱的性质可得 ． 4分 （2）（i） ， 可得． 6分 又，所以． 又直四棱柱的所有棱长都相等， 所以直四棱柱为正方体． 7分 如图①，正六边形为平面截直四棱柱所得截面，其中6个顶点分别为所在棱的中点，正六边形的边长为， 10分 其面积为． 11分 （ii）如图②，作点关于平面的对称点，则． 过作平面，垂足为，所以， 14分 即的最小值为点到平面的距离，即垂线段的长． 由可得， 所以， 所以的最小值为． 17分 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $