对数与对数函数专项训练 -2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以对数运算与函数性质为核心，通过分层题型系统整合概念辨析、性质应用及实际建模，突出逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念运算|3（选择1,8,9）|换底公式/对数性质|从定义到运算律，构建对数转化体系| |性质应用|4（选择3,4,5,7）|数形结合/分类讨论|单调性、奇偶性与值域的递进应用| |实际建模|1（选择2）|指数对数互化|数学建模解决衰减率问题| |综合探究|2（解答11,12）|参数分离/换元法|函数与不等式综合，强化逻辑推理|

3.6　对数与对数函数 一、 单选题 1 [2025厦门二模]已知0.3m＝2n＝0.4，则下列结论中正确的是(　　) A. mn<m＋n<0 B. m＋n<mn<0 C. m＋n<0<mn D. 0<mn<m＋n 2 [2025北京月考]深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：L＝L0D，其中，L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18.经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　) A. 71 B. 72 C. 73 D. 74 3 已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A. [2，3] B. [2，4] C. (1，4] D. [2，＋∞) 4 [2026苏州期初]设函数f(x)＝ln |x＋1|－ln |x－1|，则下列关于f(x)的说法中正确的是(　　) A. f(x)是偶函数，且在区间(1，＋∞)上单调递增 B. f(x)是奇函数，且在区间(－1，1)上单调递减 C. f(x)是偶函数，且在区间(－∞，－1)上单调递增 D. f(x)是奇函数，且在区间(－∞，－1)上单调递减 二、 多选题 5 [2025河北模拟]已知函数f(x)＝|ln (x－2)|，当 a>b时，f(a)＝f(b)，则下列结论中正确的是(　　) A. 2<b<3 B. (a－2)(b－2)＝e C. ab>9 D. a＋4b的最小值为14 6 若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则下列结论中错误的是(　　) A. a>2b B. a<2b C. a>b2 D. a<b2 7 已知函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a的取值可以是(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 三、 填空题 8 [2025天津期中]已知log34×log48×log8m＝7，则m＝________． 9 已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b).若f(x)在区间[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝________． 10 [2025如皋十校期中]已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时，均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0成立，若f(log3m)＋f(m)>2f(1)，则实数m的取值范围为________． 四、 解答题 11 [2025河南模拟]设a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(2x＋t)(t∈R). (1) 当t＝1时，求不等式2f(x)≤g(x)的解集； (2) 若函数h(x)＝af(x)＋tx2＋2t＋2在区间(1，3]上有零点，求实数t的取值范围． 12 已知函数f(x)＝log4为偶函数． (1) 求实数m的值； (2) 若f(x)＝log4g(x)，判断g(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用定义法给出证明； (3) 若f(x)≥log4(a·2x－a)在区间(1，2]上恒成立，求实数a的取值范围． 3．6　对数与对数函数 1. A　解析：由题意，得m＝log0.30.4，n＝log20.4.因为函数 y＝log0.3x在区间(0，＋∞)上单调递减，所以0＝log0.31<log0.30.4<log0.30.3＝1，即0<m<1.因为函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上单调递增，所以log20.4<log21＝0，即n<0，所以mn<0.因为＋＝＋＝log0.40.3＋log0.42＝log0.40.6，且log0.41<log0.40.6<log0.40.4，所以0<＋<1.因为＋＝，所以0<<1.又mn<0，所以m＋n<0，且m＋n>mn.综上，mn<m＋n<0. 2. D　解析：由题意，得0.4＝0.5×D，解得D＝0.8，所以L＝0.5×0.8.由L＝0.5×0.8<0.2，得0.8<0.4，所以G>18log0.80.4＝＝≈73.9，所以所需的训练迭代轮数至少为74. 3. B　解析：由函数f(x)在R上单调递增，得解得2≤a≤4，所以实数a的取值范围是[2，4]. 4. D　解析：由解得x≠－1且x≠1，则函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．因为f(－x)＝ln |－x＋1|－ln |－x－1|＝ln |x－1|－ln |x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故A，C错误；当x∈(－1，1)时，f(x)＝ln (x＋1)－ln (1－x)＝ln ＝ln (－1)，易得函数f(x)在区间(－1，1)上单调递增，故B错误；当x∈(－∞，－1)时，f(x)＝ln (－x－1)－ln (1－x)＝ln ＝ln ，易得函数f(x)在区间(－∞，－1)上单调递减，故D正确． 5. ACD　解析：对于A，f(x)＝|ln (x－2)|的图象是将y＝|ln x|的图象向右平移2个单位长度得到，如图，易得2<b<3，故A正确；对于B，因为f(a)＝ln (a－2)＝f(b)＝－ln (b－2)，所以ln (a－2)＋ln (b－2)＝0，即(a－2)(b－2)＝1，故B错误；对于C，由B可知(a－2)(b－2)＝1，即ab＋3＝2(a＋b)≥4，解得≥3，当且仅当a＝b时，等号成立．又a>b，所以ab>9，故C正确；对于D，a＋4b＝a－2＋4(b－2)＋10≥10＋2＝14，当且仅当a－2＝4(b－2)，即a＝4，b＝时，等号成立，所以a＋4b的最小值为14，故D正确．故选ACD. 6. ACD　解析：设f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．因为2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b，所以f(a)－f(2b)＝2a＋log2a－(22b＋log22b)＝22b＋log2b－(22b＋log22b)＝log2＝－1<0，所以f(a)<f(2b)，所以a<2b，故A错误，B正确；由题意，得f(a)－f(b2)＝2a＋log2a－(2b2＋log2b2)＝22b＋log2b－(2b2＋log2b2)＝22b－2b2－log2b，当b＝1时，f(a)－f(b2)＝2>0，则f(a)>f(b2)，此时a>b2；当b＝2时，f(a)－f(b2)＝－1<0，则f(a)<f(b2)，此时a<b2，故C，D错误．故选ACD. 7. AB　解析：如图，作出函数y＝log4x和y＝(x－3)2的图象，由图可知，若a>4，则当x<a时，f(x)∈(－∞，log4a)，当x≥a时，f(x)∈[(a－3)2，＋∞)，其中log4a<(a－3)2，故f(x)的值域为(－∞，log4a)∪[(a－3)2，＋∞)，不符合题意，舍去；若a＝3，易得当x∈(0，a)时，f(x)∈(－∞，log43)，当x∈[a，＋∞)时，f(x)∈[0，＋∞)，此时log43>0，故f(x)的值域为R，符合题意；若a＝4，易得当x∈(0，a)时，f(x)∈(－∞，1)，当x∈[a，＋∞)时，f(x)∈[1，＋∞)，故f(x)的值域为R，符合题意．综上，实数a的取值可以是3或4，不能是5或6.故选AB. 8. 　解析：因为log34×log48×log8m＝log7，所以由换底公式可得××＝，即＝，即lg m＝－lg 7＝lg ，故m＝. 9. 4　解析：如图，画出f(x)＝|log2x|的图象．因为f(a)＝f(b)，且0<a<b，所以0<a<1，b>1，且ab＝1，所以a2<a.由图可知f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，所以a＝，所以b＝2，所以＋b＝4. 10. ∪(3，＋∞)　解析：由题意，得f(x)在区间(－∞，0]上单调递减．又函数f(x)为R上的偶函数，所以f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．由f(log3m)＋f(m)>2f(1)，得f(log3m)＋f(－log3m)>2f(1)，所以f(|log3m|)>f(1)，所以|log3m|>1，即log3m<－1或log3m>1，解得0<m<或m>3，所以实数m的取值范围为∪(3，＋∞). 11. (1) 当t＝1时，不等式2f(x)≤g(x)可化为2loga(x－1)≤loga(2x＋1)， 若0<a<1，则解得x≥4， 所以不等式2f(x)≤g(x)的解集为[4，＋∞)； 若a>1，则解得1<x≤4， 所以不等式2f(x)≤g(x)的解集为(1，4]. 综上，当0<a<1时，不等式2f(x)≤g(x)的解集为[4，＋∞)；当a>1时，不等式2f(x)≤g(x)的解集为(1，4]. (2) 由题意，得h(x)＝aloga(x－1)＋tx2＋2t＋2＝tx2＋x＋2t＋1. 令tx2＋x＋2t＋1＝0，即t(x2＋2)＝－(x＋1). 因为x∈(1，3]，所以x＋1∈(2，4]， 所以t≠0，x2＋2≠0， 所以＝－. 设m＝x＋1∈(2，4]， 则＝－＝－＋2. 因为函数y＝－＋2在区间(2，4]上单调递减， 所以－≤<－， 所以－<t≤－. 故实数t的取值范围是. 12. (1) 因为函数f(x)＝log4为偶函数， 所以f(x)＝f(－x), 即log4＝log4，即＝， 即(m－1)(4x－1)＝0恒成立， 所以m＝1， 所以f(x)＝log4，其定义域为R，关于原点对称． 故实数m的值为1. (2) 由题意，得f(x)＝log4＝log4＝log4(2x＋)＝log4g(x). 因为函数y＝log4x在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以g(x)＝2x＋. 不妨设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则g(x2)－g(x1)＝－＝(2x2－2x1)(1－). 因为x1<x2，所以2x2－2x1>0. 又x1，x2∈(0，＋∞)，所以2x2＋x1>1， 所以1－>0，故g(x2)－g(x1)>0， 所以函数g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． (3) 由题意，得log4≥log4(a·2x－a)在区间(1，2]上恒成立，即≥a·2x－a在区间(1，2]上恒成立． 因为x∈(1，2]，所以1<2x－1≤3， 所以a≤1＋在区间(1，2]上恒成立． 设h(x)＝1＋，令t＝2x＋1(3<t≤5)， 则h(t)＝1＋＝1＋. 因为y＝t＋－3在区间(3，5]上单调递增， 所以函数h(t)在区间(3，5]上单调递减， 故h(t)min＝h(5)＝. 所以a≤. 因为a·2x－a>0对任意的x∈(1，2]恒成立，且1<2x－1≤3， 所以a>0. 故实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $