精品解析：江西九江市同文中学2025-2026学年高二下学期3月阶段考试数学试题

高二数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若数列－1，a，b，c，－9是等比数列，则实数b的值为（ ） A. －5 B. －3 C. 3 D. 3或－3 2. 在等差数列中，，则该数列公差d等于 A. B. 或 C. - D. 或- 3. 已知公比为的等比数列的首项，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 16 C. 12 D. 5. 设等差数列的前项和为，若，，则满足的的最小值为（    ） A. 8 B. 13 C. 14 D. 15 6. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C 2 D. 7. 李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为（ ）（精确到0.01元，参考数据） A 733.21元 B. 757.37元 C. 760.33元 D. 770.66元 8. 数列满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为中的最大项 C. D. 10. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 11. 设首项为1的数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（　　） A. 数列为等比数列 B. 数列的通项公式为 C. 数列为等比数列 D. 数列的前n项和为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为数列的前项和，若，则_____________． 13. 数列满足：，，且，则数列的通项公式为________． 14. 数列中，且满足，，则数列的前2024项的和为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差大于0，且,分别是等比数列的前三项. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知等差数列的前项和为，且，数列满足，. （1）求数列和通项公式； （2）求数列的前项和，并求的最小值. 17. 已知四边形为正方形，为，的交点，现将三角形沿折起到位置，使得，得到三棱锥. （1）求证：平面平面； （2）棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由. 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线焦点为，椭圆的右顶点为，离心率为，且为线段的中点，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交于两点，射线分别交于两点，记和的面积分别为和，求的取值范围. 19. 对于数列，其前项和记为，已知. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，数列的前项和为，记， （i）求； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若数列－1，a，b，c，－9是等比数列，则实数b的值为（ ） A. －5 B. －3 C. 3 D. 3或－3 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解． 【详解】由题意，又数列的奇数项同号，即，所以． 故选：B． 2. 在等差数列中，，则该数列公差d等于 A B. 或 C. - D. 或- 【答案】D 【解析】 【详解】解：由等差数列的性质可知： ， 据此可得： ，解得： 或 ， 等差数列的公差： 或 . 本题选择D选项. 3. 已知公比为的等比数列的首项，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等比数列的性质可得，若，可得，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果． 【详解】由于公比为的等比数列的首项， 所以， 若，则，所以，即或， 所以公比为的等比数列的首项， 则“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键. 4. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 16 C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由知，公比，由计算，代入求值即可. 【详解】因为等比数列的前项和为，且， 所以,且， 解得：， 所以 故选：D 【点睛】本题主要考查了等比数列求和公式，考查了运算能力，属于中档题. 5. 设等差数列的前项和为，若，，则满足的的最小值为（    ） A. 8 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 详解】由题意得，，所以， 所以，又，所以，故数列是递增的等差数列， 所以，，因为， 所以，， 又，所以满足的的最小值为. 6. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴， 又，为以为直径的圆的半径， 为圆心． ，又点在圆上， ，即． ，故选A． 【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 7. 李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为（ ）（精确到0.01元，参考数据） A. 733.21元 B. 757.37元 C. 760.33元 D. 770.66元 【答案】B 【解析】 【分析】首先可设每一期所还款数为元，然后结合题意列出每期所还款本金，并根据贷款元列出方程，最后借助等比数列前项和公式进行计算即可得出结果. 【详解】设每一期所还款数为元， 因为贷款的月利率为， 所以每期所还款本金依次为， 则， 即， ， ， ， 即李华每个月所要还款约元. 故选：B. 8. 数列满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件计算出数列的通项公式，然后运用裂项求和法求出结果，注意的情况进行分类讨论. 【详解】，取， 相减， ， 则推出 当时， 原式 故选：A 【点睛】方法点睛：在数列求和中的方法：（1）裂项求和法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）倒序相加法等. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为中的最大项 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，先由求得，然后根据等差数列求和，以及性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A：当时，；当时，， 经检验，当时，，故，A正确； 对于B：令，则，故当时，，故和为中的最大项，B错误； 对于C：，C正确； 对于D： ，D错误． 故选:AC 10. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理可证；B项利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积公式求解即可；CD项，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标法表示线线角与线面角，建立函数关系求解范围与最值即可进行判断. 【详解】A项，如图，连接. ，，， 且平面， 平面，平面， ，同理，， ，且平面， 直线平面，故A正确； B项，，且， 四边形是平行四边形. ，平面，平面， 平面，点P在线段上运动， 到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值. 不妨设正方体的棱长为1， 则， 即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 点P在线段上运动，则可设， 则. C项，，． 所以， ， 因为，则，， ，因为异面直线与所成角为锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故C错误； D项， ，． 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为 ， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 11. 设首项为1的数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（　　） A. 数列为等比数列 B. 数列的通项公式为 C. 数列为等比数列 D. 数列的前n项和为 【答案】AD 【解析】 【分析】由条件找到可判断A正确，由A可求得的通项公式，利用分组求和可得D正确，由的通项公式可求得的通项公式，进而可确定CD错误. 【详解】 又 数列是首项公比都为的等比数列，故选项A正确. 又 所以数列的前和为，故选项D正确. 又因为， 当， 当，， 故选项B错误. 所以数列不是等比数列.故选项C错误. 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为数列的前项和，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值. 【详解】根据，可得， 两式相减得，即， 当时，，解得， 所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列， 所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. 13. 数列满足：，，且，则数列的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【分析】由，化简得，则为等差数列，写出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式． 【详解】由， 化简得， 由，， 得， 所以是以为首项，以为公差的等差数列， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 数列中，且满足，，则数列的前2024项的和为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，，，，以及，，，分别是公比为的等比数列，再分奇偶讨论，结合分组求和计算即可. 【详解】解析：由，，得，，得 所以，，，以及，，，分别是公比为的等比数列， 当为奇数时，，当为偶数时， 所以，当奇数时，， 当为偶数时，， . 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差大于0，且,分别是等比数列的前三项. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，得，① 又因为是等比数列的前三项， 所以 即，化简得，② 联立①②解得. 所以 因为， 所以等比数列的公比为3，首项为3，所以. 【小问2详解】 由（1）知等比数列的前项和， 等差数列的前项和. 所以. 16. 已知等差数列的前项和为，且，数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和，并求的最小值. 【答案】（1）， （2），的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式求得数列的首项和公差，从而得数列的通项公式；，由累加法可得数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式的特点，采用分组求和法，及错位相减法，结合等差数列、等比数列的前项和公式可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， ， ， ，. 解得：. 数列满足. . 当时，满足上式 . 【小问2详解】 . 设数列的前项和为. 则， . 记数列的前项和为，则. . 因为恒成立， 所以当时，； 当时，，即； 当时，； 所以：. 的最小值为. 17. 已知四边形为正方形，为，的交点，现将三角形沿折起到位置，使得，得到三棱锥. （1）求证：平面平面； （2）棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在满足题意的点，且. 【解析】 【分析】（1）线线垂直得到线面垂直，然后得到面面垂直； （2）由三直线两两垂直建立空间直角坐标系，设点坐标求得面的法向量，由法向量与面面角的余弦值建立等式，解出点的位置，得到比值. 【小问1详解】 在正方形中，， 又∵，∴，∴ 即，，且，平面，平面， ∴平面， 由∵平面， ∴平面平面 【小问2详解】 由（1）可知，，， ∴以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则向量是平面的一个法向量， 设，则，， ∵在线段上，∴，∴， ∴，， 设是平面的一个法向量，则， ∴，∴， 设为平面与平面夹角， 则， 则，则，为中点， ∴. 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，椭圆的右顶点为，离心率为，且为线段的中点，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交于两点，射线分别交于两点，记和的面积分别为和，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为线段中点为突破口，求出,继而可求出椭圆方程. （2）利用三角形面积公式将转化为，再利用相似比转化，设直线的方程，与抛物线方程联立即可求出最值. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点为，且为线段的中点， 所以点，则， 设椭圆焦距为，因为椭圆离心率为， 所以，解得. 则， 故椭圆的标准方程是. 【小问2详解】 由题知直线的斜率不为0，设直线的方程为， 设，则， 所以. 因为直线的斜率为，所以直线的方程为. 由，得，则， 同理可得， 所以，所以， 所以，当时，等号成立. 所以，故的取值范围为. 19. 对于数列，其前项和记为，已知. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，数列的前项和为，记， （i）求； （ii）证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据及条件变形得，结合，即可利用等比数列定义证明； （2）（i）由（1）可得，进而根据等差数列的定义求得，则有，最后利用裂项相消法求和即可； （ii）当时，成立；当时，由得，因为单调递增得，所以，；即可得证. 【小问1详解】 因为①，所以②，②-①得，， 所以，所以，所以， 而在①中令，则，所以，， 所以数列是首项为2，公比为等比数列； 【小问2详解】 （i）由（1）知，所以， 又，所以数列是首项为，公差为等差数列， 所以，即， 所以， 所以； （ii）证明：当时，成立； 当时，由可知， 所以 ，因为单调递增，所以，即， 所以，所以，； 综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $