精品解析：2026年四川内江市威远中学九年级下学期第二次模拟测数学试题

威远中学2026届初三下期第二次模拟测试题 九年级数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 年春节假期，泸州市民纷纷走出家门，到公园逛庙会、赏民俗、看花灯，春节假期首日，全市共接待游客人次．将用科学记数法表示应为　　 A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，，，，则∠3的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：32，35，29，33，40，35，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 35，35 B. 34，33 C. 34，35 D. 35，34 6. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺：屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在直角坐标系中，的边在y轴上，，，点C在上，，且，若双曲线经过点C，则k的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 10. 如图，与相交于点O，，E，F分别是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 11. 如图，为圆O一条弦，交于N，交劣弧于点D，在圆上取一点C，连接交于M，连接，若，M平分，且，则（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程：必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的是（ ） A. ②④ B. ①②④ C. ②④⑤ D. ②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 14. 若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______． 15. 如图，在中，，，，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，交于点，连接．则的长为__________． 16. 如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为___________． 三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17. 计算或化简： （1）计算： （2）化简： 18. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧，，，． （1）请判断和的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 19. 天舟六号是世界现役运输能力最大的货运飞船，5月10日，由中国航天科技集团五院研制的天舟六号货运飞船由长征七号遥七运载火箭发射升空，随后顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为庆祝我国航天事业取得的辉煌成就，学校开展了航天知识竞赛活动，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组（）；B组（）；C组（）；D组（），并绘制出如图不完整的统计图． （1）求被抽取的学生成绩在C组的有多少人？并把条形统计图补完整； （2）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A组的学生有多少人？ （3）现学校为获得最高分的甲、乙、丙三名同学颁发荣誉证书，在不知道证书内姓名的情况下随机发给三名同学，请用列表法或树状图法求出每个同学拿到的证书恰好都是自己的概率． 20. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30＋30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h． （1）求学校到红色文化基地A的距离？ （2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）． 21. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． B卷（共60分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22. 若α、β是方程的两个实数根，则_____． 23. 若关于的不等式组有且只有两个整数解，关于的一次函数的图像不经过第二象限，则所有满足条件的整数的值之和为______． 24. 如图，在边长为4的正方形中，为对角线上一点，过点分别作，，则阴影部分面积的最小值为______． 25. 如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，，作x轴的垂线交反比例函数（）的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为，则线段的长等于_______，等于______． 四、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．） 26. 甘肃临夏州积石山县在12月18日23时59分发生6.2级地震，震源深度10公里，当地群众生命和财产安全受到了极大的影响．“众志成城，共克时艰”，某市筹集了大量的生活物资，用甲、乙两种型号的货车，分两批运往积石山县，具体运输情况如表： 批次 货车辆数 第一批 第二批 甲型货车的数量（单位：辆） 2 3 乙型货车的数量（单位：辆） 3 4 已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输物资42吨，第二批累计运输物资58吨． （1）求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ （2）该市后续又筹集了100吨生活物资，计划同时使用两种货车一次性运完（每辆货车都满载）．已知甲型货车每辆运输成本400元/次，乙型货车每辆运输成本500元/次，请问共有几种运输方案？哪种运输方案的成本最少？最低成本为多少元？ 27. 如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接，过点D作的平行线与的延长线相交于点P． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当，时，求和的长． 28. 如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点左侧），与轴相交于点．已知点坐标为，面积为． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点P作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标： （3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学2026届初三下期第二次模拟测试题 九年级数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2. 年春节假期，泸州市民纷纷走出家门，到公园逛庙会、赏民俗、看花灯，春节假期首日，全市共接待游客人次．将用科学记数法表示应为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了同底数幂的除法法则、完全平方公式及幂的乘方运算，属于基础题． 根据同底数幂的除法法则、单项式乘单项式的法则、幂的乘方及完全平方公式的展开，结合各选项进行判断即可． 【解答】解：A、，原式计算错误，故本选项错误； B、，原式计算正确，故本选项正确； C、原式计算错误，故本选项错误； D、，原式计算错误，故本选项错误； 故选：B． 4. 如图，，，，则∠3的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质可得出，据此可得出∠3的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补． 5. 费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：32，35，29，33，40，35，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 35，35 B. 34，33 C. 34，35 D. 35，34 【答案】C 【解析】 【分析】这组数据中出现次数最多的数是众数，把这组数据按从小到大的顺序排列最中间的两个数据的平均数是中位数． 【详解】29，32，33，35，35，40， 这组数据的众数：35， 这组数据的中位数：． 故选：C． 【点睛】本题考查了众数和中位数，解决问题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义和确定方法． 6. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看，左边一列上下两个正方形，右边一列下边是一个正方形．选项A符合题意， 故选：A． 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺：屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据绳子的长度不变，得出关于的一元一次方程，即为答案． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 8. 如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式，进行计算即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径是，依题意， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了求圆锥底面半径，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 9. 如图，在直角坐标系中，的边在y轴上，，，点C在上，，且，若双曲线经过点C，则k的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，求反比例函数解析式，先证明，得到，再由已知条件求出，则，最后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 把代入中得：， 故选：B． 10. 如图，与相交于点O，，E，F分别是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意知，证明，则，即，解得，由题意知是的中位线，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 11. 如图，为圆O一条弦，交于N，交劣弧于点D，在圆上取一点C，连接交于M，连接，若，M平分，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆周角定理得到，则是等边三角形，得到，求出的长，再求出的长，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵M平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，得到是等边三角形是解题的关键． 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程：必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的是（ ） A. ②④ B. ①②④ C. ②④⑤ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质，由图象可得，，由抛物线的对称轴得出，即，即可判断①；根据图象可得一个交点，关于直线对称，得出另一个交点，即可判断②；根据，即可判断③；令，，进而得出，结合即可判断④；由函数图象得出对于任意实数，都有，即可判断⑤；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：，， 对称轴是直线， ，即， ， ，故①错误，不符合题意； 方程，即为二次函数与轴的交点， 根据图象可得一个交点，关于直线对称， 另一个交点， 方程必有一个根大于2且小于3，故②正确，符合题意； 对称轴是直线，， ，故③错误，不符合题意； ， ， 令，， ， ， ，故④正确，符合题意； 对于任意实数，都有， 对于任意实数，都有，故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确的是②④⑤， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 【答案】x（x﹣3）2 【解析】 【详解】解：x3﹣6x2+9x =x（x2﹣6x+9） =x（x﹣3）2 故答案为：x（x﹣3）2 14. 若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可． 【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，交于点，连接．则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由作法可得垂直平分，由垂直平分线的性质可得，利用等边对等角、三角形内角和定理求出，过点作于点，则是等腰直角三角形，通过解直角三角形求出和即可． 【详解】解：由作法可得垂直平分， ， ， ． ，， ， ， 如图，过点作于点，则是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解直角三角形等，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形． 16. 如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为___________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADF＋∠CDF＝90°， ∵， ∴∠DCF＋∠CDF＝90°， ∴∠DFC＝90°， ∴点F在以DC为直径的半圆上移动， 如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P， 连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3， ∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6， ∴OG＝9， ∴OP＝， ∴FP＝-3， ∴BE＋FE的长度最小值为-3， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17. 计算或化简： （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2）1-a 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案． （2）根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：（1） = = =； （2） = = = 【点睛】本题考查实数的运算和分式的运算，解题的关键还是熟练运用实数与分式的运算法则，本题属于基础题型． 18. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧，，，． （1）请判断和的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 解：，证明如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明，即可求出； （2）根据，推出，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴，，， 又∵， ∴ ∵，， ∴， ∴． 19. 天舟六号是世界现役运输能力最大的货运飞船，5月10日，由中国航天科技集团五院研制的天舟六号货运飞船由长征七号遥七运载火箭发射升空，随后顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为庆祝我国航天事业取得的辉煌成就，学校开展了航天知识竞赛活动，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组（）；B组（）；C组（）；D组（），并绘制出如图不完整的统计图． （1）求被抽取的学生成绩在C组的有多少人？并把条形统计图补完整； （2）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A组的学生有多少人？ （3）现学校为获得最高分的甲、乙、丙三名同学颁发荣誉证书，在不知道证书内姓名的情况下随机发给三名同学，请用列表法或树状图法求出每个同学拿到的证书恰好都是自己的概率． 【答案】（1）人， 条形统计图补完整如图所示：     （2）有人； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据总人数=，先求出总人数，再求出C组人数． （2）根据学校总人数乘以A组人数在样本中的百分比，可得结论； （3）采用树状图列举法即可求解． 【小问1详解】 解：由图知：B组有人，占抽样人数的，A组有6人，D组有人， 所以本次抽取的学生有：（人）， C组学生有：（人）， 【小问2详解】 解：（人）， 答：这次竞赛成绩在A组的学生有人； 【小问3详解】 根据题意，画出树状图如下： 可知总的情况有6种，刚好每个同学拿到的证书恰好都是自己的情况只有1种， 即所求概率为：， 故所求概率为：． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，利用样本估计总体以及采用列表法或者树状图法列举求解概率的等知识点，题目难度不大，第三问是难点，正确画出树状图是解决本题的关键． 20. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30＋30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h． （1）求学校到红色文化基地A的距离？ （2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）． 【答案】（1）学校到红色文化基地A的距离为60km． （2） 第二组先到达目的地， 理由： 由（1）知：，， ∴， 第一组用时： (h)； 第二组用时： (h)， ∵， ∵<1.5， ∴第二组先到达目的地． 【解析】 【分析】（1）过点B作BD⊥ AC于D，在Rt△BCD中证得BD=CD，设BD=x，则CD=x，在Rt△ABD中，∠BAC=30°，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD＋CD＝AC列出方程问题得解，进而即可求解； （2）由（1）易知，，进而根据时间=路程÷速度分别求出两组所用时间，进而即可求得结论； 【小问1详解】 过点B作BD⊥ AC于D， 依题意得：∠BAE=45°，∠ABC=105°，∠CAE=15°， ∴∠BAC=30°， ∴∠ACB=45°． 在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠ACB=45°， ∴∠CBD=45°， ∴∠CBD=∠DCB， ∴BD=CD， 设BD=x，则CD=x， 在Rt△ABD中，∠BAC=30°， ∴，， ∴， ∴， 在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠DCB=45°， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即学校到红色文化基地A的距离为60km． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，方位角的计算，勾股定理，一元一次方程，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题． 21. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】（1）； （2）4 （3）点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解. 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积 ； ； 【小问3详解】 解：设点，又， 由旋转知：为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键． B卷（共60分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22. 若α、β是方程的两个实数根，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则，进而得出，然后根据一元二次方程根与系数的关系得，再利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵α方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵α、β是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，得出是解题的关键． 23. 若关于的不等式组有且只有两个整数解，关于的一次函数的图像不经过第二象限，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像与系数的关系以及一元一次不等式组的整数解，由关于的不等式组有且只有个整数解，即可求出的取值范围；由一次函数图像不经过第二象限，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，进一步可确定同时满足两个条件的的取值范围，再将其内的整数值相加即可得出结论．根据一次函数图像与系数的关系及不等式组整数解的个数，找出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：解不等式组， 得：， ∵关于的不等式组有且只有两个整数解， ∴， ∴， ∵关于的一次函数的图像不经过第二象限， ∴， ∴， 综上所述，的范围是：， ∴所有满足条件的整数的值之和为：． 故答案为：． 24. 如图，在边长为4的正方形中，为对角线上一点，过点分别作，，则阴影部分面积的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质、矩形的性质以及等腰直角三角形的性质可得，，由阴影部分的面积可得阴影部分的面积，从而得到当最小时，阴影部分的面积最小，此时，利用勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积， ∴当最小时，阴影部分的面积最小，此时， ∵， ∴， ∴时，， ∴用阴影部分的面积最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 25. 如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，，作x轴的垂线交反比例函数（）的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为，则线段的长等于_______，等于______． 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】由可得，，，…，的坐标，根据三角形的面积计算公式S=底×高÷2，计算出每一个三角形的底和高之后，分别列出每一个三角形的面积计算式，观察规律即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设，，，…，， ∵，，，…，在反比例函数的图象上， ∴，，，…，， ∴； ∴； ； ； … ； ∴． ∴ 故答案为：①；② 【点睛】本题考查了反比例函数图象找规律的问题，熟练掌握反比例函数的基础知识，用数学归纳法由个例总结出一般规律是解决本题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．） 26. 甘肃临夏州积石山县在12月18日23时59分发生6.2级地震，震源深度10公里，当地群众生命和财产安全受到了极大的影响．“众志成城，共克时艰”，某市筹集了大量的生活物资，用甲、乙两种型号的货车，分两批运往积石山县，具体运输情况如表： 批次 货车辆数 第一批 第二批 甲型货车的数量（单位：辆） 2 3 乙型货车的数量（单位：辆） 3 4 已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输物资42吨，第二批累计运输物资58吨． （1）求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ （2）该市后续又筹集了100吨生活物资，计划同时使用两种货车一次性运完（每辆货车都满载）．已知甲型货车每辆运输成本400元/次，乙型货车每辆运输成本500元/次，请问共有几种运输方案？哪种运输方案的成本最少？最低成本为多少元？ 【答案】（1）每辆甲型货车满载能运6吨生活物资，每辆乙型货车满载能运10吨生活物资 （2）共有3种运输方案，安排5辆甲型货车，7辆乙型货车，运输成本最少，最低成本为5500元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是找出等量关系． （1）设每辆甲型货车满载能运x吨生活物资，每辆乙型货车满载能运y吨生活物资，根据前两批运输所使用的货车的数量及累计运输物资的吨数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设应安排m辆甲型货车，n辆乙型货车，列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，即可得出各运输方案，然后求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 设每辆甲型货车满载能运x吨生活物资，每辆乙型货车满载能运y吨生活物资， 依题意得：， 解得：． 答：每辆甲型货车满载能运6吨生活物资，每辆乙型货车满载能运10吨生活物资． 【小问2详解】 设应安排m辆甲型货车，n辆乙型货车， 依题意得：， ∴． 又∵m，n均为自然数， ∴或或， ∴共有3种运输方案， 方案1：安排5辆甲型货车，7辆乙型货车； 方案2：安排10辆甲型货车，4辆乙型货车； 方案3：安排15辆甲型货车，1辆乙型货车． （3）选择方案1所需费用（元）； 选择方案2所需费用（元）； 选择方案3所需费用（元）． ∵， ∴安排5辆甲型货车，7辆乙型货车，运输成本最少，最低成本为5500元． 27. 如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接，过点D作的平行线与的延长线相交于点P． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当，时，求和的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的直径， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 证明：∵， ， ， ， ∵四边形是圆内接四边形， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）先得出，进而得出，得出即可得出结论； （2）先说明，再推出，即可得出结论； （3）先求出，再推出，利用勾股定理求出，最后由得出比例式求解即可得出的长，如图，过点作于点，在中，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵是的直径，， ， 在中，， ∵平分， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 即， ， 如图，过点C作于点E， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ∴的长为的长为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，圆心角、圆周角、弦、弧之间的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的补角相等，平行线的性质等知识点．判断出、掌握圆的基本性质是解题的关键． 28. 如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点左侧），与轴相交于点．已知点坐标为，面积为． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点P作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标： （3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的周长有最大值，为 （3）点的坐标为：或或或 【解析】 【分析】（1）根据题意求出点坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）先判断为等腰直角三角形，得，确定当取最大值时，的周长取最大值，求得直线的解析式为，设，，计算得出，根据二次函数的性质可得结论； （3）先求出平移后抛物线的表达式以及点D的坐标，分3种情况讨论为等腰三角形，求出点的坐标． 【小问1详解】 ，， ，， ， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 把代入得，， ； 【小问2详解】 解：， ， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 当取最大值时，的周长取最大值， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得，， 直线的解析式为， 设，， ， 当时，有最大值，为，此时，， 当时，的周长有最大值，为； 【小问3详解】 解：的图象向左平移2个单位， 联立方程得，， 解得，， ， ， 又， 设 以点，，，为顶点的四边形为菱形， 为等腰三角形， ， ， ， 当时， ，即：， 解得：， ； ②当时， ，即：， 解得：， 或； ③当时，，即：， 或（舍去）， 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象和性质与一次函数、四边形、相似三角形的综合应用，解题的关键是结合图形画出适当的辅助线，找到相等关系列出相应的表达式或方程，求出所求的结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $