精品解析：四川内江市威远中学2025-2026学年九年级下学期第三次阶段测试数学试题

威远中学2026届初三下期第三次模拟测试题 九年级数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则的值为（ ） A. 9 B. C. 18 D. 2. 斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形．如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 爱达·魔都号，是中国第一艘国产大型邮轮，全长米，总吨位为万吨，可搭载乘客5246人．将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校为了解该校七年级学生元旦假期的出游情况，从七年级的600名学生中随机抽取了200名学生进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 抽取的200名学生的元旦假期的出游情况是样本 B. 七年级的600名学生的元旦假期的出游情况是样本 C. 该校的所有学生是总体 D. 此调查为普查 6. 如图，在中，是的高，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 某同学对六个数据35，46，4，46，37，52进行统计分析，发现第三个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则下列统计量中不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 8. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 南珠高铁玉岑段建设已进入全面攻坚阶段，某施工队在铺轨施工时，原计划每天铺轨公里，实际每天比原计划多铺轨1公里，完成60公里的铺轨施工实际所用时间比原计划少2天．依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 2或3 D. 3或4 11. 如图，在中，，若，则 （ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 12. 一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 函数中，自变量的取值范围是________． 14. 如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，在内部交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为 __________ ． 15. 如图，是等边的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 16. 如图，与都是等腰直角三角形，，边与分别交边于点，若，，则_______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17. 计算： （1）． （2）先化简，再求值．，其中． 18. 已知：如图，在正方形中，点.分别在边.上，且．对角线分别交于点，联结．求证：四边形是菱形； 19. 某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图； （2）“C等级”在扇形图中的圆心角度数为______； （3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生人数； （4）若从体能测试结果为A等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 20. 如图，在大楼的正前方有一斜坡长为26米，坡度为，高为．在斜坡底的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡顶的点D处测得楼顶B的仰角为，其中点A、C、E在同一直线上． （1）求斜坡的高； （2）求大楼的高度．（参考数据：，，结果精确到个位） 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于两点，已知，连接，分别为线段上动点（不含端点），连接． （1）求直线所对应的函数解析式； （2）如图1，作轴于点，作轴于点，当四边形是正方形时，求长度； （3）如图2，为轴上动点，连接，当四边形是平行四边形时，若设点的横坐标为，点的纵坐标为，请求关于的函数解析式及相应的取值范围． B卷（共60分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22. 已知关于的方程的一个根为，则方程的另一个根_____． 23. 若关于的不等式组有解且至多有个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 __． 24. 如图中，，M是斜边的中点，将绕点F按顺时针方向旋转，点E落在延长线上的处，点D落在处，若， ．则的长为_________. 25. 如图，矩形中，，，点，分别是，边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接、，则的最小值为_______． 四、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．） 26. 某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，并购买了，两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元，用4000元购买型机器人模型和用2400元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型，型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共40台，购买型机器人模型不超过型机器人模型的3倍，问购买型和型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 27. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 28. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学2026届初三下期第三次模拟测试题 九年级数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则的值为（ ） A. 9 B. C. 18 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性求出的值，再根据乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， ∴，， ∴， ∴； 故选A． 2. 斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形．如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：它的俯视图是． 3. 爱达·魔都号，是中国第一艘国产大型邮轮，全长米，总吨位为万吨，可搭载乘客5246人．将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：万． 故选：B． 4. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．不属于中心对称图形，不符合题意； B．属于中心对称图形，符合题意； C．不属于中心对称图形，不符合题意； D．不属于中心对称图形，不符合题意． 5. 某校为了解该校七年级学生元旦假期的出游情况，从七年级的600名学生中随机抽取了200名学生进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 抽取的200名学生的元旦假期的出游情况是样本 B. 七年级的600名学生的元旦假期的出游情况是样本 C. 该校的所有学生是总体 D. 此调查为普查 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查总体、样本、样本容量及调查方式的概念，总体指研究对象的全部数据，样本是从总体中抽取的部分数据，样本容量是样本中的个体数量，抽样调查是抽取部分进行调查，全面调查则是调查所有对象，需根据总体、样本、样本容量、普查与抽样调查的定义逐一判断选项． 【详解】解：A、抽取的200名学生的元旦假期出游情况是样本，原说法正确，符合题意； B、七年级的600名学生的元旦假期的出游情况是总体，原说法错误，不符合题意； C、该校七年级600名学生的元旦假期出游情况是总体，原说法错误，不符合题意； D、此调查为抽样调查，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，在中，是的高，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求余弦值，先根据条件求出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴， 故选：C． 7. 某同学对六个数据35，46，4，46，37，52进行统计分析，发现第三个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则下列统计量中不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数、中位数、方差、众数的定义对各项进行判断． 【详解】解：这组数据的平均数、中位数、方差都与被涂污数字有关，而这组数的众数为46，与被涂污数字无关． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平均数、中位数、方差、众数的定义，熟练掌握平均数、中位数、方差、众数的定义是解题关键． 8. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆的内接四边形的性质和圆周角定理，可知， ，结合，即可求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴． 故选：B． 9. 南珠高铁玉岑段建设已进入全面攻坚阶段，某施工队在铺轨施工时，原计划每天铺轨公里，实际每天比原计划多铺轨1公里，完成60公里的铺轨施工实际所用时间比原计划少2天．依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据“实际所用时间比原计划少2天”这一等量关系，结合工作时间工作总量工作效率列方程即可． 【详解】解：设原计划每天铺轨公里，列方程为：， 故选：B． 10. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 2或3 D. 3或4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， ∴ 整理得 解得：或． 故选：C 11. 如图，在中，，若，则 （ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质． 根据平行四边形的性质得到，，证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方作答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 12. 一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得，，，，求得，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∵一次函数与反比例函数的交点， ∴，，即， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴， 当时，， ∴B选项中的图象符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、指数幂有意义的条件，根据分有意义的条件和二次根式有意义的条件可得：，根据指数幂有意义的条件，可得． 【详解】解：函数有意义， 且， ， ， ， ， 综上所述，自变量的取值范围是且． 故答案为：且．． 14. 如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，在内部交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为 __________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点，与交于点，作于点，根据角平分线的性质可知，进而证明，设，结合勾股定理求出，利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点，作于点， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 由作图过程可知，平分， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得． 15. 如图，是等边的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆的面积减去等边三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，作， 是等边三角形，， ， 在直角中，， ； ∵ ∴，在中， ∴ ∴图中阴影部分的面积为 故答案为． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，勾股定理，圆的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 如图，与都是等腰直角三角形，，边与分别交边于点，若，，则_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质． 先证明，，利用相似三角形的性质求出的值，再由相似三角形的传递性证明，最后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形，， ∴． ∵， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理可证， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 设，，则， 根据得到，解得， ∴，，则． ∵，， ∴， ∴， ∴． 设， 则， ． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17. 计算： （1）． （2）先化简，再求值．，其中． 【答案】（1）4 （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 当时，原式 18. 已知：如图，在正方形中，点.分别在边.上，且．对角线分别交于点，联结．求证：四边形是菱形； 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，菱形的判定是解决问题的关键．连接交于点，先依据“”判定和全等得，进而依据“”判定和全等得，由此得，然后再根据，即可判定四边形是菱形． 【详解】证明：连接交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，，，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又，， 四边形是菱形． 19. 某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图； （2）“C等级”在扇形图中的圆心角度数为______； （3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生人数； （4）若从体能测试结果为A等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 【答案】（1）50 （2） （3）56名 （4） 【解析】 【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量； （2）求出C等级的人数，进而求出C等级所占的百分比，进而求出相应的圆心角的度数； （3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数； （4）用列表法表示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解： （名）， 答：本次抽样调查共抽取了50名学生． 故答案为：50 【小问2详解】 解：测试结果为C等级的学生数为： （名）， ， 故答案为： 【小问3详解】 解：（名） 答：该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生人数是56名. 【小问4详解】 解：用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2， 所以抽取的两人恰好都是男生的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 20. 如图，在大楼的正前方有一斜坡长为26米，坡度为，高为．在斜坡底的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡顶的点D处测得楼顶B的仰角为，其中点A、C、E在同一直线上． （1）求斜坡的高； （2）求大楼的高度．（参考数据：，，结果精确到个位） 【答案】（1）10米 （2）54米 【解析】 【分析】本题考查的知识点是坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长，解题关键是熟练掌握坡度坡比问题的解法． （1）根据坡度可得，再根据勾股定理即可求解； （2）过点D作于F，得矩形，设，根据正切值求边长得，再根据可求得的值，最后由即可求解． 【小问1详解】 解：斜坡的坡度是， ，即， 又在中，， ， 解得， 斜坡的高为10米． 【小问2详解】 解：如图，过点D作于F，得矩形， ∴米，． 设， ， ， 在斜坡顶的点处测得楼顶的仰角为， ， 由（1）得：， ， 即， 解得：， 米， 故大楼的高度为54米． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于两点，已知，连接，分别为线段上动点（不含端点），连接． （1）求直线所对应的函数解析式； （2）如图1，作轴于点，作轴于点，当四边形是正方形时，求长度； （3）如图2，为轴上动点，连接，当四边形是平行四边形时，若设点的横坐标为，点的纵坐标为，请求关于的函数解析式及相应的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）先求得，，设直线所对应的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）设正方形的边长为，证明，利用相似三角形的性质求得，再证明，据此求解即可； （3）求得，，同理证明，利用相似三角形的性质求得，整理后即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，当时，， ∴，， 设直线所对应的函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线所对应的函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，，， ∴， 设正方形的边长为，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，则， 即， 解得，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：∵点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，则， 即， 整理得． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，正方形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．证明是解题的关键． B卷（共60分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22. 已知关于的方程的一个根为，则方程的另一个根_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积是”是解题的关键． 23. 若关于的不等式组有解且至多有个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的综合，掌握解一元一次不等式组的解集的方法，解分式方程的方法是解题的关键． 根据不等式的性质解一元一次不等式组，再根据不等式取值的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到不等式解集，根据解分式方程的方法，分式方程解为非负整数的方法即可求解． 【详解】解：， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， 不等式组的解为：， 不等式组有解且至多有2个偶数解， ， ， ， ， ， ， ， ， 分式方程解为非负整数， 且， 解得：且， 或1或7或10， 所有满足条件的整数的值之和为：， 故答案为：． 24. 如图中，，M是斜边的中点，将绕点F按顺时针方向旋转，点E落在延长线上的处，点D落在处，若， ．则的长为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】本题利用勾股定理算出，根据直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质推出，利用旋转的性质和等腰三角形性质得到，证明，根据相似三角形的性质建立等式求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ， M是斜边的中点， ， ， 由旋转的性质可知，， ， ， ， ， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形性质、旋转的性质、等腰三角形性质、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 25. 如图，矩形中，，，点，分别是，边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接、，则的最小值为_______． 【答案】45 【解析】 【分析】因为，点G为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以G是以B为圆心，以5为半径的圆弧上的点，作C关于的对称点，连接，交于H，交以B为圆心，以5为半径的圆于G，此时的值最小；根据勾股定理求得问题可求． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动， 作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以5为半径的圆于， 由两点之间线段最短，此时的值最小， ∴最小值为， 即：的最小值为， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质以及勾股定理．关键在于将所求折线和转化两定点之间的连线长问题． 四、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．） 26. 某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，并购买了，两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元，用4000元购买型机器人模型和用2400元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型，型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共40台，购买型机器人模型不超过型机器人模型的3倍，问购买型和型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）型机器人模型的单价是500元，型机器人模型的单价是300元 （2）购买型机器人模型10台，型机器人模型30台时花费最少，最少花费是14000元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，根据题意列出分式方程，求出的值即可解答； （2）设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，根据题意列出不等式，求出的范围，设购买机器人模型的花费为元，列出与的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元， 由题意得，， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 则， 答：型机器人模型的单价是500元，型机器人模型的单价是300元． 【小问2详解】 解：设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台， 由题意得，， 解得：， 设购买机器人模型的花费为元， 则， ， 随着的增大而增大， ， 当时，有最小值，最小值为（元），此时． 答：购买型机器人模型10台，型机器人模型30台时花费最少，最少花费是14000元． 27. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴与相切； 【小问2详解】 解：连接交于点D， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆的基本性质和圆周角定理推论，勾股定理，垂直平分线的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键． 28. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标． 【答案】（1）． （2）①或；②，． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质． （1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在为抛物线上，代入为物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值，进一步求出的最大值和点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶ 解得∶． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 如图， 设点坐标为，则点坐标为，， 当时，有最大值． 此时的最大值为， 当时，， ∴点坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $