2025-2026学年上海市七年级下学期期末数学质量检测卷（培优版）

**基本信息** 2025-2026学年上海七年级（下）期末数学培优卷，难度0.53，以几何与代数综合为核心，通过折叠道闸、茉莉花茶成本等真实情境，考查推理能力与应用意识，适配期末培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|不等式性质、平行线性质|第2题结合道闸工作示意图，考查空间观念| |填空题|12/24|三角形中线、折叠问题|第17题将圆形剪开为等腰三角形，体现几何直观| |解答题|8/64|几何证明、实际应用|22题茉莉花茶利润计算培养模型意识，25题等角三角形探究发展推理能力|

2025-2026学年上海市七年级（下） 期末数学质量检测卷（培优版） 难度系数：0.53；考试时间：100分钟；满分：100 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）已知x＞y，那么下列正确的是（　　） A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y 2．（2分）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB、CD和折叠杆“AE﹣EF”组成．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，且杆EF始终与地面BD保持平行，则下列判断中，正确的是（　　） A．∠BAE+∠AEF＝180° B．∠BAE+∠AEF＝270° C．∠BAE+∠AEF＝360° D．∠BAE+∠AEF的度数无法确定 3．（2分）对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝90° B．∠1＝50°，∠2＝130° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1+∠2＝90° 4．（2分）一个三角形的三边长度分别为2、5和x，则x的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2分）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 6．（2分）如图，从△ABC内一点O出发，把△ABC剪成三个三角形（如图1），边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上（如图2），直线MN∥AC，则点O是△ABC的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）已知关于x的不等式（m﹣2）x＞m2﹣4的解为x＜m+2，则m的取值范围是　 　 ． 8．（2分）如图，△ABC中∠ABC＝75°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A′BD，此时A′D∥BC，则∠C＝ 　 　 度． 9．（2分）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是　 　 ．（填序号） 10．（2分）如图，△ABC的面积为2cm2．AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P．则△PBC的面积是　 　 ． 11．（2分）如图是5×4的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则∠1+∠2＝　 　 °． 12．（2分）命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题　 　 ． 13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　 　 ． 14．（2分）在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是边AB、AC的中点，CD和BE相交于点O．如果点O到边BC的距离为2，BC＝16，那么AB的长为　 　 ． 15．（2分）在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 　 　 ． 16．（2分）关于x的不等式组无解，m应满足的条件　 　 ． 17．（2分）把一个半径为6厘米的草编圆形茶杯垫按如图的方法剪开并展开，得到的近似等腰三角形底是　 　 厘米．（π取3.14） 18．（2分）如图，在△ABC中，BC＝9cm，AC＝12cm，∠C＝90°，现有两个动点P和Q同时从点A出发，分别在三角形三边按照逆时针和顺时针方向围绕三角形运动一圈后回到初始位置，其中点P的速度为3cm/s，设运动时间为ts．在△DEF中，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在两点运动过程中的某一时刻，恰好有△APQ≌△DEF（顶点A、P分别与顶点D、E对应），则点Q的运动速度为　 　 cm/s． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题，满分64分） 19．（4分）当a为何值时，关于x的不等式组恰有一个解？ 20．（4分）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，若∠1＝∠2，求证：∠B+∠CDE＝180° 证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠BFD（　 　 ）， ∴∠BFD＝　 　 （等量代换）， ∴BC∥　 　 （　 　 ）． ∴∠CDE+　 　 ＝180°（　 　 ）， 又∵AB∥CD（已知）， ∴∠C＝　 　 （　 　 ）， ∴∠B+∠CDE＝180°． 21．（8分）已知线段AB＝a、CD＝b如图所示： （1）请按要求用直尺、圆规完成作图 ①画射线OM； ②在射线OM上顺次截取OE＝EF＝a； ③在射线FO上截取FP＝b； （2）根据（1）中所作图形，可知OP＝　 　 （用含有a、b的代数式表示）． （3）根据（1）中所作图形，若点P恰为OE的中点，则AB＝　 　 CD． 22．（8分）福州是世界茉莉花茶的发源地和主要产区，茉莉花茶是福州作为海上丝绸之路重要节点的文化名片．福州某茶企计划从闽江沿岸茉莉花种植基地购进茉莉花制成甲、乙两款茉莉花茶，用于供应本地茶博会与线上商城．已知乙款茉莉花茶的成本比甲款茉莉花茶的成本每千克高70元，5kg甲款茉莉花茶和4kg乙款茉莉花茶的成本共需1900元． （1）问甲、乙两款茉莉花茶每千克的成本分别为多少元？ （2）该茶企计划制作甲、乙两款茉莉花茶共1000kg，其中甲款茉莉花茶的重量不超过乙款茉莉花茶重量的1.5倍，且两款茉莉花茶的总成本不超过229000元．若甲款茉莉花茶的售价是每千克250元，乙款茉莉花茶的售价是每千克350元，求销售完这两款茉莉花茶的最大利润． 23．（8分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数． 24．（10分）为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度AB：将旗杆顶部A处的绳子拉直至地面C点，使B，C两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在C处放置直角三角板OMN，让直角顶点O与C点重合，边OM与绳子AC重合．随后小明后退，当看到点N，O共线时（即N，O，E共线），停在D点． （1）小明认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由． （2）若DE＝1.7米，DB＝16米，求旗杆高度AB． 25．（10分）请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 第 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”. 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”. 任务图 任务1 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△BCD和△ACD　 　 等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的等角分割线． 任务3 在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，若△ACD是等腰三角形，请求出∠ACB的度数． 26．（12分）（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，且有AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，猜想AD、BE与DE之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD＝11，BE＝5，则DE的长为 　 　 ． （3）如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC＝28，AF＝19，求△ADG的面积． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市七年级（下）期末数学质量检测卷（培优版） 难度系数：0.53；考试时间：100分钟；满分：100 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）已知x＞y，那么下列正确的是（　　） A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y 2．（2分）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB、CD和折叠杆“AE﹣EF”组成．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，且杆EF始终与地面BD保持平行，则下列判断中，正确的是（　　） A．∠BAE+∠AEF＝180° B．∠BAE+∠AEF＝270° C．∠BAE+∠AEF＝360° D．∠BAE+∠AEF的度数无法确定 3．（2分）对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝90° B．∠1＝50°，∠2＝130° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1+∠2＝90° 4．（2分）一个三角形的三边长度分别为2、5和x，则x的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2分）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 6．（2分）如图，从△ABC内一点O出发，把△ABC剪成三个三角形（如图1），边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上（如图2），直线MN∥AC，则点O是△ABC的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）已知关于x的不等式（m﹣2）x＞m2﹣4的解为x＜m+2，则m的取值范围是　 　 ． 8．（2分）如图，△ABC中∠ABC＝75°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A′BD，此时A′D∥BC，则∠C＝ 　 　 度． 9．（2分）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是　 　 ．（填序号） 10．（2分）如图，△ABC的面积为2cm2．AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P．则△PBC的面积是　 　 ． 11．（2分）如图是5×4的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则∠1+∠2＝　 　 °． 12．（2分）命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题　 　 ． 13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　 　 ． 14．（2分）在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是边AB、AC的中点，CD和BE相交于点O．如果点O到边BC的距离为2，BC＝16，那么AB的长为　 　 ． 15．（2分）在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 　 　 ． 16．（2分）关于x的不等式组无解，m应满足的条件　 　 ． 17．（2分）把一个半径为6厘米的草编圆形茶杯垫按如图的方法剪开并展开，得到的近似等腰三角形底是　 　 厘米．（π取3.14） 18．（2分）如图，在△ABC中，BC＝9cm，AC＝12cm，∠C＝90°，现有两个动点P和Q同时从点A出发，分别在三角形三边按照逆时针和顺时针方向围绕三角形运动一圈后回到初始位置，其中点P的速度为3cm/s，设运动时间为ts．在△DEF中，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在两点运动过程中的某一时刻，恰好有△APQ≌△DEF（顶点A、P分别与顶点D、E对应），则点Q的运动速度为　 　 cm/s． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题，满分64分） 19．（4分）当a为何值时，关于x的不等式组恰有一个解？ 20．（4分）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，若∠1＝∠2，求证：∠B+∠CDE＝180° 证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠BFD（　 　 ）， ∴∠BFD＝　 　 （等量代换）， ∴BC∥　 　 （　 　 ）． ∴∠CDE+　 　 ＝180°（　 　 ）， 又∵AB∥CD（已知）， ∴∠C＝　 　 （　 　 ）， ∴∠B+∠CDE＝180°． 21．（8分）已知线段AB＝a、CD＝b如图所示： （1）请按要求用直尺、圆规完成作图 ①画射线OM； ②在射线OM上顺次截取OE＝EF＝a； ③在射线FO上截取FP＝b； （2）根据（1）中所作图形，可知OP＝　 　 （用含有a、b的代数式表示）． （3）根据（1）中所作图形，若点P恰为OE的中点，则AB＝　 　 CD． 22．（8分）福州是世界茉莉花茶的发源地和主要产区，茉莉花茶是福州作为海上丝绸之路重要节点的文化名片．福州某茶企计划从闽江沿岸茉莉花种植基地购进茉莉花制成甲、乙两款茉莉花茶，用于供应本地茶博会与线上商城．已知乙款茉莉花茶的成本比甲款茉莉花茶的成本每千克高70元，5kg甲款茉莉花茶和4kg乙款茉莉花茶的成本共需1900元． （1）问甲、乙两款茉莉花茶每千克的成本分别为多少元？ （2）该茶企计划制作甲、乙两款茉莉花茶共1000kg，其中甲款茉莉花茶的重量不超过乙款茉莉花茶重量的1.5倍，且两款茉莉花茶的总成本不超过229000元．若甲款茉莉花茶的售价是每千克250元，乙款茉莉花茶的售价是每千克350元，求销售完这两款茉莉花茶的最大利润． 23．（8分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数． 24．（10分）为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度AB：将旗杆顶部A处的绳子拉直至地面C点，使B，C两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在C处放置直角三角板OMN，让直角顶点O与C点重合，边OM与绳子AC重合．随后小明后退，当看到点N，O共线时（即N，O，E共线），停在D点． （1）小明认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由． （2）若DE＝1.7米，DB＝16米，求旗杆高度AB． 25．（10分）请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 第 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”. 任务图 任务1 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△BCD和△ACD　 　 等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的等角分割线． 任务3 在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，若△ACD是等腰三角形，请求出∠ACB的度数． 26．（12分）（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，且有AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，猜想AD、BE与DE之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD＝11，BE＝5，则DE的长为 　 　 ． （3）如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC＝28，AF＝19，求△ADG的面积． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年上海市七年级（下） 期末数学质量检测卷（培优版）答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 缺考标记 注意事项 ▣ 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 贵用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[■错误【-][√][×] 一.选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[AB][C]D] 3.[A]B][C][D] 5.[A]B][C]D] 2.[A]B][CD] 4.[A]B][C][D] 6.[A]B][C]D] 二.填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题 的答题区内作答) 第1页共7页 7. 8. 9 10 12. 13. 14. 15. 1 1 三.解答题（共8小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 第2页共7页 20.答： A B /E C D H 21.答： c 第3页共7页 22.答： 23.答： E ⊙ 第4页共7页 24.答： B C(0) D 第5页共7页 25.答： C A B A B D D 图1 图2 备用图 第6页共7页 26.答： E B G F D 及D y B A 图1 图2 图3 第7页共7页 2025-2026学年上海市七年级（下） 期末数学质量检测卷（培优版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B B D D A 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）·（2026•宝山区二模）已知x＞y，那么下列正确的是（　　） A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y 【答案】D 【分析】各式利用不等式的性质化简，判断即可． 【解答】解：∵x＞y， ∴x﹣y＞0，ax＞ay（a＞0），x+2＞y+2，2﹣x＜2﹣y． 故选：D． 【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 2．（2分）·（2026春•徐汇区校级期中）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB、CD和折叠杆“AE﹣EF”组成．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，且杆EF始终与地面BD保持平行，则下列判断中，正确的是（　　） A．∠BAE+∠AEF＝180° B．∠BAE+∠AEF＝270° C．∠BAE+∠AEF＝360° D．∠BAE+∠AEF的度数无法确定 【答案】B 【分析】根据平行线的性质对所给选项进行判断即可． 【解答】解：过点A作EF的平行线AM， ∵EF∥BD，EF∥AM， ∴AM∥BD，∠AEF+∠EAM＝180°， ∴∠MAB+∠B＝180°． ∵∠B＝90°， ∴∠MAB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠BAE+∠AEF＝∠BAM+∠EAM+∠AEF＝90°+180°＝270°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 3．（2分）·（2026春•虹口区期中）对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝90° B．∠1＝50°，∠2＝130° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1+∠2＝90° 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，需要找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子． 【解答】解：根据真假命题的判定、平行线的判定与性质逐项分析判断如下： A、∠1＝∠2＝90°，则∠1+∠2＝180°，满足条件也满足结论，不能作为反例，故A不符合题意； B、∠1＝50°，∠2＝130°，则∠1+∠2＝180°，满足条件，但∠1≠∠2，不满足结论，可以作为反例，故B符合题意； C、∠1＝50°，∠2＝50°，∠1+∠2＝100°≠180°，不满足条件，不能作为反例，故C不符合题意； D、∠1+∠2＝90°≠180°，不满足条件，不能作为反例，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 4．（2分）·（2026春•奉贤区期中）一个三角形的三边长度分别为2、5和x，则x的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由三角形三边关系定理得到3＜x＜7，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣2＜x＜5十2， ∴3＜x＜7， ∴x的值可以是4． 故选：D． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 5．（2分）·（2026春•浦东新区校级月考）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由BF⊥AE于点F，得∠AFB＝90°，而AF＝BF，所以∠ABF＝∠BAF＝45°，可判断①正确；由AD⊥BC于点D，得∠ADE＝90°，则∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB，即可根据“ASA”证明△AFG≌△BFE，可判断②正确；根据全等三角形的性质得出AG＝BE，EF＝GF，所以AG+CE＝BE+CE＝BC，由∠GAF＝∠CAE，得∠EBF＝∠CAE，推导出∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB，则BC＝AC，所以AG+CE＝AC，可判断③正确；得出BG+2GF＝AE，即可判断④． 【解答】解：∵BF⊥AE于点F， ∴∠AFB＝90°， ∵AF＝BF， ∴∠ABF＝∠BAF＝45°， 故①正确； ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC于点D， ∴∠AFG＝∠BFE＝∠ADE＝90°， ∴∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB， 在△AFG和△BFE中， ∴△AFG≌△BFE（ASA）， 故②正确； ∴AG＝BE， ∴AG+CE＝BE+CE＝BC， ∵AE平分∠CAD交BC于点E， ∴∠GAF＝∠CAE， ∴∠EBF＝∠CAE， ∴∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB， ∴BC＝AC， ∴AG+CE＝AC， 故③正确； ∵BG+2GF＝BG+GF+GF＝BF+EF＝AF+EF＝AE，又AE＜AC＝BC， ∴BC＞BG+2GF，故④正确． 综上，正确结论的序号为①②③④． 故选：D． 【点评】该题主要考查了全等三角形的性质和判定．等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 6．（2分）·（2025秋•浦东新区校级期末）如图，从△ABC内一点O出发，把△ABC剪成三个三角形（如图1），边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上（如图2），直线MN∥AC，则点O是△ABC的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点 【答案】A 【分析】利用平行线间的距离处处相等，可知点O到BC、AC、AB的距离相等，然后可作出判断． 【解答】解：如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F． ∵MN∥AB， ∴OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）． 如图2：过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'． 由题意可知：OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'， ∴OD'＝OE'＝OF'， ∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点， 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行线间的距离处处相等，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解本题的关键是判断出OD＝OE＝OF． 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）·（2026春•徐汇区校级期中）已知关于x的不等式（m﹣2）x＞m2﹣4的解为x＜m+2，则m的取值范围是m＜2　 ． 【答案】m＜2． 【分析】先对不等式右侧变形，再根据解集的不等号方向变化判断x系数的符号，即可求解m的取值范围． 【解答】解：原不等式变形可得： （m﹣2）x＞（m﹣2）（m+2）， ∵原不等式的解集为x＜m+2， ∴m﹣2＜0， 解得m＜2． 故答案为：m＜2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2分）·（2026春•浦东新区校级月考）如图，△ABC中∠ABC＝75°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A′BD，此时A′D∥BC，则∠C＝ 　80　 度． 【答案】80． 【分析】根据折叠，平行线的性质得到∠ABD＝∠A′BD＝∠A′BC，结合题意得到∠ABD＝∠A′＝25°，根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵折叠， ∴∠A＝∠A′，∠ABD＝∠A′BD， ∵∠A＝∠ABD， ∴∠A′＝∠ABD＝∠A′BD， ∵A′D∥BC， ∴∠A′＝∠A′BC（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABD＝∠A′BD＝∠A′BC， ∵∠ABC＝∠ABD+∠A′BD+∠A′BC＝75°， ∴， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣25°﹣75°＝80°， 则∠C的度数为80°， 故答案为：80． 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是关键． 9．（2分）·（2026春•上海校级月考）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是　①②　 ．（填序号） 【答案】①②． 【分析】根据三角形中线，内角平分线，高的定义，分别判断三类线段在三角形中的位置，即可得到结果． 【解答】解：根据题意可知，三角形的中线是顶点到对边中点的线段，任意三角形的中线都在三角形内部，三角形的内角平分线是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，任意三角形的内角平分线都在三角形内部； 锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部，因此高不一定在三角形内部． 综上所述，一定在三角形内部的线段是①②， 故答案为：①②． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是相关性质的熟练掌握． 10．（2分）·（2026春•浦东新区校级月考）如图，△ABC的面积为2cm2．AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P．则△PBC的面积是　1cm2 ． 【答案】1cm2． 【分析】如图所示，延长AP交BC于点E，可证△ABP≌△EBP（ASA），得到BP，CP分别为△ABE，△ACE的中线，由三角形中线平分三角形面积的计算即可求解． 【解答】解：如图所示，延长AP交BC于点E， ∵AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P， ∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠EPB＝90°，且BP＝BP， 在△ABP和△EBP中， ， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝EP，即点P是AE的中点， ∴BP，CP分别为△ABE，△ACE的中线， ∴， ∵S△PBC＝S△BPE+S△CPE，， ∴． 故答案为：1cm2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的角平分线、中线和高，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 11．（2分）·（2026春•浦东新区校级月考）如图是5×4的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则∠1+∠2＝　90　 °． 【答案】90． 【分析】利用SAS证明△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质求出∠1＝∠DCF，结合图形求解即可． 【解答】解：如图， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1＝∠DCF， ∵∠2+∠DCF＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， 故答案为：90． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（2分）·（2026春•黄浦区期中）命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题　如果两个角相等，那么它们是对顶角　 ． 【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角． 【分析】逆命题是通过交换原命题的条件和结论得到的． 【解答】解：交换条件和结论，得到逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角． 【点评】该题考查了逆命题，熟练掌握该知识点是关键． 13．（2分）·（2026春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　1.8　 ． 【答案】1.8． 【分析】连接AD，AE，根据三角形的中线定义可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，然后利用面积法进行计算即可解答． 【解答】解：连接AD，AE， ∵D为BC中点， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∵DP⊥AB，EM⊥AB，EN⊥AC， ∴△ABC的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， ∴2△ABD的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， AB•DP•2AB•EMAC•EN， ∵AB＝AC， ∴2DP＝EM+EN， 6＝4.2+EN， 解得：EN＝1.8， 故答案为：1.8． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 14．（2分）·（2026春•青浦区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是边AB、AC的中点，CD和BE相交于点O．如果点O到边BC的距离为2，BC＝16，那么AB的长为　10　 ． 【答案】10． 【分析】根据三角形中线的定义确定点O为△ABC的重心，利用等腰三角形三线合一的性质及重心的性质求出BC边上的高，再结合勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，连接AO并延长交BC于点F， ∵D、E分别是边AB、AC的中点， ∴CD、BE是△ABC的中线， ∴点O是△ABC的重心， ∴AF是△ABC的中线， ∵AB＝AC， ∴AF⊥BC，， ∵点O到边BC的距离为2， ∴OF＝2， ∴AO＝2OF＝4， ∴AF＝AO+OF＝4+2＝6， ∵BC＝16， ∴， ∴． 故答案为：10． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 15．（2分）·（2025春•宝山区校级期末）在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 　60°　 ． 【答案】60°． 【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD＝DC，根据等边对等角得到∠DAC＝∠C＝35°，根据内角和定理求得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，最后根据角度的和差关系即可得到答案． 【解答】解：由作图可知：MN为线段AC的垂线平分线， ∴AD＝DC， ∴∠DAC＝∠C＝35°， 在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°， 故答案为：60°． 【点评】本题主要考查基本作图，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 16．（2分）·（2026春•上海期中）关于x的不等式组无解，m应满足的条件m≥2　 ． 【答案】m≥2． 【分析】不等式组无解的条件是“大于大的，小于小的”，即 2m﹣1≥m+1． 【解答】解：， 不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，因此需满足：2m﹣1≥m+1， 解这个不等式： 2m﹣1≥m+1， 2m﹣m≥1+1， m≥2， ∴m应满足的条件是m≥2． 故答案为：m≥2． 【点评】本题考查了含参数的一元一次不等式组无解的情况．熟练掌握不等式组无解的判定规则，即“大大小小无处找”，是解题的关键． 17．（2分）·（2026春•普陀区校级期中）把一个半径为6厘米的草编圆形茶杯垫按如图的方法剪开并展开，得到的近似等腰三角形底是　37.68　 厘米．（π取3.14） 【答案】37.68． 【分析】通过观察可知，得到的三角形的底等于圆形茶杯垫的周长，三角形的高等于圆形茶杯垫的半径，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答． 【解答】解：2×3.14×6＝37.68（厘米）， 故答案为：37.68． 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式． 18．（2分）·（2025秋•上海校级期末）如图，在△ABC中，BC＝9cm，AC＝12cm，∠C＝90°，现有两个动点P和Q同时从点A出发，分别在三角形三边按照逆时针和顺时针方向围绕三角形运动一圈后回到初始位置，其中点P的速度为3cm/s，设运动时间为ts．在△DEF中，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在两点运动过程中的某一时刻，恰好有△APQ≌△DEF（顶点A、P分别与顶点D、E对应），则点Q的运动速度为　或　 cm/s． 【答案】或． 【分析】根据题意分两种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点P、Q所走的路程，进而可求出P的运动时间，即Q的运动时间，再利用速度＝路程÷时间求解即可． 【解答】解：设点Q的运动速度为xcm/s，分情况讨论如下： ①当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌△DEF时， ∴AP＝DE＝4cm，AQ＝DF＝5cm， ∴4÷3＝5÷x， 解得：x； ②当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌△DEF时， ∴AP＝DE＝4cm，AQ＝DF＝5cm， ∴点P的路程为9+12+15﹣4＝32（cm），点Q的路程为9+12+15﹣5＝31（cm）， ∴32÷3＝31÷x， 解得：x， 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键． 三．解答题（共8小题，满分64分） 19．（4分）·（2026春•上海期中）当a为何值时，关于x的不等式组恰有一个解？ 【答案】32． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【解答】解：由5x≤x﹣14+a得，x； 由得，x． 因为该不等式组恰有一个解， 所以， 解得a＝32． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 20．（4分）·（2026春•徐汇区校级期中）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，若∠1＝∠2，求证：∠B+∠CDE＝180° 证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠BFD（　对顶角相等　 ）， ∴∠BFD＝　∠2　 （等量代换）， ∴BC∥DE （　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴∠CDE+　∠C ＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）， 又∵AB∥CD（已知）， ∴∠C＝　∠B （　两直线平行，内错角相等　 ）， ∴∠B+∠CDE＝180°． 【答案】对顶角相等，∠2，DE，同位角相等，两直线平行，∠C，两直线平行，同旁内角互补，∠B，两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质解答即可 【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠BFD（对顶角相等）， ∴∠BFD＝∠2（等量代换） ∴BC∥DE（同位角相等，两直线平行）． ∴∠CDE+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵AB∥CD（已知）， ∴∠C＝∠B（两直线平行，内错角相等）， ∴∠B+∠CDE＝180°， 故答案为：对顶角相等，∠2，DE，同位角相等，两直线平行，∠C，两直线平行，同旁内角互补，∠B，两直线平行，内错角相等． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 21．（8分）·（2025秋•浦东新区期末）已知线段AB＝a、CD＝b如图所示： （1）请按要求用直尺、圆规完成作图 ①画射线OM； ②在射线OM上顺次截取OE＝EF＝a； ③在射线FO上截取FP＝b； （2）根据（1）中所作图形，可知OP＝　2a﹣b （用含有a、b的代数式表示）． （3）根据（1）中所作图形，若点P恰为OE的中点，则AB＝　　 CD． 【答案】（1）见解析 （2）2a﹣b （3）． 【分析】（1）先作射线OM，以点O为圆心，线段a的长为半径画弧交射线OM于点E，再以点E为圆心，线段a的长为半径画弧交射线OM于点F，最后以点F为圆心，线段b的长为半径画弧交射线FO于点P； （2）根据线段的和差关系求解即可； （3）由点P恰为OE的中点得到，然后求解． 【解答】解：（1）如图所示； （2）由（1）得OP＝OE+EF﹣FP＝a+a﹣b＝2a﹣b， 故答案为：2a﹣b； （3）若点P恰为OE的中点， ∴2a﹣ba， ∴ab， ∴ABCD， 故答案为：． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，列代数式，正确地作出图形是解题的关键． 22．（8分）·（2026春•鼓楼区校级期中）福州是世界茉莉花茶的发源地和主要产区，茉莉花茶是福州作为海上丝绸之路重要节点的文化名片．福州某茶企计划从闽江沿岸茉莉花种植基地购进茉莉花制成甲、乙两款茉莉花茶，用于供应本地茶博会与线上商城．已知乙款茉莉花茶的成本比甲款茉莉花茶的成本每千克高70元，5kg甲款茉莉花茶和4kg乙款茉莉花茶的成本共需1900元． （1）问甲、乙两款茉莉花茶每千克的成本分别为多少元？ （2）该茶企计划制作甲、乙两款茉莉花茶共1000kg，其中甲款茉莉花茶的重量不超过乙款茉莉花茶重量的1.5倍，且两款茉莉花茶的总成本不超过229000元．若甲款茉莉花茶的售价是每千克250元，乙款茉莉花茶的售价是每千克350元，求销售完这两款茉莉花茶的最大利润． 【答案】（1）甲款茉莉花茶每千克成本180元，乙款茉莉花茶每千克成本250元； （2）销售完这两款茉莉花茶的最大利润为91000元． 【分析】（1）设甲款茉莉花茶每千克成本为x元，则乙款每千克成本为（x+70）元，根据“5kg甲款茉莉花茶和4kg乙款茉莉花茶的成本共需1900元”列出一元一次方程，求解即可； （2）设甲款茉莉花茶制作m千克，则乙款为（1000﹣m）千克，销售完这两款茉莉花茶的利润为w，根据题意列出不等式组，求得300≤m≤600，再列出利润为w关于m的一次函数，利用 一次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设甲款茉莉花茶每千克成本为x元，则乙款每千克成本为（x+70）元， 根据题意列方程：5x+4（x+70）＝1900， 整理得，9x＝1620， 解得，x＝180， 则乙款成本为：180+70＝250 （元/千克） 答：甲款茉莉花茶每千克成本180元，乙款茉莉花茶每千克成本250元； （2）设甲款茉莉花茶制作m千克，则乙款为（1000﹣m）千克，销售完这两款茉莉花茶的利润为w， 由题意列二元一次方程组得，， 解得300≤m≤600， ∴w＝（250﹣180）m+（350﹣250）（1000﹣m）， 整理得w＝﹣30m+100000， ∵﹣30＜0， ∴w随m的增大而减小，当m＝300时，w取得最大值， 最大值为w＝﹣30×300+100000＝91000． 答：销售完这两款茉莉花茶的最大利润为91000元． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 23．（8分）·（2025春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数． 【答案】（1）见解答； （2）∠A＝65°． 【分析】（1）求出∴△AED≌△CEF，根据全等得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即可； （2）求出∠A＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】（1）证明：在△AED和△CEF中 ， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴∠A＝∠ACF， ∴CF∥AB； （2）解：∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ACF，∠ABC+∠BCF＝180°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠BCF＝130°， ∵AC平分∠BCF， ∴∠ACB＝∠ACF＝65°， ∴∠A＝∠ACF＝65°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 24．（10分）·（2026春•浦东新区校级月考）为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度AB：将旗杆顶部A处的绳子拉直至地面C点，使B，C两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在C处放置直角三角板OMN，让直角顶点O与C点重合，边OM与绳子AC重合．随后小明后退，当看到点N，O共线时（即N，O，E共线），停在D点． （1）小明认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由． （2）若DE＝1.7米，DB＝16米，求旗杆高度AB． 【答案】（1）我认同小明的观点， 理由：由题意得：AB⊥DB，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACB+∠ECD＝180°﹣∠ACE＝90°， ∴∠BAC＝∠ECD， ∵BC＝ED， ∴△ABC≌△CDE（AAS）， ∴AB＝CD； （2）14.3米． 【分析】（1）利用一线三垂直模型证明△ABC≌△CDE，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）我认同小明的观点， 理由：由题意得：AB⊥DB，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACB+∠ECD＝180°﹣∠ACE＝90°， ∴∠BAC＝∠ECD， ∵BC＝ED， ∴△ABC≌△CDE（AAS）， ∴AB＝CD； （2）∵△ABC≌△CDE， ∴DE＝BC＝1.7米， ∵DB＝16米， ∴CD＝DB﹣BC＝16﹣1.7＝14.3（米）， ∴AB＝CD＝14.3米． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 25．（10分）·（2025春•徐汇区校级月考）请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 第 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”. 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”. 任务图 任务1 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△BCD和△ACD　是　 等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的等角分割线． 任务3 在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，若△ACD是等腰三角形，请求出∠ACB的度数． 【答案】任务1：是； 任务2：证明见解答； 任务3：∠ACB的度数为84°或111°． 【分析】任务1：根据题意和三角形内角和定理即可求得“等角三角形”； 任务2：根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据CD为角平分线和“等角三角形”的定义即可证明； 任务3：当DA＝DC，∠ACD＝42°，求得∠ACB；当DA＝AC，有∠ACD＝∠ADC，得∠BCD＝42°，即可求得∠ACB；当AC＝DC，∠ADC＝42°，则∠BDC＝138°＝∠ACB，不符合题意舍去即可． 【解答】任务1： 解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠ADC＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∴∠A＝∠BCD， ∴△ACD与△CBD是“等角三角形”； 故答案为：是； 任务2： 证明：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝80°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A， ∴CD＝DA， ∴△ADC是等腰三角形； ∵∠DCB＝∠A，∠B＝60°， ∴∠BDC＝80°， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴△BCD和△BAC是“等角三角形”， ∴CD为△ABC的等角分割线； 任务3： 解：分三种情况： ①当DA＝DC时，如图3，∠ACD＝∠A＝42°， ∵CD是△ABC的等角分割线， ∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°； ②当DA＝AC时，如图4，∠ACD＝∠ADC＝69°， ∵CD是△ABC的等角分割线， ∴∠BCD＝∠A＝42°， 则∠ACB＝69°+42°＝111°； ③当AC＝DC时，∠ADC＝∠A＝42°，则∠BDC＝180°﹣42°＝138°＝∠ACB， 那么∠B＝180°﹣42°﹣138°＝0°（舍去）， 故∠ACB的度数为84°或111°． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义，“等角三角形”以及“等角分割线”，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键． 26．（12分）·（2025春•崇明区期末）（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，且有AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，猜想AD、BE与DE之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD＝11，BE＝5，则DE的长为 　6　 ． （3）如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC＝28，AF＝19，求△ADG的面积． 【答案】（1）AD+BE＝DE，理由见解答过程； （2）6； （3）133． 【分析】（1）证明△ACD和△CBE全等得AD＝CE，CD＝BE，由此即可得出AD、BE与DE之间满足的数量关系； （2）证明△ACD和△CBE全等得AD＝CE＝11，CD＝BE＝5，由此即可得出DE的长； （3）过点D作DP⊥FG于点P，过点E作EH⊥FG于点H，设BF＝a，则CF＝28﹣a，证明△FAC和△HEA全等得AF＝EH＝19，CF＝AH＝28﹣a，同理证明△FAB和△PDA全等得BF＝AP＝a，AF＝DP＝19，则DP＝EH＝19，再证明△DPG和△EHG全等得PG＝HG，则PG＝2PG，根据AH＝AP+PH＝a+2PG＝28﹣a得PG＝14﹣a，继而得AG＝AP+PG＝14，然后根据三角形的面积公式即可得出△ADG的面积． 【解答】解：（1）AD、BE与DE之间满足的数量关系是：AD+BE＝DE，理由如下： 如图1所示： 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠1+∠3＝90°， ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠D＝∠E＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴AD+BE＝CE+CD＝DE； （2）如图2所示： 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠1+∠ACD＝90°， ∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC＝∠E＝90°， ∴∠2+∠ACD＝90°， ∴∠2＝∠1， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD＝CE＝11，CD＝BE＝5， ∴DE＝CE﹣CD＝11﹣5＝6； （3）过点D作DP⊥FG于点P，过点E作EH⊥FG于点H，如图3所示： 设BF＝a， ∵BC＝28，AF＝19， ∴CF＝BC﹣BF＝28﹣a， ∵∠CAE＝90°，AC＝AE， ∴∠FAC+∠HAE＝90°， ∵BC⊥AF，EH⊥FG， ∴∠AFC＝∠H＝90°， ∴∠HEA+∠HAE＝90°， ∴∠FAC＝∠HEA， 在△FAC和△HEA中， ， ∴△FAC≌△HEA（AAS）， ∴AF＝EH＝19，CF＝AH＝28﹣a， 同理证明：△FAB≌△PDA（AAS）， ∴BF＝AP＝a，AF＝DP＝19， ∴DP＝EH＝19， ∵DP⊥FG，EH⊥FG， ∴∠DPG＝∠H＝90°， 在△DPG和△EHG中， ， ∴△DPG≌△EHG（AAS）， ∴PG＝HG， ∴PH＝2PG， ∵AH＝AP+PH＝a+2PG＝28﹣a， ∴PG＝14﹣a， ∴AG＝AP+PG＝a+14﹣a＝14， ∴S△ADGAG•DP14×19＝133． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． ( 第 2 页 共 26 页 ) ( 第 1 页 共 26 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年上海市七年级（下) 期末数学质量检测卷（培优版）答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 缺考标记 注意两，考生先将白己的姓名、准考证号码镇写清茫 14 请济考证条码在右的 玛贴处]的 3} 15 4, 责用黑色字迹 5保持卡面清洁，不要折叠：不要手破、弄腹，不准使用涂改液、刮纸刀。 16 的签字笔填 6、填涂杆例正确■错误【一[小[】 17 18 选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂） 1[AJBIICID] 3.[AJ[B][C][D] 5.(A][B]IC][D] 2.(AJBICIDI 4(AJ[BIICJ[D] 6.[AI[BIICID] 三. 解答题（共8小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作答） 二.填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 第1页共2页 第2页共2页 20答： 22答： 7B E D 21答： 23答： A B D 第1页共2页 第2页共2页 24答： A A M N..-- B C(0) D 第1页共2页 第2页共2页 25答： 26.答： 玉八个 恩 图2 备用图 图1 图2 岛 第1页共2页 第2页共2页