第15讲 对数函数的图象与性质 课时作业-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦对数函数核心素养，分层设计基础与提升训练，系统覆盖概念、性质及综合应用 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A组基础保分练|9题|定义域求解、图像识别、单调性判断、大小比较等基础题型|从对数函数概念生成到性质应用，构建"概念-图像-性质"逻辑链条，培养数学抽象与几何直观| |B组能力提升练|2题|综合比较、含参函数性质探究等复杂题型|从单一性质到多知识点综合，通过问题链设计发展推理能力与数学表达，体现数学思维的逻辑性|

[A组　基础保分练] 1.函数y=的定义域为 (　　) A.[1,+∞)　　　　　　　 B.[,1] C.(,1] D.(0,] 答案:C 解析:函数y=<x≤1, 故函数的定义域为(,1]. 2.已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),则y=f(|x|-1)的图象可能是 (　　) 答案:B 解析:令g(x)=f(|x|-1)=loga(|x|-1),因为g(-x)=loga(|-x|-1)=g(x),所以g(x) 为偶函数,排除A,D;当x=3时,g(3)=loga(|3|-1)=loga2,当x= 时,g()=loga(||-1)=-loga2,所以x=3与x= 对应的函数值异号,排除C. 3.若函数f(x)=4+log2x在区间[1,a]上的最大值为6,则a= (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案:B 解析:因为函数f(x)=4+log2x在定义域(0,+∞)上单调递增,又函数f(x)在区间[1,a]上的最大值为6,所以f(a)=4+log2a=6,即log2a=2,所以a=22=4. 4.设a=log32,b=log96,c=,则 (　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c 答案:D 解析:因为b=log96=lo()2=log3,且c==log3, 又函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,<2<, 则log3<log32<log3,所以c<a<b. 5.若lo0.8<lo0.8<0,则x1与x2的关系正确的是 (　　) A.0<x2<x1<1 B.0<x1<x2<1 C.1<x1<x2 D.1<x2<x1 答案:C 解析:因为lo0.8<lo0.8<0, 所以log0.8x2<log0.8x1<0=log0.81. 又因为y=log0.8x在(0,+∞)上单调递减, 所以1<x1<x2. 6.(多选)已知函数f(x)=ln,下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的定义域为(-1,1) B.f(x)为奇函数 C.f(x)在定义域上是增函数 D.f(x)的值域为(0,+∞) 答案:AB 解析:对于选项A,由>0,解得-1<x<1,即f(x)的定义域为(-1,1),所以A正确;对于选项B,f(-x)=ln=-ln=-f(x),即f(x)为奇函数,所以B正确;对于选项C,f(x)=ln=ln(-)=ln(-1+),y=-1+在(-1,1)上单调递减,根据复合函数的单调性可知,f(x)在定义域上是减函数,所以C不正确;对于选项D,因为f(x)的定义域为(-1,1),所以-1+∈(0,+∞),所以ln(-1+)∈(-∞,+∞),所以D不正确. 7.(多选)(2026·湖北孝感模拟)已知函数f(x)=loga|x-1|在区间(-∞,1)上单调递增,则 (　　) A.0<a<1 B.a>1 C.f(a+2 026)>f(2 027) D.f(a+2 026)<f(2 027) 答案:AC 解析:f(x)=loga|x-1|的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞). 设z=|x-1|,可得函数z=|x-1|在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性可得0<a<1,故A正确,B错误; 由0<a<1,可得2 026<a+2 026<2 027, 又f(x)在(1,+∞)上单调递减, 则f(a+2 026)>f(2 027),故C正确,D错误. 8.函数f(x)=ln x+ln(4-x)的单调递增区间为　　　　.  答案:(0,2) 解析:由题意得4-x>0且x>0,所以0<x<4,可知函数f(x)的定义域为(0,4). f(x)=ln x+ln(4-x)=ln(-x2+4x),令u=-x2+4x,则u=-x2+4x在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减.又y=ln u在定义域内单调递增, 所以根据复合函数单调性知,函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2). 9.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为　　　　.  答案:2 解析:由已知得f(x)=1+, 因为ln(+x)+ln[+(-x)]=ln 1=0, 所以ln[+(-x)]=-ln(+x), 易知函数y=ln(+x)的定义域为R,因此函数y=ln(+x)是奇函数. 令g(x)=,则g(-x)==-g(x),所以g(x)为奇函数, 则g(x)的最大值M1和最小值N1满足M1+N1=0. 因为M=M1+1,N=N1+1,所以M+N=2. [B组　能力提升练] 10.(2025·全国一卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能为 (　　) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 答案:B 解析:设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m,令m=2,则x=1,y=3-1=,z=5-3=,此时x>y>z,A有可能; 令m=5,则x=8,y=9,z=1,此时y>x>z,C有可能; 令m=8,则x=26=64,y=35=243,z=53=125,此时y>z>x,D有可能. 11.已知函数f(x)=log2(x2-ax+1). (1)若f(x)为偶函数,求a的值; (2)若f(x)在(2,4)上单调递增,求a的取值范围; (3)设g(x)=4x-2x+1,若对于任意x1∈(0,1),存在x2∈[-1,1],使得不等式f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围. 解:(1)∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即log2(x2+ax+1)=log2(x2-ax+1). 又∵函数y=log2x是增函数, ∴x2+ax+1=x2-ax+1,即得2ax=0对于函数f(x)定义域内任意的x都成立, ∴a=0. (2)令t=x2-ax+1,则y=log2t. ∵函数y=log2t在(0,+∞)上是增函数,且f(x)在(2,4)上单调递增, ∴函数t=x2-ax+1在(2,4)上单调递增, 且t>0在(2,4)上恒成立,∴解得a≤. 故a的取值范围为(-∞,]. (3)∵对于任意x1∈(0,1),存在x2∈[-1,1],使得不等式f(x1)≥g(x2)成立,∴f(x)≥g(x)min. ∵g(x)=4x-2x+1=(2x)2-2×2x, 令u=2x,x∈[-1,1],∴y=u2-2u,u∈[,2]. 又∵二次函数y=u2-2u的图象开口向上,对称轴为直线u=1, ∴当u=1时,函数y=u2-2u有最小值-1,故当x∈[-1,1]时,g(x)min=-1. ∴f(x)≥-1对于任意x∈(0,1)恒成立,即x2-ax+1≥对于任意x∈(0,1)恒成立, 故a≤x+对于任意x∈(0,1)恒成立. 又∵由基本不等式可得x+≥,当且仅当x=时等号成立, ∴a≤ ,故a的取值范围为(-∞,]. 学科网（北京）股份有限公司 $ [A组　基础保分练] 1.函数y=的定义域为 (　　) A.[1,+∞)　　　　　　　 B.[,1] C.(,1] D.(0,] 2.已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),则y=f(|x|-1)的图象可能是 (　　) 3.若函数f(x)=4+log2x在区间[1,a]上的最大值为6,则a= (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 4.设a=log32,b=log96,c=,则 (　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c 5.若lo0.8<lo0.8<0,则x1与x2的关系正确的是 (　　) A.0<x2<x1<1 B.0<x1<x2<1 C.1<x1<x2 D.1<x2<x1 6.(多选)已知函数f(x)=ln,下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的定义域为(-1,1) B.f(x)为奇函数 C.f(x)在定义域上是增函数 D.f(x)的值域为(0,+∞) 7.(多选)(2026·湖北孝感模拟)已知函数f(x)=loga|x-1|在区间(-∞,1)上单调递增,则 (　　) A.0<a<1 B.a>1 C.f(a+2 026)>f(2 027) D.f(a+2 026)<f(2 027) 8.函数f(x)=ln x+ln(4-x)的单调递增区间为　　　　.  9.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为　　　　.  [B组　能力提升练] 10.(2025·全国一卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能为 (　　) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 11.已知函数f(x)=log2(x2-ax+1). (1)若f(x)为偶函数,求a的值; (2)若f(x)在(2,4)上单调递增,求a的取值范围; (3)设g(x)=4x-2x+1,若对于任意x1∈(0,1),存在x2∈[-1,1],使得不等式f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $