2.6 函数性质的综合应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

2.6 函数性质的综合应用 考点一　函数的奇偶性与单调性 考点二　函数的对称性与周期性 考点三　函数性质的综合应用 考点一　函数的奇偶性与单调性 1．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知奇函数在上是增函数且当时 ，．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可判断函数为偶函数，再利用导数可证明在为增函数，利用指数函数和对数函数的单调性可得，从而可得三个函数值之间的大小关系. 【详解】因为，故为偶函数， 当时，因为（不恒为零）， 故在为增函数， 又， 因为，所以， 故选：C. 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和指数、对数的大小比较，注意两个增函数的乘积不一定是增函数，另外函数值的大小比较一般要利用函数的单调性来处理，本题属于中档题. 2．（24-25高三上·北京·期中）已知奇函数在上是增函数，．若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断的奇偶性与在上的单调性，根据奇偶性与单调性判断即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 则定义域为，， 又，所以是偶函数， 又在上是增函数，所以当时， 设，则，所以，即， 所以在上是增函数， 所以，又， 所以，即． 故选：C. 3．（2025高三上·江苏·专题练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是______ 【答案】 【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，再分讨论即可． 【详解】因为函数为上的奇函数，所以， 又因为奇函数在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： ①当时，有或， 解得：， ②当时，有或， 解得：， ③当时，满足题意， 综上得：或， 所以满足的的取值范围是， 故答案为：. 4．（2026·陕西榆林·三模）（多选）已知函数，是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据复合函数的单调性及奇偶性判断即可. 【详解】由题意知， 当时，易得函数在上单调递增， 又， 所以为奇函数，所以在上单调递增． 又是定义在上的偶函数，所以. 因为，所以是奇函数，故A正确； 因为，所以是偶函数．故B正确； 因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以．所以，故C错误； 因为， 所以，故D正确． 5．（24-25高三上·浙江杭州·期末）（多选）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数的奇偶性判断、的区间单调性及函数值的大小，结合单调性比较函数值的大小关系. 【详解】由是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 则在上单调递增，，故在R上单调递增， 所以，则，A对； 由是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 则在上单调递减，则， 综上，、，B错，C对； 若时，大小不定，D错. 故选：AC 6．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）已知是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且在上单调递增，在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据奇偶函数的性质可得与的单调性，利用单调性逐项判断即可. 【详解】根据题意，由奇偶函数的性质可得， 在上单调递增，在上单调递减，在R上单调递减， 则，， 对于A，由题意只能得到，并不能确定的正负号，所以无法判断与的大小，故A错误； 对于B，由题意只能得到，并不能确定的正负号，所以无法判断与的大小，故B错误； 对于C，因为，在R上单调递减，所以，故C正确； 对于D，因为，在R上单调递减，所以，故D正确. 故选：CD. 考点二　函数的对称性与周期性 7．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知是定义域为的奇函数,满足若,则 . A．2 B．0 C． D．4 【答案】B 【分析】根据已知条件，判断函数是周期为的周期函数，根据周期性和奇偶性，求得所求表达式的值. 【详解】由于，所以函数图像关于直线对称，由于函数为奇函数故函数关于原点对称，故函数是周期为的周期函数.由，，得， ， ， 所以， 所以. 故选B. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，考查函数的周期性，属于基础题. 8．（25-26高三·辽宁丹东·月考）已知是定义域为R的奇函数，满足． （1）证明：； （2）若，求式子的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）根据，结合已知条件，即可求证； （2）根据（1）中所求函数的周期，求得；借助周期性，即可求得结果. 【详解】（1）证明：根据题意，是定义域为R的奇函数，则， 又由满足， 则，则有， 故可得：，即证. （2）由（1）的结论，，故是周期为的函数. 又由是定义域为R的奇函数，则， 则， 则， 则有 . 【点睛】本题考查函数周期的求解和证明，以及利用函数周期性求函数值，属综合中档题. 9．（2025·云南昭通·模拟预测）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由为偶函数，可得，计算可判断C；根据原函数与导函数的图像的关系确定为奇函数,再根据函数为偶函数,得到,两者结合即可得出，判断BD，利用赋值法判断A. 【详解】对于，因为为偶函数，所以， 即①，所以，所以关于对称， 则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，， 所以关于对称，由①求导，和， 得， 所以，所以关于对称， 因为其定义域为，所以，结合关于对称， 从而周期，所以，，故B正确，D正确； 若函数满足题设条件，则函数（为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误， 故选：BCD． 10．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数则下面各选项中一定正确的序号是________. ①；②；③；④. 【答案】②③ 【分析】将题干转化为抽象函数的性质，根据原函数与导函数图象间的关系可得解. 【详解】因为，均为偶函数， 所以，即，， 所以，，则，故③正确； 函数，的图象分别关于直线，对称， 又，且函数可导，由函数图象关于直线对称，所以其单调性在处改变，导数值为零，所以，，所以关于点对称，又图象关于对称，所以的周期为，所以， 所以，所以，故②正确，④错误； 若函数满足题设条件，则函数（为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故①错误； 故答案为：②③. 11．（24-25高三上·广东清远·期末）（多选）已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（   ） A． B．为周期函数 C． D．在上单调递增 【答案】BC 【分析】由，确定函数图像关于对称，再结合奇偶性、单调性逐个判断即可； 【详解】对于A，由，得的图象关于对称，又因为定义域为，所以，故A不正确； 对于B，因为是偶函数，，，所以的一个周期为8，故B正确； 对于C，由于周期性和奇偶性，，故C正确； 对于D，因为是偶函数且在上单调递增，所以在上单调递减， 又的图象关于对称，所以在上单调递减， 由于周期为8，在上的单调性与上的单调性相同，所以在上单调递减，故D不正确． 故选：BC． 12．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选）已知定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．函数的最小正周期是4 C．函数在上单调递增 D．直线是图象的对称轴 【答案】ACD 【分析】由题设可得，函数关于对称，且、在上单调递减，再进一步判断函数的奇偶性、周期性、区间单调性和对称性，进而判断各选项即可. 【详解】由，得，所以函数为奇函数， 由是偶函数，得函数关于对称， 则直线是图象的对称轴，故D正确； 且，则， 所以，则， 所以函数的周期为8，故B错误； 对于A，由，若，则，故A正确； 对任意的，，当时，都有， 即，所以在上递减， 结合奇函数知，函数在上递减，即函数上函数递减， 由于函数关于对称， 所以函数在上单调递增，故C正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题设得到，函数关于对称，且、在上单调递减，进而判断各选项即可. 考点三　函数性质的综合应用 13．（24-25高三上·四川达州·期中）（多选）已知函数，，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．若定义在上的函数在是增函数，在也是增函数，则在为增函数 B．若为上的奇函数，且在内是增函数，，则的解集为 C．若为上的奇函数，则是上的偶函数 D．，都有函数在上是单调函数 【答案】BD 【详解】A选项，可举出反例；B选项，根据题意得到在上为增函数，且，，分，，，，结合函数单调性得到解集；C选项，根据函数奇偶性定义判断出答案；D选项，分，，，结合对称轴和开口方向，由基本不等式得到对称轴的位置，得到函数的单调性，得到答案. 【分析】A选项，例如，满足在是增函数，在也是增函数， 但在不是增函数，A错误； B选项，若为上的奇函数，且在内是增函数，， 则在上为增函数，且，， 当时，，故， 当时，，故， 当时，，不合题意，舍去， 当时，，故， 此时与取交集为空集， 综上，的解集为，B正确； C选项，若为上的奇函数，则的定义域为R， 且，故为偶函数，C错误； D选项，当时，，在上是单调递增函数， 当时，的对称轴为， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递增， 综上，，都有函数在上是单调函数，D正确. 故选：BD 14．（25-26高三上·浙江·期末）（多选）定义在上的函数满足： ①对任意，都有； ②的图象关于直线对称； ③，. 则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对称性可得的图象关于对称，直线对称，且以4为周期的周期函数，即可根据函数图象的平移，结合奇偶性的定义求解. 【详解】令，得，即， 可得，故函数的图象关于对称． 又因为的图象关于直线对称，故， 所以的图象关于直线对称， 则，可知是以4为周期的周期函数． 对于选项A：因为的图象是将的图象向左平移2个单位， 故的图象关于轴对称，则， 即，所以是偶函数，故A正确； 对于选项B：的图象是将的图象向左平移1个单位， 故的图象关于原点对称，是奇函数，故B正确； 对于选项C：由，得； 由，得， 所以，故C正确； 对于选项D：由题意得， ，， 则，所以，故D错误． 故选：ABC． 15．（2025·江西九江·一模）定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】C 【分析】根据对称性可得的图象关于对称，直线对称，且以以4为周期的周期函数，即可根据函数图象的平移，结合奇偶性的定义求解. 【详解】令，得，即，故函数的图象关于对称． 又的图象关于直线对称，故，的图象关于直线对称． ，是以4为周期的周期函数． 对于A，的图象是将的图象向左平移2个单位，故的图象关于轴对称，是偶函数，故A错误； 对于B，的图象是将的图象向左平移1个单位，故的图象关于原点对称，是奇函数，故B错误； 对于C，由，得；由，得， ，故C正确； 对于D，依题意，得，，，故D错误． 故选：C． 16．（24-25高三上·湖南长沙·月考）定义在上的函数满足：，且是偶函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C． D． 【答案】A 【分析】由条件可得为奇函数，结合奇函数性质及图象变换判断A，结合偶函数性质及图象变换判断B，根据对称性证明结论判断C，根据周期性，并通过求求结论判断D. 【详解】 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 所以的图象关于点对称，故A错误； 因为是偶函数， 所以函数的图象关于轴对称， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 因为， 代入中， 得到，进而， 因此，故C正确； 由可得，函数为周期函数，为函数的一个周期， 可得，，， 由可得，， 所以， 所以，故D正确． 故选：A． 1．（25-26高二上·河北·月考）函数的部分图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性和排除错误选项即可. 【详解】由得，函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称，排除BD； 又，所以，排除C. 2．（江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上单调递增，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数在上的单调性，结合函数的单调性与奇偶性逐项判断即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增， 则函数在上为减函数， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，无法判定其符号，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 3．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知， 当 时，，在上单调递减，则的解集为； 当 时，是定义在上的奇函数，则，在上单调递减，则的解集为； 所以，的解集是的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：D. 4．（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，根据函数单调性可得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由，可知定义域为， 又， 即， 则， 所以， ， 因为在定义域内单调递增， 所以在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增， 因为在定义域内单调递增，在定义域内单调递增， 由复合函数单调性可知，在定义域内单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，正实数，满足，， 若，则，不满足， 所以，故，即，所以， 则， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为， 故选：D 5．（25-26高三上·河南·月考）已知函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的图像与性质，结合基本不等式，即可求得最值. 【详解】由题知，的定义域为， 分别令，如图，两函数均在内单调递增， 因为当时，，当时，， 当时，，所以要使恒成立， 则与的符号相同， 所以，即， 所以(当且仅当时，等号成立)， 所以的最小值为. 故选：D 6．（2025·福建福州·一模）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 7．（24-25高三上·湖南常德·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C．若，则的最小值为3 D．若恒成立，则的最大值为6 【答案】ABD 【分析】根据偶函数的定义即可判断选项A；根据单调性的定义即可判断选项B；根据函数的奇偶性及单调性，即可判断选项C；分离参数后结合基本不等式即可求解，进而判断选项D. 【详解】因为函数的定义域为，且，所以为偶函数，故A正确； 设，则， 因为，所以.因为，，所以，因此， 所以，故在上单调递增，故B正确； 因为为偶函数，且在上单调递增，所以， 两边同时平方，整理得，故，故无最小值，故C错误； 由于在上单调递增，在上单调递减，所以， 故可整理为， 令，则，故在上恒成立. 因为，当且仅当时取等，故，即的最大值为6.故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性、奇偶性、利用函数的单调性和奇偶性解函数函数不等式以及函数不等式恒成立问题. （1）定义法证明函数的奇偶性时，需要先说明函数的定义域关于原点对称； （2）定义法证明函数的单调性的步骤：假设、作差、变形、判断符号、得出结论. （3）不等式恒成立问题通常可参变分离求最值. 8．（25-26高三上·江苏徐州·期中）（多选）下列函数中，满足对任意，有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意，可得函数在区间上单调递减即可，根据函数性质可判断各选项. 【详解】对任意，有，则函数在区间上为减函数， 对于A，，由二次函数的图象与性质可知函数在区间上为减函数，故A正确； 对于B，，根据幂函数的性质，函数在区间上为增函数，故B错误； 对于C，，函数在区间上为减函数，故C正确； 对于D，，当时，递增，所以函数在区间上不是单调函数，故D错误． 故选：AC 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数满足：①；②；③函数在上单调递减．写出一个同时具有以上性质①②③的函数：________．（答案不唯一） 【答案】 【分析】先从给定的两个等式分别推导出函数图象的对称中心和对称轴，结合三角函数的性质求出周期和初相，再根据单调性确定具体表达式. 【详解】对于①，若，则的图象关于点对称， 对于②，若，则的图象关于直线对称， 设，则，， 所以． 又的图象关于直线对称， 且函数在上单调递减， 则，， 得，． 所以可令（答案不唯一）． 10．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 【答案】（答案不唯一） 【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随即可解. 【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 11．（25-26高三上·浙江·期中）奇函数是定义在的减函数，若，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】由函数奇偶性和单调性将不等式等价转换成即可求解. 【详解】函数是奇函数且是定义在的单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 12．（24-25高三上·河南商丘·期末）已知函数，若实数，满足，则的最大值为________. 【答案】 【分析】构造函数，计算可得为奇函数且在上单调递增，则由可得，再借助基本不等式计算即可得解. 【详解】令，所以， 又定义域为，所以为奇函数，又，都在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以， 所以，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 13．（24-25高三·全国·二轮复习）定义在上的非常数函数满足①；②为奇函数．请写出符合上述条件的一个函数解析式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】对于开放性填空题，根据条件，可选择一个三角函数型的解析式即可. 【详解】根据题意，不妨取，已知其定义域为． 满足①； 且，故为奇函数，满足②． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（24-25高三上·上海·期末）不等式的解集为________ 【答案】 【分析】令，分析该函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】令，则该函数的定义域为， 因为，即函数为偶函数， 当时，， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，且， 由可得，即， 所以，，解得或， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 15．（24-25高三上·宁夏银川·期末）设是定义在上的偶函数，且对任意的、，有，，则的解集为__________. 【答案】 【分析】分析函数的单调性，可得出，分、两种情况解原不等式，即可得出所求不等式的解集. 【详解】对任意的、，有， 不妨设，则， 所以函数在上为增函数， 又因为函数是定义在上的偶函数， 则该函数在上为减函数，且， 所以， 当时，则，解得； 当时，则，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 16．（24-25高三上·天津·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】分析可知函数在上单调递增，且，由已知条件可得出，结合函数的单调性和奇偶性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减， 则函数在上单调递增，且， 因为，由， 可得，即， 即，所以，，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $2.6 函数性质的综合应用 考点汇总图 考点一函数的奇偶性与单调性 考点二函数的对称性与周期性 考点三函数性质的综合应用 考点突破 考点一函数的奇偶性与单调性 1.(25-26高三上·安徽合肥月考)已知奇函数f(x)在R上是增函数且当x≥0时f(x≥0，g(x)=xfx).若 a=g-l0g,5.1,b=g28),c=g3),则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 2.(24-25高三上·北京期中)己知奇函数f(x)在R上是增函数，gx=xfx).若a=g-2),b=g1),c=g3, 则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 3.(2025高三上江苏.专题练习)若定义在R上的奇函数f(x)在(-0,0)上单调递减，且f(2)=0,则满足 xf(x-1)≥0的x的取值范围是 4.(2026陕西榆林三模)（多选）已知函数f(x=-nN2+1-x+2x,gx是定义在R上的偶函数，且gx在 -0,0]上单调递增，则下列说法正确的是() A.f(x·gx是奇函数 B.∫g(x)是偶函数 C.fg(2025)<fg(-2026) D.gf(2025)>gf(-2026)】 5.(2425高三上·浙江杭州期末)（多选）己知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x是定义在R上的偶函数，且 f(x),gx在(-o,0]上单调递增，则() A.ff(2024)<ff(2025) B.fg2024)<fg2025) C.gf(2024)）>gf(2025 D.gg2024月<gg2025)月 1/6 6.(24-25高三上·安徽阜阳·阶段检测)（多选）已知∫(x是定义在R上的偶函数，gx)是定义在R上的奇函数， 且f(x)在(-o,0]上单调递增，gx在(-0,0]单调递减，则() A.ff(1)>f(f(2) B.f(g(1)<f(g(2)) C.gf(1)<gf(2) D.gg(1)<gg(2) 考点二函数的对称性与周期性 7.(25-26高三上·浙江杭州期中)已知f(x)是定义域为-0，+0)的奇函数，满足∫(1-x)=f1+x).若f1=2,则 f1+f(2+f(3+.+f(2019)=. A.2 B.0 C.-2 D.4 8.(25-26高三·辽宁丹东·月考)已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x). (1)证明：f(4+x)=f(x): (2)若f)=2,求式子f)+f(2)+f(3)+.+f(50)的值. 9.(2025·云南昭通·模拟预测)（多选）己知函数f(x)及其导函数f'(x的定义域均为R,记gx)=f'(x),若 }-2x,812+均为偶函数，则《) A.f(0)=0 B. C.f(-2)=f5 D.g-1+g2)=0 10.(25-26高三上上海杨浦开学考试)己知函数∫(x)及其导函数"(x)的定义域均为R,记gx)=∫'(x),若 f-2x,g2+均为偶函数则下面各选项中一定正确的序号足 @f0-0:②8-0：®-=f14:④81-=g12 11.(24-25高三上广东清远期末)（多选）已知函数f(x是定义在R上的偶函数，若f(x满足 f(2+x)+∫(2-x)=0,且fx在(-2,0)上单调递增，则以下说法一定正确的是() A.f(2=2 B.f(x为周期函数 C.f(2026)=0 D.f(x)在10,12)上单调递增 12.(2025海南省直辖县级单位模拟预测)（多选）己知定义在R上的函数f(x)满足f(x+∫(-x)=0,f(x+2)是 2/6 偶函数，且对任意的x,x2∈[-2,0]，当x≠x2时，都有xfx)+,fx2)<x∫x+x2∫(x),则以下判断正确的 是() A.若1)=-1，则f(5)=1 B.函数∫(x)的最小正周期是4 C.函数f(x)在2,6上单调递增 D.直线x=3是∫x-1)图象的对称轴 考点三函数性质的综合应用 13.(24-25高三上·四川达州期中)（多选）已知函数y=∫(x),xeR,给出以下结论，其中正确的结论是() A.若定义在R上的函数f(x)在(-0,0是增函数，在(0，+o)也是增函数，则f(x)在R为增函数 B.若f(x为R上的奇函数，且在(0，+0)内是增函数，∫(2)=0，则x-f(x)<0的解集为-2,0)(1,2) C.若f(x为R上的奇函数，则y=f是R上的偶函数 D.HaeR,都有函数f(x)=ax2+a2+1x+1在(-l,1上是单调函数 14.(25-26高三上浙江·期末)（多选）定义在R上的函数f(x)满足： ①对任意xeR,都有f(2+x=f1-f(-x): ②f(2x的图象关于直线x=1对称： ③f2)=1, 3)√2 2=2 则下列说法正确的是() A.fax+2)是偶函数(aeR) B.f(x+)是奇函数 C. 2 -2 n.)1)+()-o 15.(2025江西九江·一模)定义在R上的函数fx)满足：①对任意x∈R,都有f(2+x)=∫1)-∫(-x);② f(2x的图象关于直线x=1对称：③f(2)=1,f 3 2 2=2 则下列说法正确的是() A.f(x+2)是奇函数 B.∫(x+I)是偶函数 C. D. 16.(24-25高三上湖南长沙月考)定义在R上的函数f(x)满足：f(2+x)+f(2-x)=4,且f(x+1)是偶函数，则 3/6 下列说法不正确的是() A.函数f(x)的图象关于直线x=2对称 B.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 C.f(x+4)=f（x) D.f(0)+f1+f(2)+…+f(2023)=4048 课后精练 3sin 2x 1.(2526商二上河北月考》函数川列=因2的部分图象大致为（） D 2.(江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题)己知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若f(x)在区间(-4,0)上 单调递增，则下列关系式中一定成立的是() A.f(2)-f(-1>0 B.2f(1)+f(-1)>0 C.f(-3)-f1)>0 D.f(1f(-1)≥0 3.(25-26高三上·安微宣城期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且fx)在(-0,0)上单调递减，f-2)=0, 则x+1)∫x)>0的解集为() A.（-2,2 B.-0,-2)(1,2) C.（-1,2 D.（-2,-1U0,2 4/6 4.(2526东三上辽宁沈阳期未)已奥函数刻-。兰+h+1+小若正实数a,b满足引2a+fb-刂= ,则 +的+的最小值为() 1 A4 C.7 D.g 5.(25-26高三上河南月考)已知函数f(x)=(2-a-b)lgx,若f(x)≥0恒成立，则2+2的最小值为() A.√2 B.2 C.2√2 D.4 6.(2025福建福州一模)（多选)已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数gx)满足f2+x+g-x=1,则() A.f(x的图象关于点2,2)对称 B.∫(x)是以8为周期的周期函数 C.g(x+8)=g(x) D. f46-2)=2025 k=l 7.(24-25高三上·湖南常德·期末)（多选）已知函数fx)=e+e,则() A.f(x为偶函数 B.f(x)在(0，+o)上单调递增 C.若f(a+4≤f(2a+1，,则a的最小值为3 D.若bf(x≤f(2x+11恒成立，则b的最大值为6 8.（25-26高三上江苏徐州期中)（多选）下列函数国)中，满足对任意，5∈，+，有)-f<0的是() X1-x2 A.f(x)=-2(x-1)2-2 B.高 C.f0=1+ D.f(x)=x-4 9.(2026商三全国专题练习)已知函数满足：①3-=-，②川=1-：®函数f创在0，号上单 调递减.写出一个同时具有以上性质①②③的函数： ·(答案不唯一) 10.(2026山东东营一模)写出一个满足下列条件的函数解析式①f(-x)=f(x)；②x,x2∈(0，+0)，且 有V-们-<0：@，e0+且有/>f卢）：国 2 f(xx2)=f(x)f(x2). 11.(25-26高三上·浙江期中)奇函数fx是定义在(-0，+0)的减函数，若f(3a-1)+f(2a-4>0,则实数a的 取值范围是 5/6 12.(24-25高三上河南商丘期末)已知函数f(x=x3+2x+1,若实数m,n满足fm2)+f2n2-4)=2,则 m√n2+1的最大值为 13.(24-25高三·全国.二轮复习)定义在R上的非常数函数f(x)满足①f(x+y)=f(x)f1-y)+f1-x)f(y)；② ∫(x)为奇函数.请写出符合上述条件的一个函数解析式：f(x)= 14.（24-25高三上上海期末)不等式x2+10g2x<5的解集为 15.(24-25高三上宁夏银川期末)设f(x)是定义在(-0,0)U(0,+0)上的偶函数，且对任意的x、 x,∈-0,0(x≠x,,有(x-x)[fx)-f(x)]>0,f(2025)=0,则)+f-<0的解集为 16.(24-25高三上·天津·月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间-0,0]上单调递减，若实数Q满足 flog,a+/og,as2f(2),则实数a的取值范围是 6/6