精品解析：江西九江市同文中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

2025-2026学年度高二下数学5月月考卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 设为等差数列，为其前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在等比数列中，，则（ ） A. 48 B. 96 C. 144 D. 192 7. 若函数无极值点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，当时，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分． 9. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 当或5时，最大 10. 已知，，，下列选项中正确的有（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C. 若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D. 当时，若，则的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若关于的不等式的解集为，则___________． 13. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______. 14. 若正项数列满足，则集合的所有非空子集中最小元素之和为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 设是首项不为0的等差数列，，为与的等比中项，记为数列的前项和，. （1）求和的通项公式： （2）求数列的前项和. 16. 已知函数 （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）求函数在区间的最大值和最小值； （3）若曲线与直线有3个不同的交点，求实数的取值范围． 17. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若对任意，恒成立，求整数m的最小值. 18. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为．若对恒成立，求实数的取值范围． （3）设数列，，求证：； 19. 已知函数，其中e为自然对数的底数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若存在两个不同的极值点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二下数学5月月考卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】集合，共有4个元素，故选B. 2. 设为等差数列，为其前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，则，所以. 3. 已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式以及一元二次解求解，为真命题时的范围，即可结合逻辑关系求解. 【详解】由得， 由不等式的解集为，所以或者，解得， 综上为真时，， 故成立是既不充分也不必要条件， 故选：D 4. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】原全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 5. 若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式得到的最小值，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当时取等，此时解得， 而，可得，解得，故C正确. 故选：C 6. 在等比数列中，，则（ ） A. 48 B. 96 C. 144 D. 192 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的性质，求得，结合，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得， 又因为，所以， 则， 7. 若函数无极值点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 则没有变号零点，即没有变号零点， 令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以， 当时，， 当时，， 当时，的增长速率远远比的要大，所以， 作出的图象，如图所示， 所以． 8. 已知，，当时，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数并确定其单调性，利用两个函数有相同零点列式，再利用导数求出最大值即可. 【详解】令函数， 而，函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，，则函数有唯一零点， 函数在上单调递增，当时，恒成立， 当时，，不符合题意，因此，函数有唯一零点， 函数中，依题意，，则，， 由当时，恒成立，得函数与函数有相同零点， 则，即，于是， 令函数，求导得，当且仅当时取等号， 函数在上单调递增，， 所以的最大值为. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分． 9. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 当或5时，最大 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意列方程组求得，根据等差数列通项公式计算可判断AB；根据等差数列前项和公式计算可判断C；根据等差数列性质可判断D. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以数列单调递增， 当时，，当时，，且， 所以当或5时，最小，故D错误. 10. 已知，，，下列选项中正确的有（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用“1”的代换法求解最小值可判断A，利用基本不等式积的最大值可判断B，利用消元思想化归到基本不等式求最小值可判断C，利用换元法化归到对勾函数求最小值可判断D. 【详解】对于A，利用"1的代换"可得：   ， 等号成立条件： ，即 ，代入  得： ，故A正确； 对于B，由基本不等式 ，代入 ， 可得 ，等号成立条件：，即 ，故B正确； 对于C，将  代入得：  ， 由基本不等式可得：，故， 等号成立条件为 ，即 ，此时 ，不满足 ， 因此等号取不到，故C错误； 对于D，展开分子，代入 可得：，   因此原式化简为：  令 ， 由选项B正确可得：，可得，再由对勾函数在上单调递减， 所以当时，取到最小值：，故D正确. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C. 若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D. 当时，若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合导数讨论单调性即可得；对于B，结合的单调性，可转化为当时，能成立，求出的最小值即可得；对于C，由极值点的性质结合导数讨论单调性，求得参数的范围即可判断；对于D，采用同构法可推得，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得. 【详解】对于A，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增. 若存在，使不等式成立， 等价于存在，成立，也即成立， 由A项已得，在上单调递增，则在上单调递增， 故时，，则可得实数的最小值为0，故B正确； 对于C，由可得， 因函数存在两个极值等价于有2个变号零点， 由，可得， 设，则， 则当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增， 故，且当，当， 则有2个变号零点，等价于直线与有两个交点， 即得，也即，故没有最大值，即C错误； 对于D，当时，由A，B项可得为定义域上的增函数， 因，且，则， 由可得，即， 因是上的增函数，故， 又由，故， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为，故的最小值为，即D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若关于的不等式的解集为，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用已知不等式的解集得出相应一元二次方程的两个根，把两个根代入方程，求解． 【详解】不等式的解集为， 方程的实数根为和5，且， ，解得． 故答案为：1 13. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵在区间内存在单调递增区间， ∴在上有解，故在上有解， 令，则， ∵，∴，即在上为减函数， ∴，∴，故． 14. 若正项数列满足，则集合的所有非空子集中最小元素之和为_____． 【答案】2036 【解析】 【详解】时，，（舍）或1 时，， 整理得，即， 因是正项数列，故，所以， 是以1为首项1为公差的等差数列， ，最小元素为1的非空子集有个，最小元素为2的非空子集有个，，最小元素为10的非空子集有1个，设所求和为， 则． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 设是首项不为0的等差数列，，为与的等比中项，记为数列的前项和，. （1）求和的通项公式： （2）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的定义可得等差数列的公差等于，再由等比中项的定义，列出方程，求解可得等差数列的首项和公差，从而求得其通项公式；根据数列的项与其前项和的关系可求得数列的通项公式； （2）根据错位相减求和法，可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，所以. 由为与的等比中项，得，解得，或（舍去）. 所以. 因为， 所以当时，， 所以. 当时，，满足上式， 因此. 的通项公式为；的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以. 两式相减，得 . 所以. 16. 已知函数 （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）求函数在区间的最大值和最小值； （3）若曲线与直线有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）最大值为5，最小值为． （3） 【解析】 【小问1详解】 ，求导可得， 当时，，， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 ， 令，解得或， 当在区间上变化时，的变化情况如表所示： 0 2 3 -12 0 24 5 单调递减 单调递增 所以当时，在区间上取得最大值， 当时，在区间上取得最小值． 【小问3详解】 由（2）可知，当时，，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在处取得极大值， 在处取得极小值， 因为当时，，当时，， 所以若曲线与直线有3个不同的交点，则需介于极大值和极小值之间， 因此的取值范围为. 17. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若对任意，恒成立，求整数m的最小值. 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）1 【解析】 【分析】（1）求导函数，由导函数确定函数的单调性得极值； （2）不等式恒成立转化为在上恒成立，设，转化为求的最大值，确定的零点的范围，得出最大值的范围后可得最小的整数． 【小问1详解】 当时，， . 当时，，则在上单调递增； 当时.，则在上单调递减. 所以在时取得极大值且极大值为，无极小值； 【小问2详解】 因为对任意，恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则. 设， 显然在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即， 当时，，；当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以， 故整数m的最小值为1. 【点睛】方法点睛：本题考查用导数求函数的极值，研究不等式恒成立问题．求解不等式恒成立问题，常常需要转化，用分离参数法转化为求函数的最值，本题中函数的最值点不能直接求出，我们用表示，通过得出的范围，从而可得最大值的范围，然后得出结论． 18. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为．若对恒成立，求实数的取值范围． （3）设数列，，求证：； 【答案】（1） （2） （3） ， 所以 ，即命题得证． 【解析】 【分析】（1）构造数列是以为首项，为公差的等差数列，利用等差数列公式求解； （2）裂项相消计算，通过分离参数，利用函数单调性求出最大值，； （3）采取放缩将，直接利用求和化解. 【小问1详解】 由， 两边同除以得， 即， 又，故，所以是以为首项，为公差的等差数列， 解得，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 故数列的前项和为： ， 将代入不等式，得，即， 因为，所以，两边同乘得：， 令，则， 故在上单调递减，因此， 要使对恒成立，只需，即， 所以，实数的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 已知函数，其中e为自然对数的底数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若存在两个不同的极值点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明． 【答案】（1）单调递增区间为． （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导可得，根据，确定的符号，进而判断原函数的单调性； （2）（ⅰ）由是方程的两根，构造函数，利用直线与的图像有两个交点，利用导数求出范围； （ⅱ）设，由（ⅰ）得，由已知得，令，得，即证．通过构造函数，利用函数的导数证明对恒成立即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为．求导得． 令则 令得 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 即恒成立． 因此，在上单调递增，单调递增区间为． 【小问2详解】 （ⅰ），若有两个不同的极值点，则方程有两个不同的实数根． 显然不是根，故可化为． 设，则． 当时，单调递减，且； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 又时时，故在上从减至e，在上从e增至． 因此，当时，直线与的图像有两个交点，分别位于和，对应两个不同的极值点（且）． 当时有一个交点，当时无交点， 当时有一个交点． 故实数的取值范围是． （ⅱ）不妨设，由（ⅰ）得，，，即，两边取对数得． 令，则，代入得，解得． 于是． 要证，即证，等价于． 设，则． 令，则， 故在上单调递增，且，所以，即． 因此在上单调递增，又，故对恒成立． 从而原不等式成立，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $