精品解析：2026年贵州省铜仁市碧江区中考二模数学试卷

2025-2026学年度第二学期模拟检测试卷九年级数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2．答题时，选择题必须用2B铅笔将答题卡上的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在试卷上答题无效． 3．本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 4．考试结束后，只上交答题卡，试卷自留． 一、选择题：（每小题有A，B，C，D四个选项，只有一个正确，每小题3分，共36分） 1. 在，，，2四个实数中，最大的是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下图是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 关于多项式，下列说法中正确的是（ ） A. 它是五次三项式 B. 它的最高次项的系数是4 C. 它的常数项是1 D. 它是三次三项式 4. 平行四边形相邻两条边长分别为4和6，则此平行四边形的周长为（ ） A. 10 B. 20 C. 15 D. 30 5. 已知点位于第四象限，且距离轴5个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. “少年强则国强，强国有我，请党放心．”这14个字中，“强”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知分式有意义，则x的值不可能是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 9. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．设每件衬衫的价格降低x元，商场销售这批衬衫每天可盈利1200元，符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“自反点函数”，点为该函数图象上的一个“自反点”．以下结论： ①是“自反点函数”，且只有一个“自反点”； ②是“自反点函数”，且有两个“自反点”； ③为“自反点函数”，点为该函数图象上的一个“自反点”； ④若为“自反点函数”，则． 其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：（每小题4分，共16分） 13. 分解因式：________． 14. 某中学举行红色经典朗诵比赛，甲、乙两个班各选24名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是172厘米，其方差分别是，．则参赛学生身高比较整齐的班级是_____班．（填甲或乙） 15. 把方程化成的形式，则的值是________． 16. 如图，正方形中，，点是边的中点，点是对角线上的动点，过点作，交于点．当为最小值时，长为_______． 三、解答题（本大题共9个题，共98分） 17. 计算与化简求值： （1）计算： （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点作平行于轴的直线与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，，当时，直接写出的取值范围． 19. 为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是______，本次调查数据的中位数落在______组内； （3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？ 20. 如图，在中，点，分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2），，，求的长． 21. 随着人工智能的发展，记录生活小视频的制作越来越方便，视频制作爱好者小张抓住时机，决定制作甲、乙两类针对不同需求群体的生活小视频进行发布．已知制作7个甲类视频和3个乙类视频需要1650元成本，制作10个甲类视频和6个乙类视频需要2700元成本． （1）制作一个甲类视频和一个乙类视频的成本分别为多少元？ （2）小张准备把制作好的视频出售给某视频播放网站，每个甲类视频售价450元，每个乙类视频售价590元．若小张每月可制作视频24个，且想要使月纯收入不低于8100元，他每月至少需制作乙类视频多少个？ 22. 图1是江阴市兴国寺塔，它始建于北宋太平兴国年间．塔底外形是一个如图2所示的正八边形．某数学兴趣小组对兴国寺塔进行了一定的实地测量活动，具体过程如下： 【数据收集】通过实地测量，正八边形的边长． 【问题解决】 （1）求图2中塔底半径． （2）如图3，在延长线上确定一点B，使A、B两点的距离为，在B处竖一根的竹竿，从杆顶P测得塔顶E的仰角为，求出兴国寺塔的高度． （结果取整数．参考数据：，，） 23. 如图，正方形内接于，点在上，连接，交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）探究之间的等量关系． 24. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为，且顶点坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）若抛物线上有一点，将线段沿着y轴向上平移，使平移后的线段与该抛物线恒有公共点，设点的纵坐标为n，求n的取值范围； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求q的值． 25. 问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期模拟检测试卷九年级数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2．答题时，选择题必须用2B铅笔将答题卡上的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在试卷上答题无效． 3．本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 4．考试结束后，只上交答题卡，试卷自留． 一、选择题：（每小题有A，B，C，D四个选项，只有一个正确，每小题3分，共36分） 1. 在，，，2四个实数中，最大的是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正数大于负数的性质，再比较两个正数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 负数小于正数，四个数中，是负数，，是正数， ∴ 只需比较正数和的大小， ∵ ，且， ∴ ， ∴ 四个实数中最大的是． 2. 下图是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：从该几何体的左侧看，一共一列，高度为二，故D选项符合． 3. 关于多项式，下列说法中正确的是（ ） A. 它是五次三项式 B. 它的最高次项的系数是4 C. 它的常数项是1 D. 它是三次三项式 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式的相关定义，需根据多项式的次数、项数、最高次项系数、常数项的定义逐一分析选项 【详解】解：∵多项式由、、这三个单项式组成， ∴它是三项式， ∵其中次数最高的项是，次数为，最高次项的系数是，常数项是， ∴A选项（五次三项式）错误．B选项（最高次项系数是4）错误．C选项（常数项是1）错误．D选项（三次三项式）正确， 故选：D． 4. 平行四边形相邻两条边长分别为4和6，则此平行四边形的周长为（ ） A. 10 B. 20 C. 15 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形对边相等的性质得到其他两条边的长，再根据平行四边形的周长公式即可计算周长． 【详解】解：∵平行四边形对边相等，相邻两条边长分别为和，且平行四边形的对边相等， ∴该平行四边形的四条边长依次为，，，， ∴此平行四边形的周长为． 5. 已知点位于第四象限，且距离轴5个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点P所在象限确定横纵坐标的符号，结合点到坐标轴的距离得到横纵坐标的绝对值，即可求出点P的坐标，用到的性质为：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负． 【详解】解：∵点P位于第四象限， ∴点P的横坐标为正，纵坐标为负， ∵点P距离x轴5个单位长度，距离y轴2个单位长度， ∴点P纵坐标的绝对值为5，横坐标的绝对值为2， 结合横纵坐标符号可得，点P的横坐标为2，纵坐标为， 即点P坐标为． 6. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的基础步骤计算即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 合并同类项得， 两边同除以得． 7. “少年强则国强，强国有我，请党放心．”这14个字中，“强”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了频率的求解，根据频率是频数与总数的比值，计算“强”字出现次数与总字数的比即可． 【详解】解：总字数为14，“强”字出现3次， 频率为， 故选：B． 8. 已知分式有意义，则x的值不可能是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为0，可得到x的取值限制，即可选出正确选项． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母不为0，即， 解得：， ∴x的值不可能是4， 故选：D． 9. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 10. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．设每件衬衫的价格降低x元，商场销售这批衬衫每天可盈利1200元，符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，根据题意，每件衬衫降价x元后，每件盈利为元，每天销售量增加件，即件，每天盈利为每件盈利与销售量的乘积，且等于1200元． 【详解】解：设每件衬衫降价x元， ∵每件盈利，销售量，每天盈利，且每天盈利， ∴， 故选：B． 11. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图痕迹可知，为的平分线，，结合角平分线的性质可得，即可判断A选项；由已知条件可证明，可得，即可判断B选项；根据，，可得，即可判断D选项，进而可得答案． 【详解】解：由作图痕迹可知，为的平分线，， ， ． 故A选项正确，不符合题意； ，， ． ． 故B选项正确，不符合题意； 在中，， 在中，， ． 故D选项正确，不符合题意； 由已知条件不能得出， 故C选项不正确，符合题意． 故选：C． 12. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“自反点函数”，点为该函数图象上的一个“自反点”．以下结论： ①是“自反点函数”，且只有一个“自反点”； ②是“自反点函数”，且有两个“自反点”； ③为“自反点函数”，点为该函数图象上的一个“自反点”； ④若为“自反点函数”，则． 其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中关于“自反点函数”和“自反点”的定义，对每个结论令解方程，根据方程解的情况判断结论正误． 【详解】解： ①对于，令，则，解得，方程只有一个实数解， 是“自反点函数”，且只有一个“自反点”，①正确； ②对于，令，则，解得，实数范围内，方程无实数解，该函数不是“自反点函数”，没有“自反点”，②错误； ③对于，令，则，整理得，解得或，该函数是“自反点函数”，是该函数的一个自反点，③正确； ④对于，若它是“自反点函数”，，则，整理得，若这个一元二次方程有实数解，则需满足，即，解得，题目结论为，遗漏的情况，④错误； 综上，正确的结论是①③． 二、填空题：（每小题4分，共16分） 13. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 某中学举行红色经典朗诵比赛，甲、乙两个班各选24名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是172厘米，其方差分别是，．则参赛学生身高比较整齐的班级是_____班．（填甲或乙） 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的意义，方差越小数据波动越小，身高越整齐，比较两个班方差的大小即可判断． 【详解】解：， 乙班参赛学生身高波动更小，身高比较整齐． 15. 把方程化成的形式，则的值是________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出的值． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 即， ∴， 故答案为：11． 16. 如图，正方形中，，点是边的中点，点是对角线上的动点，过点作，交于点．当为最小值时，长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接、、，根据题意可得垂直平分，则，推出的最小值为，作于点，于点，则，证明，得出，可知的最小值为，根据勾股定理求出，再证明，得，则，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， 点是边的中点， ，， ， 平分， 垂直平分， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 作于点，于点，则， ， 四边形是矩形， ，即， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， 的最小值为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个题，共98分） 17. 计算与化简求值： （1）计算： （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】（1） （2）；若选择，原式=（答案不唯一：当时，原式） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， ∵分式的分母不能为0、除数不能为0， ∴， ∴，， ∴当时，原式， 当时，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点作平行于轴的直线与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法确定函数解析式、图象法解不等式等知识，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据图象，直接写出不等式解集即可． 【小问1详解】 解：点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为； 设直线解析式为，将点，点坐标代入得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：联立方程组， 解得，， ，， 当时，的取值范围为：或． 19. 为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是______，本次调查数据的中位数落在______组内； （3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？ 【答案】（1）50，图见解析 （2）， （3）1920人 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中组人数除以扇形统计图中组占比，计算求解可得样本容量，总人数与其他各组人数的差即为B组人数，然后补全统计图即可； （2）根据计算求解A组的圆心角，然后根据中位数的定义求解判断即可； （3）2000乘以该校随机抽取部分学生完成书面作业不超过90分钟的学生人数的占比，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，样本容量为， B组人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：由题意知，在扇形统计图中，A组的圆心角为， ∵样本容量为50， ∴将数据排序后，第25个和第26个数据的平均数为中位数， ∵，， ∴本次调查数据的中位数落在组内， 故答案为：，； 【小问3详解】 （人）, 答：估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1920人． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，圆心角，中位数，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息． 20. 如图，在中，点，分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2），，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出相等的边和平行线，然后利用矩形的判定定理进行证明； （2）根据矩形的性质得出直角三角形，判定是等腰直角三角形，求出，利用锐角三角函数求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ， ． 21. 随着人工智能的发展，记录生活小视频的制作越来越方便，视频制作爱好者小张抓住时机，决定制作甲、乙两类针对不同需求群体的生活小视频进行发布．已知制作7个甲类视频和3个乙类视频需要1650元成本，制作10个甲类视频和6个乙类视频需要2700元成本． （1）制作一个甲类视频和一个乙类视频的成本分别为多少元？ （2）小张准备把制作好的视频出售给某视频播放网站，每个甲类视频售价450元，每个乙类视频售价590元．若小张每月可制作视频24个，且想要使月纯收入不低于8100元，他每月至少需制作乙类视频多少个？ 【答案】（1）制作一个甲类视频的成本为150元，制作一个乙类视频的成本为200元 （2）至少需要制作乙类视频10个 【解析】 【分析】（1）设制作一个甲类视频的成本为元，制作一个乙类视频的成本为元，根据题意列方程组求解即可． （2）设每月制作一个乙类视频m个，则制作甲类视频个， 根据题意列出关于m的一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设制作一个甲类视频的成本为元，制作一个乙类视频的成本为元，根据题意可列方程组：， 解得， 答：制作一个甲类视频的成本为150元，制作一个乙类视频的成本为200元． 【小问2详解】 解：设每月制作乙类视频m个，则制作甲类视频个， 则可列不等式： ， 整理得：， 解得， 答：至少需要制作乙类视频10个． 22. 图1是江阴市兴国寺塔，它始建于北宋太平兴国年间．塔底外形是一个如图2所示的正八边形．某数学兴趣小组对兴国寺塔进行了一定的实地测量活动，具体过程如下： 【数据收集】通过实地测量，正八边形的边长． 【问题解决】 （1）求图2中塔底半径． （2）如图3，在延长线上确定一点B，使A、B两点的距离为，在B处竖一根的竹竿，从杆顶P测得塔顶E的仰角为，求出兴国寺塔的高度． （结果取整数．参考数据：，，） 【答案】（1）图2中塔底半径的长约为； （2）兴国寺塔的高度约为． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由题意得，根据等腰三角形三线合一求出，，解直角三角形即可解答； （2）过点作于点，易证四边形是矩形，得到，解直角三角形求出，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作于点， 由题意得， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：图2中塔底半径的长约为； 【小问2详解】 解：过点作于点， 由题意得， 由（1）知， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴ 答：兴国寺塔的高度约为． 23. 如图，正方形内接于，点在上，连接，交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）探究之间的等量关系． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3），见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，则，再由圆周角定理得到，然后结合公共角即可 ； （2）先证明，结合，则可设，那么，由，求出，由（1）知，则，连接，则，确定是的直径，再由弧长公式求解即可； （3）延长到点H，使得，连接，先证明，则，可得，则由勾股定理得到，再等量代换求证即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 设， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 由（1）知 ∴ 连接，则 ∵正方形内接于， ∴是的直径， ∵ ∴ ∴的长为； 【小问3详解】 解：，理由如下： 延长到点H，使得，连接， ∵， ∴， ∵正方形中，， 又∵ ∴ ∴ ∵正方形中，， ∴ ∴ ∴ ∴． 24. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为，且顶点坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）若抛物线上有一点，将线段沿着y轴向上平移，使平移后的线段与该抛物线恒有公共点，设点的纵坐标为n，求n的取值范围； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求q的值． 【答案】（1） （2） （3）2或 【解析】 【分析】（1）设二次函数的表达式为，再将点代入计算即可得； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得直线的解析式，再与二次函数的解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求解即可得； （3）先求出二次函数的对称轴为直线，再分四种情况：①，②，③和④，再利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴可设二次函数的表达式为， 将点代入得：，解得， ∴二次函数的表达式为， 故二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：将代入得， ∴． 令，解得或， ∴，． 设直线的函数表达式为， 将点，代入得，解得， ∴直线的函数表达式为， 将线段沿着轴向上平移得到线段，且点的纵坐标为， 直线的函数表达式为，且， 联立得：， 使平移后的线段与该抛物线恒有公共点， 则此方程根的判别式，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 解：二次函数，开口向下，对称轴为直线， 由题意，分以下四种情况： ①当，且，即时， 则当时，函数取最大值为4， 当时，函数取最小值，最小值为， 则， 解得（舍去）或（舍去）； ②当，且，即时， 则当时，函数取最大值为4， 当时，函数取最小值，最小值为， 则， 解得（舍去）或（舍去）； ③当，即时， 则当时，函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， 则， 解得，符合题设； ④当，即时， 则当时，函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， 则， 解得，符合题设； 综上所述，的值为2或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 25. 问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②①中的结论仍成立，见解析 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查菱形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形性质、等边三角形的性质与判定，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解题的关键． （1）根据菱形的性质证明和为等边三角形，证明，即可得到结论； （2）①E为BM的中点，是等边三角形，根据直角三角形性质即可得到结论； ②延长至H，使，连接，NH，证明，根据全等三角形的性质得到为等边三角形，根据直角三角形性质即可得到结论． 【详解】解：（1）， 证明：四边形是菱形， ， ， 和为等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ； （2）①如图， E为BM的中点，是等边三角形， ， ， 故答案为：； ②①中的结论仍成立． 证明：延长至H，使，连接，NH， E为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， 又， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $