立体几何微专题（正八面体的性质及应用）讲义课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“正八面体的性质及应用”立体几何微专题，覆盖表面积、体积、空间角、距离、轨迹等高频考点，依据高考评价体系梳理正棱锥性质、线面关系等基础，分析近五年真题中空间几何占比，归纳8类常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“教材回归+真题拓展+素养落地”，如以六氟化硫分子结构为背景，用补形法求外接球体积，培养学生的空间观念（数学眼光）和推理能力（数学思维）。通过线面角“作证算”三步法、二面角向量法等技巧，帮助学生掌握得分要点，教师可据此强化专题突破，提升复习效率。

2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 回归教材：教材中渗透的正八面体问题 典例讲解： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 知识梳理：教材中渗透的正八面体问题 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 习题拓展01：正八面体中的平行、垂直问题 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 习题拓展01：正八面体中的平行、垂直问题 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 方法梳理：证明线面、面面平行的基本方法 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 方法梳理：证明线面、面面垂直的基本方法 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 习题拓展02：正八面体中的表面积、体积及与内切球、外接球问题 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 习题拓展03：正八面体中的线线角问题 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 习题拓展04：正八面体中的线面角问题 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 习题拓展05：正八面体中的二面角问题 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 习题拓展06：正八面体中的点面距离问题 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 习题拓展07：正八面体中的动点轨迹问题 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 习题拓展08：正八面体中的最值与截面问题 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 习题拓展08：正八面体中的最值与截面问题 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 课后练习01： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 课后练习02： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 课后练习03： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 课后练习03： 【人教A版必修二习题8.3第1题】 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？ 【答案】 【分析】依题意八面体的每一个面都是边长为 的正三角形，计算可得. 【详解】由题意，每个面都是边长为30cm的正三角形， 即这个八面体的表面积是 . 【点睛】本题考查简单几何体的表面积，属于基础题. 正棱锥的概念及性质 1. 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 2. 正棱锥的性质 (1)正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形； (2)正棱锥的各侧棱都相等； (3)正棱锥的顶点与底面正多边形中心的连线垂直于底面. 【详解】（1）由题意可知，对角面AFCE是正方形，所以 ，又因为 平面CDF， 平面CDF，   所以 平面CDF． 如图，连接AC与BD， 设 ，连接EO， 则 ，因为 ，所以 ， ，又因为 平面ABCD， 又因为 平面ABCD，且 ， 所以 平面ABCD． 所以四棱锥 是正四棱锥． 金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形． (1)证明： 平面CDF； (2)证明：四棱锥 是正四棱锥； 【详解】（3）如图所示，取BE中点G，连接AG，GC，AC，根据等边三角形性质可知 ， ，所以 是二面角 的平面角，  设该正八面体棱长为 ，则 ， ， 则在 中， ，所以 ，所以平面ABE与平面BCE不垂直． 金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形． (3)试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 判断或证明线面平行的常用方法： （1）利用线面平行的定义(无公共点)． （2）利用线面平行的判定定理(a∥b，b⊂α，a⊄α⇒a∥α)． （3）利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 证明面面平行的常用方法： （1）利用面面平行的定义． (2)利用面面平行的判定定理． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． (4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 判断或证明线面垂直的常用方法： 证明面面垂直的常用方法： 【详解】把正八面体补形为如图所示正方体，因为正八面体棱长为 ，则正方体的棱长为 选项A，正八面体的体积 ，设四棱锥 的高为 ，则 ，所以 ，A错误；选项B，正八面体的表面积为八个面面积和，故 ，B错误；选项C，正八面体的外接球半径为正方体棱长的一半，故 ，所以外接球体积 ，C错误； 选项D，设内切球半径为 ，则根据正八面体体积相等， ， 所以 所以内切球表面积为 .D正确.故选：D. 六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为 ，则下列说法正确的是（    ） A．正八面体的体积为 B．正八面体的表面积为 C．正八面体的外接球体积为 D．正八面体的内切球表面积为 【详解】如图，连接 ，取 的中点 ，再连接 ，由正八面体的性质知 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 （或补角）为异面直线 与 所成的角，在 中， ，即 ，解得 ， 即正八面体的棱长为 ，在 中， ，所以 ，即 ，在等边 中， ，在 中，由余弦定理得 所以 ，所以 ，且 为锐角，所以 . 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学､艺术､哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个高为4的正八面体， 为 的中点， 求异面直线 与 所成角的正弦值。 【详解】如图，连接 交于 ，连接 ，则 平面 ，所以 为直线 与平面 所成角，因为四边形 是边长为2的正方形，所以 , ，因为 ， 又 为锐角，所以 ， 即直线 与平面 所成角为 . 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点 ， ， ， 在同一个平面内，若四边形 是边长为2的正方形， 求直线 与平面 所成角。 【详解】在正八面体 中，取 的中点 ，连接 ，令 ，则 ，由（1）知， 平面 ， ，因此 ， 又 ，则 是二面角 的平面角，由正八面体的结构特征知 ， 于是 ，所以二面角 的余弦值是 。 已知一个正八面体 的棱长都是 ，如图所示， 求二面角 的余弦值． 【详解】连接 ．由已知得 为 的中位线，所以 ， 为正三角形 的中线，所以 ，又 ，所以 ，所以 为直角三角形， 所以 ．因为 ，所以 到平面 的距离为 ，设 到平面 的距离为 ，因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ．故选：B. 如图是棱长均为2的柏拉图多面体 ，已知该多面体为正八面体，四边形 为正方形， 分别为 的中点，则点 到平面 的距离为（    ） B．1 C． D． 【详解】由(1)知 ，连接 ，则 ,因为 ，所以点 为该八面体的外接球的球心，取 的中点 ，连接 ，因为 都为等边三角形，所以 ，因为 ， 平面 ，所以 平面 ，因为 ，所以点 平面 内，因为平面 过球心 ，所以平面 与该八面体的外接球的交线为该球的大圆， 即点 的轨迹为此大圆，所以点 的轨迹的周长为 . 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点 ， ， ， 在同一个平面内，若四边形 是边长为2的正方形， 动点 在该八面体的外接球面上，且 ，求点 的轨迹的周长。 【详解】（1）将 沿 翻折到 ，使得 与 共面，则 ，当 三点共线时等号成立，所以 的最小值为 ，此时 ， ， ， 所以 ，故 最小值为 . 如图所示的几何体是一个棱长为2的正八面体， （1）若 为线段 上的动点，求 最小值； （2）求平面 截该正八面体的外接球所得截面的面积。 【详解】（2）连接 ， ，交点设为 ，连接 ， 取 的中点 ，连接 ， ，在 中， ，因为 ，所以正八面体外接球的球心为O，半径为 ，作 于 ，则 ，平面 截该正八面体的外接球的截面是圆，与平面 所截得的面积相等，其半径 ，所以截面圆的面积为 . 如图所示的几何体是一个棱长为2的正八面体， （1）若 为线段 上的动点，求 最小值； （2）求平面 截该正八面体的外接球所得截面的面积。 【答案】B 【详解】如图正八面体，连接 和 交于点 ，因为 ， ，所以 ， ，又 和 为平面 内相交直线，所以 平面 ，所以 为正八面体的中心，设正八面体的外接球的半径为 ，因为正八面体的表面积为 ，所以正八面体的棱长为 ， 所以 ， 则 ． 1．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为 ，则正八面体外接球的体积为（    ） B． C． D． 【答案】B 【详解】根据图形，在正方体中易知正八面体的棱长为 ，如图，在正八面体中连接 ，可得 互相垂直平分，在Rt 中， ，则该正八面体的体积 ，该八面体的表面积 ，设正八面体的内切球半径为 ， 因为 ，即 ，解得 .故选:B. 如图所示，正方体的棱长为 ，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，若球 能在此正八面体内自由转动，则球 半径的最大值为（    ） B． C． D． 【答案】ABD 【详解】设正方形 的对角线交点为 ，则 ， ，A选项，取 中点 ，连接 和 ，因为 和 都是等边三角形，所以 且 ，因此 即为二面角 的平面角，又 ， ，由余弦定理可得 ，那么平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，A正确； B选项，因为 到所有顶点的距离相等，因此 也是外接球球心，外接球半径 ，显然内切球球心也为 ，内切球半径 即为 到平面 的距离也即到 的高，在 中， ，利用等面积法有 ，可得 ，所以比值为 ，B正确； 3（多选）如图所示，已知正八面体 棱长为2，下列结论正确的有（    ） A．平面 与平面 的夹角的余弦值为 B．正八面体的内切球半径与外接球半径的比值为 C．正八面体的体积与表面积的比值为 D．点 到平面 距离为 【详解】C选项，设正八面体的体积和表面积分别为 和 ，由等体积法可知 ，其中 即为内切球半径，所以 ，C错误；D选项，设点 到平面 的距离为 ，利用等体积法有 ， 即 ， 得 ，D正确. 3（多选）如图所示，已知正八面体 棱长为2，下列结论正确的有（    ） A．平面 与平面 的夹角的余弦值为 B．正八面体的内切球半径与外接球半径的比值为 C．正八面体的体积与表面积的比值为 D．点 到平面 距离为 $ 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——正八面体的性质及应用 回归教材： 【人教A版必修二习题8.3第1题】如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？ 【答案】 【分析】依题意八面体的每一个面都是边长为的正三角形，计算可得. 【详解】由题意，每个面都是边长为30cm的正三角形， 即这个八面体的表面积是. 【点睛】本题考查简单几何体的表面积，属于基础题. 知识梳理：教材中渗透的正八面体问题 正棱锥的概念及性质 1. 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 2. 正棱锥的性质 (1)正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形； (2)正棱锥的各侧棱都相等； (3)正棱锥的顶点与底面正多边形中心的连线垂直于底面. 习题拓展01：正八面体中的平行、垂直问题 金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形． (1)证明：平面CDF； (2)证明：四棱锥是正四棱锥； (3)试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不垂直，理由见解析 【分析】（1）由题意可知对角面AFCE是正方形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接AC与BD，设，连接EO，根据题意利用等腰三角形的性质可证得， ，则由线面垂直的判定定理可得平面ABCD，从而可证得结论； （3）取BE中点G，连接AG，GC，AC，则，，是二面角的平面角，设该正八面体棱长为，表示出，然后利用勾股定理的逆定理分析判断即可 【详解】（1）由题意可知，对角面AFCE是正方形，所以，     又因为平面CDF，平面CDF，    所以平面CDF． （2）如图1，连接AC与BD，设，连接EO，      图1                              图2 则，因为，所以，，又因为平面ABCD，又因为平面ABCD，且，所以平面ABCD．  所以四棱锥是正四棱锥． （3）如图2所示，取BE中点G，连接AG，GC，AC，根据等边三角形性质可知，，所以是二面角的平面角，设该正八面体棱长为，则，，则在中，，所以，所以平面ABE与平面BCE不垂直． 知识梳理： 1、判断或证明线面平行的常用方法： （1）利用线面平行的定义(无公共点)． （2）利用线面平行的判定定理(a∥b，b⊂α，a⊄α⇒a∥α)． （3）利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 2、证明面面平行的常用方法： （1）利用面面平行的定义． (2)利用面面平行的判定定理． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． (4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线． 3、判定线面垂直的四种方法 4、证明面面垂直的两种方法 提醒：在已知两个平面垂直时，一般要在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 习题拓展02：正八面体中的表面积、体积及与内切球、外接球问题 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是（    ） A．正八面体的体积为 B．正八面体的表面积为 C．正八面体的外接球体积为 D．正八面体的内切球表面积为 【答案】D 【分析】把正八面体补形为正方体，求得正方体的棱长为，利用正八面体和正方体的关系即可求解. 【详解】把正八面体补形为如图所示正方体，因为正八面体棱长为，则正方体的棱长为选项A，正八面体的体积，设四棱锥的高为，则，所以，A错误；选项B，正八面体的表面积为八个面面积和，故，B错误；选项C，正八面体的外接球半径为正方体棱长的一半，故，所以外接球体积，C错误；选项D，设内切球半径为，则根据正八面体体积相等，，所以所以内切球表面积为.D正确.故选D. 习题拓展03：正八面体中的线线角问题 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学､艺术､哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个高为4的正八面体，为的中点，求异面直线与所成角的正弦值。 【详解】如图，连接，取的中点，再连接，由正八面体的性质知，所以（或补角）为异面直线与所成的角，在中，，即，解得，即正八面体的棱长为，在中，，所以，即，在等边中，，在中，由余弦定理得 所以，所以，且为锐角， 所以. 习题拓展04：正八面体中的线面角问题 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点，，，在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，求直线与平面所成角。 【详解】如图，连接交于，连接，则平面，所以为直线与平面所成角，因为四边形是边长为2的正方形，所以,，因为，又为锐角，所以，即直线与平面所成角为. 习题拓展05：正八面体中的二面角问题 已知一个正八面体的棱长都是，如图所示，求二面角平面角的余弦值． 【详解】在正八面体中，取的中点，连接，令，则，由（1）知，平面，，因此， 又，则是二面角的平面角，由正八面体的结构特征知， 于是，所以二面角平面角的的余弦值是。 习题拓展06：正八面体中的点面距离问题 如图是棱长均为2的柏拉图多面体，已知该多面体为正八面体，四边形为正方形，分别为的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【详解】连接．由已知得为的中位线，所以，为正三角形的中线，所以，又，所以，所以为直角三角形，所以．因为，所以到平面的距离为，设到平面的距离为，因为，所以，所以，所以．故选：B. 习题拓展07：正八面体中的动点轨迹问题 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点，，，在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，动点在该八面体的外接球面上，且，求点的轨迹的周长。 【详解】由(1)知，连接，则,因为，所以点为该八面体的外接球的球心，取的中点，连接，因为都为等边三角形，所以，因为，平面，所以平面，因为，所以点平面内，因为平面过球心，所以平面与该八面体的外接球的交线为该球的大圆，即点的轨迹为此大圆，所以点的轨迹的周长为. 习题拓展08：正八面体中的最值与截面问题 如图所示的几何体是一个棱长为2的正八面体， （1）若为线段上的动点，求最小值； （2）求平面截该正八面体的外接球所得截面的面积。 【详解】（1）将沿翻折到，使得与共面，则，当三点共线时等号成立，所以的最小值为，此时，， ，所以，故最小值为. （2）连接，，交点设为，连接， 取的中点，连接，，在中，，因为，所以正八面体外接球的球心为O，半径为，作于，则，平面截该正八面体的外接球的截面是圆，与平面所截得的面积相等，其半径，所以截面圆的面积为. 课后练习： 1．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积． 【详解】如图正八面体，连接和交于点， 因为，，所以，，又和为平面内相交直线， 所以平面，所以为正八面体的中心，设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，所以正八面体的棱长为， 所以，则． 故选：B． 2．如图所示，正方体的棱长为，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，若球能在此正八面体内自由转动，则球半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等体积法求正八面体的内切球半径即可. 【详解】根据图形，在正方体中易知正八面体的棱长为，如图， 在正八面体中连接，可得互相垂直平分， 在Rt中，，则该正八面体的体积，该八面体的表面积，设正八面体的内切球半径为，因为，即，解得.故选:B. 3、（多选）如图所示，已知正八面体棱长为2，下列结论正确的有（    ） A．平面与平面的夹角的余弦值为 B．正八面体的内切球半径与外接球半径的比值为 C．正八面体的体积与表面积的比值为 D．点到平面距离为 【答案】ABD 【详解】设正方形的对角线交点为 ，则，，A选项，取中点，连接和，因为和都是等边三角形，所以且，因此即为二面角的平面角，又，，由余弦定理可得，那么平面与平面的夹角的余弦值为，A正确； B选项，因为到所有顶点的距离相等，因此也是外接球球心，外接球半径，显然内切球球心也为，内切球半径即为到平面的距离也即到的高，在中，，利用等面积法有，可得，所以比值为，B正确； C选项，设正八面体的体积和表面积分别为和，由等体积法可知，其中即为内切球半径， 所以，C错误；D选项，设点到平面的距离为，利用等体积法有， 即，得，D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $