精品解析：广西平果市铝城中学2024-2025学年高一下学期期中数学测试卷

2025年高一下学期期中数学测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 若复数，（为虚数单位），则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 1 3. 在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c.若，，，则（ ） A. 10 B. 7 C. 4 D. 3 4. 中，内角，，的对边分别是，，，已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（ ） A. B. 54 C. D. 27 6. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知，，是平面内一点，则最小值是（ ） A. B. C. D. 0 8. 三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分. 9. （多选）已知平面向量，则（ ） A. B. C. 与的夹角为钝角 D. 向量在向量上的投影向量的模为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 在中，若，，则 C. 已知向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 D. 已知，，为的内角，，的对边，则“”的充要条件是“” 11. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九䇉都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，记，则三角形面积为.已知中，，则的内切圆半径为__________. 13. 如图所示，在中，，且点为边的中点且，则的最大值为_____. 14. 已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）若角是锐角，求； （2）若，的面积为3，求. 16. 已知向量，， （1）若与夹角为，求； （2）若，求的坐标； （3）若与夹角为，求取最小值时的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点在棱上，平面． （1）试确定点的位置，并说明理由； （2）求四棱锥的表面积． 18. 在中，已知，且. （1）求角B的度数. （2）若，求面积. （3）若点D在边AC上，且，求的度数（用角B的表达式表示，并求出具体值）. 19. 已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． （1）证明：平面ABE； （2）当时，求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高一下学期期中数学测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】画出原图可计算面积. 【详解】由已知可知，的原图如下： 其中， 所以. 故选：D 2. 若复数，（为虚数单位），则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的减法运算及复数的模的计算公式即可求解. 【详解】， 故选：C. 3. 在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c.若，，，则（ ） A. 10 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先应用两角和差正弦结合诱导公式求解，再应用正弦定理求解. 【详解】因为，，所以， 又，则， 由正弦定理得，所以. 故选：B. 4. 中，内角，，的对边分别是，，，已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，再根据计算得到结果. 【详解】根据题意，， 所以，则. 故选：B. 5. 一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（ ） A. B. 54 C. D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】先根据内切球得出三棱柱的高，再计算得出底面边长，进而计算得出表面积即可. 【详解】设球的半径为，因为，所以， 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切， 所以正三棱柱的高为，设正三棱柱底面边长为， 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径， 所以，所以， 则正三棱柱的表面积为. 故选：A. 6. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由投影向量的定义可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，即， 所以，又，则， 又，则， 所以. 故选：C 7. 已知，，是平面内一点，则最小值是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图，以中点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则有 ，，，设，则 ， 当，时，上式最小值为. 故选：A. 8. 三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作平面于，在平面内过作，，垂足分别为，，连接，，可得为直线与平面所成的角，进而结合题设求角即可. 【详解】过点作平面于，在平面内过作，， 垂足分别为，，连接，， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以，， 又，，，平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 得，又， 因此四边形为正方形，，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分. 9. （多选）已知平面向量，则（ ） A. B. C. 与的夹角为钝角 D. 向量在向量上的投影向量的模为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的模长公式可判断选项A；由的充要条件为，可判断选项B；且与不平行，可判断选项C；向量在向量上的投影向量的模，可判断选项D. 【详解】因为，所以，所以A正确； 因为，所以，所以B不正确； 因为，且与不平行，所以与的夹角为锐角，所以C不正确； 向量在向量上的投影向量的模为，所以D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 在中，若，，则 C. 已知向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 D. 已知，，为的内角，，的对边，则“”的充要条件是“” 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，向量不能比较大小；对于B，利用数量积的定义和等腰三角形的性质即可判断； 对于C，利用数量积为负同时要排除反向共线即平角的情况即可判断； 对于D，由正弦定理和大边（角）对大角（边）即可判断. 【详解】对于A，因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由即 解得，故C正确； 对于D，由正弦定理，可知，故D正确． 故选：BCD. 11. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面位置关系及面面平行的性质判断各个选项即可. 【详解】对于A：若，，则也成立，A选项错误； 若，，则无公共点，所以无公共点，所以，B选项正确； 若，，，则或异面，C选项错误； 若，，则或异面或相交，D选项错误； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九䇉都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，记，则三角形面积为.已知中，，则的内切圆半径为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用海伦公式结合等面积法，即可求三角形内切圆半径. 【详解】根据海伦公式，可知：， 再设内切圆半径为，则有， 故答案为：. 13. 如图所示，在中，，且点为边的中点且，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理有，结合基本不等式可得，再由及向量数量积的运算律求的最大值. 【详解】由，则， 又， 所以，即， 所以 ， 而，则， 当且仅当时取等号，故最大值为16， 所以，即的最大值为. 故答案为： 14. 已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正四棱台的概念可知四边形为等腰梯形，进而可得四棱台的高，即可求得体积. 【详解】如图所示， 由正四棱台可知且，，，四边形为等腰梯形， 取上底下底的中心平面，过作，垂足为，， 且，，， 所以， 所以， 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）若角是锐角，求； （2）若，的面积为3，求. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化、两角和差正弦公式和同角三角函数的关系可得结果； （2）由三角形面积公式和余弦定理可得结果. 【小问1详解】 由已知及正弦定理得， 则，即， 因为，所以， 因为为锐角，所以. 【小问2详解】 由，得. 由（1）可得，若为锐角，则， 由余弦定理得， 故； 若为钝角，则， 由余弦定理得， 故. 16. 已知向量，， （1）若与夹角为，求； （2）若，求的坐标； （3）若与夹角为，求取最小值时的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出，，再根据及数量积的运算律计算可得； （2）设，则且，解得即可； （3）首先求出，再由数量积的运算律得到，结合二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以． 【小问2详解】 设，则， 由得，即，解得或， 所以或． 【小问3详解】 因为，， 所以 ， 所以当时，取得最小值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点在棱上，平面． （1）试确定点的位置，并说明理由； （2）求四棱锥的表面积． 【答案】（1）点为的中点，理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，然后由线面平行性质可得答案； （2）分别计算各个面的表面积可得答案. 【小问1详解】 点为的中点．理由如下：如图，连接．设， 则点O为的中点，连接．∵ 平面，平面， 平面平面，∴ ． 在中，∵ O为的中点，∴为的中位线， ∴ 点为的中点． 【小问2详解】 ⊥底面，又底面是边长为1的正方形， ∴，因为底面，又平面， 则，即直角三角形，又， 则， 则，又， 则为直角三角形，则. 综上四棱锥的表面积为. 18. 在中，已知，且. （1）求角B的度数. （2）若，求面积. （3）若点D在边AC上，且，求的度数（用角B的表达式表示，并求出具体值）. 【答案】（1） （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求出角； （2）利用正弦定理求出 和 ，从而可得的面积； （3）利用向量的性质以及正弦定理，求出的度数. 【小问1详解】 由余弦定理得 ， 又因为 ，所以 . 【小问2详解】 因为， 由正弦定理可得 ，由（1）可知， 所以， 而，所以 ， 所以面积. 【小问3详解】 因为，由正弦定理可得 ，由（1）可知， 所以， 所以为等边三角形， 因为，所以是 的中点，可得， 用角表示为. 19. 已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． （1）证明：平面ABE； （2）当时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意得到，，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而，进而证明出故，所以为二面角的平面角，求出各边长，求出，进而求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 证明：在直角梯形ABCD中，因为，故，， 因为，故． 所以在折叠后的几何体中，有，， 而，平面， 故平面ABE． 【小问2详解】 如图，在平面AEFD中，过D作且交EF于G． 在平面DBF中，过D作且交BF于H，连接GH． 因为平面平面EBCF，平面平面，平面AEFD， 故平面EBCF， 因为平面EBCF，故，而，故平面DGH， 又平面DGH，故，所以为二面角的平面角， 在平面AEFD中，因为，，故， 又在直角梯形ABCD中，且， 故，故四边形AEGD为平行四边形，故，， 在直角中，， 因为为三角形内角，所以为锐角， ，，解得， 故，故， 因为三角形内角，故为锐角， ，，解得， 所以二面角的平面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $