微专题11　排列组合问题的几种特殊解法讲义——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦排列组合核心考点，涵盖定序问题、多面手问题、不同元素分组分配（平均与不平均）、相同元素分组分配等题型，按问题类型分视角构建知识体系，通过考点梳理、方法指导（学霸笔记）、真题训练（例题与跟踪训练）的教学流程，帮助学生系统突破解题难点。 资料以“问题类型化+方法结构化”为特色，创新采用“定序问题全排消序法”“多面手问题分类讨论”“分组分配先分组后排列”等策略，结合学霸笔记提炼通法，跟踪训练分层设计，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识），高效提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

微专题11　排列组合问题的几种特殊解法 视角一　定序问题 例1 (1)某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为(　　) A．10 B．20 C．24 D．30 (2)花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色．如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法． 　跟踪训练　(1)有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是(　　) A．168 B．260 C．840 D．560 (2)(2026·吉安模拟)育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有________种插入方法(用数字作答)． 视角二　多面手问题 例2 某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有(　　)种不同的选法． A．225 B．185 C．145 D．110 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)选一个职业作为讨论对象； (2)以该职业选几个多面手进行讨论； (3)把该职业选剩下的多面手归为另一个职业进行选择． 　跟踪训练　现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人，从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有________种不同的选法． 视角三　不同元素的分组分配问题 题型1　平均分组 例3 为提升教育教学质量，促进各分校区发展，某中学开展本部——分校区联合教研．现计划从本部派出7男2女共9名老师到A，B，C三个分校区开展教研，每个校区三人，则有(　　)种安排方案． A．1 050 B．1 680 C．2 940 D．3 360 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数． 　跟踪训练　将4个不同的小球平均放入2个不同的盒子中，有(　　)种不同的放法． A．6 B．12 C．3 D．16 题型2　不平均分组问题 例4 (1)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 (2)劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情怀．该校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A，B，C三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，则不同的派遣方案有(　　) A．140 B．150 C．200 D．220 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (2)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 　跟踪训练　(1)2025年十五届全运会志愿者第一小组有5人，需要分配到击剑、拳击、柔道比赛场馆，每个场馆至少1人，至多2人，则不同的分配方法有(　　) A．90种 B．150种 C．180种 D．240种 (2)将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少2张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有(　　) A．210种 B．420种 C．240种 D．480种 视角四　相同元素分组分配问题 例5 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：把n个相同的元素分成m(n，m为正整数，n≥m)组，每组至少有一个元素，可以用m－1块隔板插入n个元素排成一排形成的(n－1)个空隙中，所以分法种数为. 提醒：(1)需要根据题意确定题目能否转化为所分的每个组至少有一个元素的问题，这样才能使用隔板法；(2)一般来说，两端不能插隔板． 　跟踪训练　某学校购买了10个相同的篮球分配给高三年级6个班，要求每个班至少分配一个篮球，则不同的分配方法种数为(　　) A．126 B．84 C．72 D．48 提示：请完成微专题11 微专题11　排列组合问题的几种特殊解法 例1　解析：(1)6位同学排成一排准备照相时，共有＝30(种)排法，故ABC错误．故选D. (2)由题意，对6盏不同的花灯进行取下，先对6盏不同的花灯进行全排列，共有 ＝90. 答案：(1)D　(2)90 跟踪训练　解析：(1)从后排8人中抽2人有 种方法，由分步乘法计数原理可得共有＝28×6×5＝840(种)方法．故选C. (2)对全部的9个节目全排列，有 ＝3 024(种)． 答案：(1)C　(2)3 024 例2　解析：根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有 ＝185(种)．故选B. 答案：B 跟踪训练　解析：根据题意，分3种情况讨论：①从只会俄语的3人中选出2人做俄语翻译，需要在“既会俄语又会英语”的4人中选出2人做英语翻译，有 ＝36(种)选法；③在“既会俄语又会英语”的4人中选出2人做俄语翻译，剩下的2人做英语翻译，有＝6种选法，则一共有18＋36＋6＝60(种)选法． 答案：60 例3　解析：由题意可知将9名老师平均分为3组，再分到A，B，C三个分校区开展教研即可，故安排方案有＝1 680(种).故选B. 答案：B 跟踪训练　解析：由题意根据先分组再排列知共有＝6(种).故选A. 答案：A 例4　解析：(1)首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有 ＝6×10＝60(种).故选C. (2)根据题意，分2种情况讨论：当按照3∶1∶1进行分配时，则有＝90种不同方案，故共有60＋90＝150种不同的方案．故选B. 答案：(1)C　(2)B 跟踪训练　解析：(1)现将第一小组5人分成3组，为一组1人两组2人，所以有＝15(种)，再将其分配到击剑、拳击、柔道比赛场馆＝6种，所以共有15×6＝90(种)．故选A. (2)依题意可得，甲、乙分得的邮票数相等意味着甲、乙两人都分得2张邮票，丙分得3张邮票，所以甲、乙分得的邮票数相等的分法共有＝21×10×1＝210(种)．故选A. 答案：(1)A　(2)A 例5　解析：(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有＝10(种)． (2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有 ＝40(种)． (3)恰有两个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有 )＝30(种)． 跟踪训练　解析：将10个篮球排成一排，形成11个空，在中间的9个空中插入5个隔板将篮球分成6组，所以不同的分配方法有＝126(种)．故选A. 答案：A 学科网（北京）股份有限公司 $