函数的图象专项训练 -2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数图象核心素养，通过精选典例系统整合图象识别、性质应用与数形结合方法，构建从概念到应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象识别|单选1-2|奇偶性+特殊值分析|解析式特征与图象形态对应| |性质应用|多选5-7|平移变换+对称性判断|函数性质推导与图象变换规律| |综合应用|解答11-12|数形结合+分类讨论|多知识点交叉应用与问题转化|

3.7　函数的图象 一、 单选题 1 [2025天津卷]已知函数y＝f(x)的图象如下，则f(x)的解析式可能为(　　) A. f(x)＝ B. f(x)＝ C. f(x)＝ D. f(x)＝ 2 [2025宁德月考]已知函数y＝f(2x－1)的图象关于点(1，－1)对称，则下列函数中是奇函数的是(　　) A. y＝f(2x)＋1 B. y＝f(2x＋1)＋1 C. y＝f(2x)－1 D. y＝f(2x＋1)－1 3 [2025长春外国语学校期中]定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设h(x)＝max，则h(x)的最小值为(　　) A. B. 4 C. 0 D. 4 [2025广州一模]已知实数a，b满足3a＝4b，则下列不等式可能成立的是(　　) A. b<a<0 B. 2b<a<0 C. 0<a<b D. 0<2b<a 二、 多选题 5 下列说法中，正确的是(　　) A. 将函数y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝f(－x－1)的图象，二者值域相同 B. 若函数y＝|x2－2x|＋a－1的图象与函数y＝2a＋1的图象有两个交点，则实数a的取值范围是(1，＋∞) C. 若幂函数f(x)＝xα(α∈R)的图象经过点，则函数f(x)为奇函数，且是定义域上的减函数 D. 若函数f(x)＝x3＋x＋1的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，则g(x)＝(2－x)3－x＋3 6 [2025重庆十一中期中]已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，其图象上任意一点P(x，y)满足|x|＋|y|＝1，则下列说法中正确的是(　　) A. 函数y＝f(x)可以是奇函数 B. 函数y＝f(x)一定是偶函数 C. 函数y＝f(x)可能既不是偶函数，也不是奇函数 D. 若函数y＝f(x)的值域是(－1，1)，则y＝f(x)一定是奇函数 7 已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2和g(x)＝ln x＋x－2的零点，则下列结论中正确的是(　　) A. x1＋x2＝2 B. ex1＋ln x2＝2 C. x1x2> D. x＋x<3 三、 填空题 8 若关于x的不等式2logax>(x－1)2恰有1个整数解，则实数a的取值范围是________． 9 已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，且f(x)＝则方程3f(x)＝x的实数解的个数为________． 10 [2025北京景山学校远洋分校期中]设a>0，b>0，已知函数f(x)＝的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．给出下列四个结论：①“囧函数”在区间(0，＋∞)上单调递增；②“囧函数”的图象关于y轴对称；③“囧函数”有两个零点；④“囧函数”的图象与直线y＝kx＋b(k≠0)的图象至少有一个交点．其中正确的是________．(填序号) 四、 解答题 11 [2025红河月考]已知函数f(x)的解析式为f(x)＝ (1) 画出这个函数的图象，并写出f(x)的最大值； (2) 解不等式f(x)<2； (3) 若直线y＝k(k为常数)与函数f(x)的图象有两个公共点，直接写出实数k的取值范围． 12 已知函数f(x)＝，其中a∈R. (1) 当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求实数a的值； (2) 若函数f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围； (3) 若a＝2，求函数f(x)在区间(－∞，－2)上的值域． 3．7　函数的图象 1. D　解析：由图可知函数为偶函数．由于函数f(x)＝和函数f(x)＝为奇函数，故排除A，B；当x∈(0，1)时，1－x2>0，x2－1<0，此时f(x)＝>0，f(x)＝<0，由图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0，故C不符合，D符合． 2. B　解析：因为函数y＝f(2x－1)的图象关于点(1，－1)对称，所以将函数图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，可以得到函数y＝f[2(x＋1)－1]＋1，其图象关于原点对称，即y＝f(2x＋1)＋1的图象关于原点对称，所以函数y＝f(2x＋1)＋1为奇函数． 3. D　解析：如图，分别作出y＝x2，y＝x，y＝6－x的图象，则函数h(x)的图象为图中实线部分．由图象，得函数h(x)的最低点为A，由 解得即点A的坐标为，所以h(x)的最小值为. 4. B　解析：方法一：设函数f(x)＝3x，g(x)＝4x，h(x)＝2x，作出函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图1所示，设3a＝4b＝t.对于A，当0<t<1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象交点的横坐标为a1，b1，由图象可知，a1<b1<0，故A错误；对于C，当t>1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象交点的横坐标分别为a2，b2，由图象可知，0<b2<a2，故C错误；因为3a＝4b，所以3a＝22b，设3a＝22b＝t，作出函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象如图2所示，对于B，当0<t<1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象交点的横坐标分别为a3，2b3，由图象可知，2b3<a3<0，故B正确；对于D，当t>1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象交点的横坐标分别为a4，2b4，由图象可知，0<a4<2b4，故D错误． 图1 图2 方法二(指对互化)：令3a＝4b＝t，则a＝log3t＝，b＝log4t＝，所以2b＝.若a，b均小于0，则0<t<1，即ln t<0.因为>>，所以<<，即2b<a<b<0.若a，b均大于0，则t>1，即ln t>0.又>>，所以>>，即2b>a>b>0.综上，只有B符合． 5. AD　解析：对于A，将函数y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝f[－(x＋1)]＝f(－x－1)的图象，左右平移不改变函数的值域，故二者值域相同，故A正确；对于B，令|x2－2x|＋a－1＝2a＋1，得|x2－2x|＝a＋2.令h(x)＝|x2－2x|＝作出h(x)的图象如图所示．由题意，得y＝h(x)与y＝a＋2的图象有两个交点，则a＋2＝0或a＋2>1，解得a＝－2或a>－1，故B错误；对于C，因为幂函数f(x)＝xα(α∈R)的图象经过点，所以＝2，解得α＝－，所以f(x)＝x－＝，定义域为{x|x≠0}．又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)＝x－为奇函数，且在区间(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递减，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以f(x)在定义域内不具有单调性，故C错误；对于D，函数f(x)＝x3＋x＋1的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，则g(x)＝f(2－x)＝(2－x)3＋(2－x)＋1＝(2－x)3－x＋3，故D正确．故选AD. 6. AD　解析：由f(x)的定义域是[－1，0)∪(0，1]，得当x≠0时，由|x|＋|y|＝1，得|y|＝1－|x|≠1，所以y≠±1；当x＝±1时，由|x|＋|y|＝1，得|y|＝1－|x|＝0，所以y＝0；当时，－x＋y＝1，即y＝x＋1；当时，－x－y＝1，即y＝－x－1；当时，x＋y＝1，即y＝－x＋1；当时，x－y＝1，即y＝x－1；所以f(x)的图象有如下四种情况，根据图象知A，D正确，B，C错误．故选AD. 　　　 　　　 7. ABD　解析：因为x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，所以ex1＝2－x1，ln x2＝2－x2，则x1，x2可以看作函数y＝ex和y＝ln x与函数y＝2－x图象交点的横坐标．如图，A，C，B分别为函数y＝ex，y＝x，y＝ln x的图象与函数y＝2－x图象的交点，所以点C(1，1).因为函数y＝ex和y＝ln x互为反函数，所以函数图象关于直线y＝x的图象对称．又直线y＝2－x与直线y＝x互相垂直，所以点A(x1，ex1)和点B(x2，ln x2)关于点C(1，1)对称，所以x1＋x2＝2，ex1＋ln x2＝2，故A，B正确；由反函数的性质，得x2＝ex1，因为f(x)＝ex＋x－2单调递增，f＝－>0，所以0<x1<，所以x1x2＝x1ex1<×e＝，故C错误；当x＝时，函数y＝ex对应的函数值为，函数y＝2－x对应的函数值为.因为()3<＝，所以<，所以f()＝－<0，所以<x1<，所以x＋x＝x＋(2－x1)2＝2x－4x1＋4∈，而<3，所以x＋x<3，故D正确．故选ABD. 8. [，4)　解析：当0<a<1时，作出y＝2logax和y＝(x－1)2的图象，如图1.由图象可知，2logax>(x－1)2没有整数解，不符合题意；当a>1时，作出y＝2logax和y＝(x－1)2的图象，如图2.因为2logax>(x－1)2恰有1个整数解，所以x＝2是不等式的整数解，所以解得≤a<4，故实数a的取值范围是[，4). 图1　 图2 9. 5　解析：由f(x＋2)＝f(x－2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的一个周期为4.又f(x)＝所以f(8)＝f(0)＝2cos 0＝2，且f(x)的图象如图所示，所以方程3f(x)＝x的实数解即为函数f(x)与直线y＝x图象的交点横坐标，且当x>8时，y＝x>>2.由图可知两图象的交点个数为5，即方程3f(x)＝x的实数解的个数为5. 10. ②④　解析：因为f(x)＝的定义域{x|x≠±a}，且f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，则“囧函数”的图象关于y轴对称，故②正确；当a＝b＝1时，f(x)＝，令t＝|x|－1，x≠±1，则f(t)＝，t≠0.因为t＝|x|－1在区间(0，1)和(1，＋∞)上单调递增，f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝在区间(0，1)和(1，＋∞)上单调递减，故①错误；结合f(x)＝为偶函数可作出函数的图象如图所示，显然f(x)＝0无解，所以 “囧函数”没有零点，故③错误；当x>a时，|x|－a>0，所以f(x)>0，当0<x<a时，|x|－a<0，所以f(x)<0.又f(x)为偶函数，所以f(x)＝在四个象限都有图象，其图象可将如图所示的图象中x≠±1换为x≠±a，所以“囧函数”的图象与直线y＝kx＋b(k≠0)的图象至少有一个交点，故④正确．综上，正确的有②④. 11. (1) 画出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，当x＝2时，f(x)取得最大值4. (2) 当x≤－1时，x＋2≤1，所以f(x)<2恒成立； 当－1<x≤2时，由x2<2，解得－<x<， 所以－1<x<； 当x>2时，由－x＋6<2，解得x>4，所以x>4. 综上，所求不等式的解集为{x|x<或x>4}． (3) 由图可知，若直线y＝k与y＝f(x)的图象有2个交点， 则k<0或1<k<4， 即实数k的取值范围为(－∞，0)∪(1，4). 12. (1) 因为 “函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称”的充要条件为“函数y＝f(x＋a)－b是奇函数”， 所以当f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时， y＝f(x－1)－3＝－3＝(a－3)＋是奇函数， 所以a－3＝0，解得a＝3， 故实数a的值为3. (2) 因为函数f(x)＝＝＝a＋， 所以当f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递减时，有2－2a>0， 解得a<1， 故实数a的取值范围是(－∞，1). (3) 当a＝2时，f(x)＝＝2－， 则函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增， 所以2<f(x)<2－，即2<f(x)<4， 所以函数f(x)在区间(－∞，－2)上的值域是(2，4). 学科网（北京）股份有限公司 $