函数的概念及其表示课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数模块核心考点，依据高考评价体系梳理定义域、值域、性质及分段函数等考查要求，结合2022-2025年新高考及全国卷真题，明确函数概念、单调性等高频考点权重，归纳定义域求解、解析式求法等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题溯源+变式训练+规律总结”的备考策略，如针对分段函数求值问题，通过“由内到外分步代入法”培养学生数学思维，结合AI变式训练深化对定义域抽象函数的理解，帮助学生掌握解题技巧提高得分率，教师可据此精准把握考情，实现高效复习教学。

第1节　函数的概念及其表示 高考总复习 2027 备考路径 考点 考题 考情分析 函数的概念与表示 2024新高考Ⅰ,第8题;2023新高考Ⅰ,第11题;2022新高考Ⅱ,第8题 1.函数模块是高考核心考点之一,占比大.试题常以基本初等函数或其复合函数为载体,重点考查定义域、值域、性质、图象、零点等知识,突出奇偶性、周期性与单调性.常与导数、不等式、方程等知识交汇命题,综合考查数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想,以及数学建模能力. 函数的单调性 2024新高考Ⅰ,第6题;2023新高考Ⅰ,第4题;2023新高考Ⅱ,第6题 函数的性质及其应用 2025全国1,第5题;2025全国2,第10题; 2023新高考Ⅱ,第4题;2022新高考Ⅰ,第12题;2022新高考Ⅱ,第8题; 2021新高考Ⅰ,第13题 考点 考题 考情分析 基本初等函数 2025全国1,第8题;2024新高考Ⅱ,第8题; 2023新高考Ⅰ,第4题;2022新高考Ⅰ,第7题 2.高考对函数的考查强调知识融合,既有显性命题,又通过整卷试题进行隐性渗透 函数与方程 2022新高考Ⅰ,第10题 函数模型及其应用 2023新高考Ⅰ,第10题 课标解读　1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.2.理解函数的三种表示方法:图象法、列表法、解析式法.会根据不同的需要选择恰当的方法.3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教B版必修第一册3.1.1节练习题A第6题改编)下列图形中,可以表示函数图象的是(　　) A 解析 根据函数的定义可知,定义域内的每一个x只有一个y和它对应,因此不能出现一对多的情况,所以选项BCD不是函数的图象.选项A是函数的图象.故选A. 2.(人教B版必修第一册习题3-1B第3题改编)若函数f(x)=的定义域和值域分别是A,B,则有(　　) A.A∩B=⌀ B.A∪B=R C.A=B D.A⊂B C 解析 依题意知A=(0,+∞),B=(0,+∞),所以A=B.故选C. 3.(人教B版必修第一册3.1.1节练习B第8题改编)已知函数f(x+1)=2x-3,则f(4)=　　　　　,f(x)=　　　　　.  3 2x-5 解析 令x+1=4,得x=3,代入得f(4)=3;设x+1=t,则x=t-1,代入得f(t)=2t-5,因此f(x)=2x-5. 4.(湘教版必修第一册第三章复习题三第1题)判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数. (1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; (2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2; (3)A=Z,B=Z,f:x→y=; (4)A={x|-1≤x≤1},B={0},f:x→y=0. 解 (1)A中的元素0在B中没有对应元素,故不是集合A到集合B的函数. (2)对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→y=x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应,故是集合A到集合B的函数. (3)集合A中的负整数没有平方根,故在集合A中有剩余的元素,故不是集合A到集合B的函数. (4)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x→y=0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应,故是集合A到集合B的函数. 知识梳理 1.函数及其相关概念 概念 一般地,设A,B是非空的　　　　　,如果对于集合A中的 　　　　　　,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都 有　　　　　确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数  三要素 对应关系 y=f(x),x∈A 定义域 　　　　的取值范围A  值域 与x的值对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 同一个函数 如果两个函数的　　　　相同,　　　　完全一致,那么这两个函数是同一个函数  实数集 任意一个数x 唯一 x 定义域 对应关系 微点拨 函数概念中的两个允许,两个不允许: (1)不允许“一对多”,允许“多对一”. (2)不允许A中存在“闲置”的元素,允许B中有“闲置”的元素. 微思考 定义域与值域相同的两个函数是同一个函数吗?值域与对应关系相同的两个函数是同一个函数吗? 提示 定义域与值域相同的两个函数不一定是同一个函数,例如f(x)=2x与g(x)=-2x;值域与对应关系相同的两个函数不一定是同一个函数,例如f(x)=x2(x≥0)与g(x)=x2(x≤0). 2.函数的表示方法 表示函数的常用方法有　　　　　　、图象法、列表法.  微思考 直线x=a(a为常数)与函数f(x)的图象的交点个数是多少? 解析式法 提示 直线x=a(a为常数)与函数f(x)的图象的交点个数是1或0.若设f(x)的定义域为D,则当a∈D时,有1个交点,当a不属于D时,有0个交点. 3.分段函数 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应关系,则称其为分段函数. 微点拨 1.分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,其值域等于各段函数值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是同一个函数. 2.分段函数的最大(小)值是各段区间上最大(小)值中的最大(小)者. 3.分段函数图象上横坐标相同的点不能有两个或两个以上. 研考点•精准突破 考点一　函数的概念及其应用 例1　(1)(2025·河南开封期末)下列表示同一个函数的是(　　) A.f(x)=x-1与g(x)= B.f(x)=ln ex与g(x)=eln x C.f(t)=与g(x)= D.f(x)=与g(x)= D 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 对于A,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠-1},故A错误;对于B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(0,+∞),故B错误;对于C,f(t)的定义域为[0,+∞),g(x)的定义域为R,定义域不同,故C错误;对于D,f(x)与g(x)的定义域均为(0,+∞),且f(x)==1,g(x)==1,所以二者是同一个函数,故D正确.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2026·山东潍坊模拟)存在函数f(x)满足:对任意x∈R,都有(　　) A.f(x)= B.f(x2)=|x+1| C.f(|x|)=2x2+1 D.f(|x-1|)=x2-1 C 解析 对于A,函数f(x)=的定义域为{x|x≠0},不符合要求;对于B,当x=1时,则有f(1)=2,当x=-1时,则有f(1)=0,与函数的定义矛盾;对于C,f(|x|)=2x2+1=2|x|2+1,令t=|x|≥0,则f(t)=2t2+1,其中t≥0,符合题意;对于D,当x=0时,则f(1)=-1,当x=2时,则f(1)=22-1=3,与函数的定义矛盾.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　函数概念的应用技巧 (1)判断两个函数是否为同一个函数,关键在于两点:一是定义域相同;二是对应关系相同.其中定义域要在解析式化简之前求得,在定义域的限制条件下可以对解析式进行化简. (2)函数定义中要求对于x的每一个确定值,y应有唯一的值与之对应,否则就不能确定函数关系,据此可通过取特殊值验证的方法判断给出的一个对应关系是否是函数.若存在x1,x2使得g(x1)=g(x2),但h(x1)≠h(x2),那么就不存在函数f(x)满足f(g(x))=h(x). 考点一 考点二 考点三 考点四 考点二　函数的定义域 例2　(1)(2025·内蒙古呼和浩特模拟)已知函数f(x)=的定义域为(　　) A.(1,5) B.(-∞,1)∪(5,+∞) C.(-∞,1]∪(5,+∞) D.(-∞,1]∪[5,+∞) C 解析 由题意得解得x≤1或x>5, 所以函数f(x)的定义域为(-∞,1]∪(5,+∞). 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)[一题多变]若函数f(x)的定义域为[-2,3],则函数f(2x-4)的定义域为(　　) A.[,3] B.[-8,2] C.[1,] D.[,8] C 解析 函数f(x)的定义域为[-2,3],要使函数f(2x-4)有意义,需满足-2≤2x-4≤3,解得1≤x≤, 即函数f(2x-4)的定义域为[1,]. 考点一 考点二 考点三 考点四 AI变式 [变式](改变抽象函数形式)本例(2)将条件中“函数f(x)的定义域为[-2,3]”改为“f(x-1)的定义域为[-2,3]”,求函数f(2x-4)的定义域. 解 函数f(x-1)的定义域为[-2,3],所以-2≤x≤3,则-3≤x-1≤2, 所以f(x)的定义域为[-3,2]. 则函数f(2x-4)的定义域需满足-3≤2x-4≤2,解得≤x≤3, 即函数f(2x-4)的定义域为[,3]. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　1.求具体函数的定义域时,只需根据解析式列出关于自变量的不等式(组),然后求其解集即可. 2.求抽象函数的定义域的策略: (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出; (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在区间[a,b]上的值域. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练1](2026·北京人大附中高三检测)已知函数f(x)=,则f(x+1)的定义域为　　　 　　.  (-1,0)∪(0,1] 解析 要使函数有意义,需解得0<x<1或1<x≤2.所以函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2].所以需0<x+1<1或1<x+1≤2,即-1<x<0或0<x≤1.故函数f(x+1)的定义域为(-1,0)∪(0,1]. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点三　函数的解析式 例3　(1)已知f(x2+)=x4+,求f(x)的解析式; (2)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; (3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式; (4)若对任意实数x,均有f(x)-2f(-x)=9x+2,求f(x)的解析式. 解 (1)f(x2+)=x4+=(x2+)2-2,因为x2+≥2=2,当且仅当x2=,即x=±1时,等号成立.设t=x2+,则t≥2,所以f(t)=t2-2(t≥2),所以f(x)=x2-2(x≥2). (2)设1-sin x=t,t∈[0,2],则sin x=1-t,因为f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x, 所以f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2],即f(x)=2x-x2(0≤x≤2). 考点一 考点二 考点三 考点四 (3)因为f(x)是一次函数,设f(x)=ax+b(a≠0),所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b] =2x+17,即ax+(5a+b)=2x+17,所以解得所以f(x)=2x+7(x∈R). (4)因为f(x)-2f(-x)=9x+2①, 所以f(-x)-2f(x)=-9x+2②, 由①+2×②得-3f(x)=-9x+6, 所以f(x)=3x-2(x∈R). 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　求函数解析式的四种方法 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练2]求下列函数的解析式: (1)已知f(x)=x2+2x,求f(2x+1); (2)已知f(-1)=x+2,求f(x); (3)已知f(x)-2f()=3x+2,求f(x). 考点一 考点二 考点三 考点四 解 (1)因为f(x)=x2+2x,所以f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)=4x2+8x+3. (2)(方法1:配凑法)因为f(-1)=x+2+4(-1)+3,且-1≥-1,所以函数的解析式为f(x)=x2+4x+3(x≥-1). (方法2:换元法)令t=-1,则t≥-1,且=t+1,所以f(t)=(t+1)2+2(t+1)=t2+4t+3(t≥-1),故函数的解析式为f(x)=x2+4x+3(x≥-1). (3)f(x)-2f()=3x+2①, 用替换①式中的x,得f()-2f(x)=+2②, 由①②联立消去f(),得f(x)=-x--2,故函数的解析式为f(x)=-x--2. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点四　分段函数 考向1　分段函数求值问题 例4　(1)(2025·福建厦门期中)若函数f(x)=则f(f(-1))=(　　) A.- B.1 C. D.5 B 解析 由已知得f(-1)=(-1)2+1=2,所以f(f(-1))=f(2)==1.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2026·安徽合肥高三期中)已知函数f(x)=则满足f(f(a))=3的a的值为　　　　　.  -1 解析 因为f(x)=设t=f(a),当t>0时,f(t)=3t=3,解得t=1,即f(a)=1,若a>0,则3a=1,解得a=0,不符合题意,舍去;若a≤0,则a+2=1,解得a=-1,符合题意;当t≤0时,f(t)=t+2=3,解得t=1,不符合题意,舍去.综上,a=-1. 考点一 考点二 考点三 考点四 (3)(2025·河南濮阳模拟)已知函数f(x)=满足f(π)=1,则实数t的值为　　　　.  解析 f(π)=f(π-)+t=f()+t=f()+2t=f()+2t=f()+3t=f(0)+4t =sin 0+4t=4t=1, 所以t=. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　分段函数求值问题的求解策略 (1)已知自变量的值求函数值时,应先判断自变量的值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当求f(f(a))的值时,应由内到外依次求值; (2)若分段函数某一段的解析式形如f(x)=f(x-m)(m≠0)的形式,则应由此得出函数的周期,利用周期将自变量的值进行转化,然后代入另一段解析式求值; (3)已知函数值求自变量的值时,需要结合分段区间对自变量的值分类讨论,解方程求值,并注意求得的值需要满足自变量相应的取值范围,否则应舍去. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练3](1)(2025·安徽黄山二模)已知函数f(x)= 则f(-5)=　 .  0 解析 由f(x)=可得f(-5)=f(-5+3)=f(-2)=f(-2+3) =f(1)=log31=0. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2025·福建厦门三模)已知函数f(x)=若f(a)+f(-1)=2,则a=　　　　　.  8 解析 f(-1)=-(-1)2=-1,所以f(a)=3,因为当x≤0时,f(x)=-x2≤0,所以a>0,f(a)=log2a=3,解得a=8. 考点一 考点二 考点三 考点四 考向2　分段函数与不等式问题 例5　[一题多变]设函数f(x)=若f(a)≥0,则实数a的取值范围是　　　　　 .  (-∞,-2]∪[0,+∞) 解析 当a≤0时,f(a)=a2+2a,由f(a)≥0得a2+2a≥0,解得a≥0或a≤-2,所以a=0或a≤-2;当a>0时,f(a)=lg(a2+1),由f(a)≥0得lg(a2+1)≥0,解得a∈R,所以a>0.综上,实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[0,+∞). 考点一 考点二 考点三 考点四 AI变式 [变式1](改变不等式结构)本例中,函数解析式不变,将“f(a)≥0”改为 “f(a-1)≤3”,则实数a的取值范围是　　　 　　.  [-2,1+3] 解析 当a-1≤0,即a≤1时,f(a-1)=(a-1)2+2(a-1),由f(a-1)≤3,得(a-1)2+2(a-1)≤3,解得-2≤a≤2,所以-2≤a≤1;当a-1>0,即a>1时,f(a-1)=lg[(a-1)2+1],由f(a)≤3,得lg[(a-1)2+1]≤3,解得1-3≤a≤1+3,所以1<a≤1+3.综上可得实数a的取值范围是[-2,1+3]. 考点一 考点二 考点三 考点四 [变式2](将不等式改为嵌套形式)本例中,函数解析式不变,将“f(a)≥0”改为“f(f(m))<0”,则实数m的取值范围是　　　　　.  (-2,0) 解析 令f(m)=t,则“f(f(m))<0”即为“f(t)<0”.当t≤0时,f(t)=t2+2t,由f(t)<0,得t2+2t<0,解得-2<t<0,所以-2<t<0;当t>0时,f(t)=lg(t2+1),由f(t)<0,得lg(t2+1)<0,此不等式无解.综上可知-2<t<0,于是有-2<f(m)<0. 当m≤0时,f(m)=m2+2m,由-2<f(m)<0,得-2<m2+2m<0,解得-2<m<0, 所以-2<m<0;当m>0时,f(m)=lg(m2+1),由-2<f(m)<0,得-2<lg(m2+1)<0,此不等式无解. 综上可得实数m的取值范围是(-2,0). 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　解分段函数不等式的方法 对于分段函数f(x)=那么 (1)不等式f(x)>a的解集为不等式组的并集; (2)不等式f(g(x))>a的解集为不等式组的并集; (3)当解不等式f(f(x))>a时,先令f(x)=t,由f(t)>a求得t的取值范围,再根据f(x)=t求得x的取值范围; (4)若函数f(x)在定义域上是单调函数,则不等式f(g(x))>f(h(x))可通过单调性转化为g(x)>h(x)或g(x)<h(x)来求解. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练4](2025·湖北武汉期中)已知函数f(x)=若f(a+1)-f(2a-1)≥0,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[2,6] D.(,2] D 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 因为当x∈(0,2]时,f(x)=log2x单调递增, 此时f(x)≤f(2)=1,当x∈(2,+∞)时,f(x)=2x-3单调递增,此时f(x)>f(2)=1,所以f(x)=在区间(0,+∞)上单调递增,所以若f(a+1)-f(2a-1)≥0,即f(a+1)≥f(2a-1),则a+1≥2a-1>0,解得<a≤2.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点四 A B C D $