精品解析：河北保定市博野县部分校2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

2025~2026学年度高一年级5月质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，且，则的最大值为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 6. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（ ） A. 28cm B. C. 26cm D. 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且是等边三角形，点分别为棱的中点，且，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量都是非零向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则满足这组条件的三角形有两个 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则为等腰的三角形 11. 如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 点到平面的距离为定值 D. 当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部是________. 13. 已知甲､乙两个圆台的上底面的半径均为，下底面的半径均为，母线长分别为和，记甲､乙两个圆台的体积分别为，则__________. 14. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，则_____；若的面积为，点满足，则线段的最小值为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，. （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）若是关于的方程的一个根，求的值. 16. 某建筑物模型的外观是如图所示的直三棱柱米，米，米. （1）现需使用油漆对该模型的表面（含底面ABC）进行涂层，油漆费用为每平方米20元，求总费用； （2）若D是的中点，证明：平面. 17. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值； （3）若，求的值. 18. 如图，在等腰梯形中，，，满足，，其中，，与交于点. （1）用向量，表示，. （2）若，，求的值； （3）若，求的取值范围. 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度高一年级5月质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先应用复数的乘方化简，再应用复数的几何意义求解. 【详解】由，知复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 3. 设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点. 故选：B. 4. 如图，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，原平面图形为直角梯形，， 周长为. 5. 已知向量，且，则的最大值为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，可得到动点轨迹，然后借助几何意义求出最大值. 【详解】设，则， 即点B的轨迹为以为圆心，4为半径的圆． 故的最大值为． 6. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义结合边长运算求解. 【详解】如图，连接，因为 平面，所以平面， 平面，所以， 又分别是的中点，所以， 所以直线与所成角为（或其补角）， 因为， 所以. 7. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（ ） A. 28cm B. C. 26cm D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是先将AC与BD延长交于点P，由正弦定理可求出其他边长度，最后在中用余弦定理可求出CD. 【详解】 如图，将AC与BD延长交于点P 在中，由正弦定理可知，，则，即，解得：，则，，在中，由余弦定理得：，则. 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且是等边三角形，点分别为棱的中点，且，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明平面，可得，其中是的外接圆半径. 【详解】 因为是等边三角形，取的中点为,则 又平面，所以平面 因为平面，所以， 又点分别为棱的中点，且，故， ， 又平面， 所以平面. 设外接圆的圆心为，半径为， 易得，由正弦定理 所以球的半径， 所以球的表面积为.故选C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量都是非零向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为，且都是非零向量，所以，A正确； 因为，所以，B正确； 因为，所以， 则，所以 ，C正确； 当时，， 但不一定相等，D错误. 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则满足这组条件的三角形有两个 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则为等腰的三角形 【答案】AC 【解析】 【详解】若，则，由正弦定理得，故A正确； 因为 ，满足这组条件的三角形不存在，故B错误； 若，由正弦定理得， 由余弦定理得，则角为钝角，则是钝角三角形，故C正确； 若，而为三角形内角， 则或 ，即或， 故为等腰三角形或直角三角形，D错误． 11. 如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 点到平面的距离为定值 D. 当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 【答案】AC 【解析】 【分析】证明出平面，结合线面垂直的性质可判断A选项；取的中点，连接、、、，分析可知过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形，计算出其面积，可判断B选项；证明出平面，可判断C选项；分析可知当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，结合等腰三角形三线合一可求出的长，可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、， 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以，A正确； 取的中点，连接、、、， 因为、分别为、的中点，所以，且， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，所以过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形， 又，，，同理得， 过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、， 由等腰梯形的几何性质可知， 又因为，，故，故， 在等腰梯形内，因为，，， 故四边形为矩形，故，所以， 故， 故，故B错误； 对于C选项，连接、、、， 因为、分别为、的中点，所以， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，因为平面，平面，故平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，C对； 对于D选项，设点到平面的距离为定值，设直线与平面所成角为， 则，故当取最小值时，即当时，的长取最小值，此时取最大值， 连接、，则，同理可得，， 故当为的中点时，，此时，D错. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部是________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简即可. 【详解】因为，所以其虚部为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查复数的乘除运算及复数的概念，考查基本运算能力，属于基础题. 13. 已知甲､乙两个圆台的上底面的半径均为，下底面的半径均为，母线长分别为和，记甲､乙两个圆台的体积分别为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆台的性质，先分别求出两圆台的高，再利用圆台体积公式计算即可． 【详解】解：由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 14. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，则_____；若的面积为，点满足，则线段的最小值为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据三角形内角和结合三角恒等变换可得，再由，可知，利用转化法表示向量数量积与模长，结合基本不等式可得最值. 【详解】由已知在中，， 所以， 即， 可得， 又在中，，所以， 所以，，所以， 所以，解得， 又， 即， 所以 ， 即，当且仅当时，等号成立， 即线段的最小值为， 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，. （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的概念求得m的值； （2）将复数代入方程中，结合复数相等求出p，q的值. 【小问1详解】 由题意可知： ， 因为z是纯虚数，则，解得. 【小问2详解】 因为是关于的方程的一个根， 则，整理得 ， 则，解得，，所以. 16. 某建筑物模型的外观是如图所示的直三棱柱米，米，米. （1）现需使用油漆对该模型的表面（含底面ABC）进行涂层，油漆费用为每平方米20元，求总费用； （2）若D是的中点，证明：平面. 【答案】（1）元 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据直三棱柱，求出表面积，即可得出总费用； （2）根据中位线得出，由线面平行的判定定理得证. 【小问1详解】 因为直三棱柱中，，所以 所以，， 所以直三棱柱的表面积为平方米. 所以所需油漆总费用为元. 【小问2详解】 如图，连接交于点F，连接DF， 则F为矩形对角线的交点，. 又点D为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面. 17. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，结合余弦定理即可求解； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求解； （3）利用辅助角公式化简可得，由求出，利用正弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，即， 由余弦定理可得. 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，解得. 由（1）可得，所以 ，即， 所以. 【小问3详解】 由，得. 因为，所以，所以，即. 所以， 由正弦定理可知 . 18. 如图，在等腰梯形中，，，满足，，其中，，与交于点. （1）用向量，表示，. （2）若，，求的值； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算求解； （2）利用向量共线定理求解； （3）将相关向量表示出来，求出向量的模，再利用二次函数性质求最值. 【小问1详解】 由题意可知，， . 【小问2详解】 若，，， 设，，， 则，， ， 因为，不共线，所以，解得， 所以，所以. 【小问3详解】 由题意可知， 若，则， ， 当时，， 则， 所以的取值范围为. 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得到，即可求证； （2）取的中点，证明是二面角的平面角，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，证明点到平面的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，分析的最大、最小值，即可求解． 【小问1详解】 证明：在中，，，，所以，所以， 在中，，，，所以，所以， 又，平面，，所以平面． 【小问2详解】 如图，连接，取的中点，连接． 因为平面，平面平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，，是的中点，所以，， 所以是二面角的平面角． 在等边中，，，所以， 在中，因为，，所以， 在平行四边形中，， 所以，， 在中，， 所以， 故二面角的正弦值为． 【小问3详解】 如图，过点作，交的延长线于点． 因为，，，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 又，，，平面， 所以平面，， 所以． 因为，平面，平面，所以平面． 又因为点在棱上，所以点到平面的距离为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 当时，最短，为， 可得直线与平面所成角的正弦值的最大值为， 当点与重合时，最长，为4， 可得直线与平面所成角的正弦值的最小值为， 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $