函数与方程 练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数与方程核心问题，以题载法构建“概念-性质-应用”逻辑链，融合代数推理与数形结合，培养数学思维与问题转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|单选1-2、填空8|零点存在性定理、奇函数性质|从函数零点概念出发，结合单调性分析零点分布| |性质应用|多选5-7、填空9-10|二分法、周期性、参数分类讨论|通过函数性质（奇偶、周期）转化方程问题，建立数与形的联系| |综合解答|解答11-12|单调性定义证明、方程有解转化|整合函数单调性与方程求解，培养数学语言表达与逻辑推理能力|

3.8　函数与方程 一、 单选题 1 [2025北京八一学校期中]已知函数f(x)＝－x2，则函数f(x)的零点所在区间为(　　) A. (－1，0) B. (0，1) C. (1，2) D. (2，3) 2 已知函数f(x)＝有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是(　　) A. (0，＋∞) B. (－1，＋∞) C. (－1，0) D. [－1，1] 3 已知函数f(x)＝当≤m<时，方程f(x)＝－x＋m的根的个数为(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4 已知函数f(x)满足f(x)－2f(－x)＝sin x＋tan x，若函数f(x)在区间[－3π，4π]上的零点为x1，x2，…，xn，则x1＋x2＋…＋xn的值为(　　) A. 2π B. 4π C. 6π D. 8π 二、 多选题 5 设h(x)＝2x＋log2(x＋1)－2，某同学用二分法求方程h(x)＝0的近似解(精确度为0.5)，列出了对应值表如下： x －0.5 0.125 0.437 5 0.75 2 h(x) －2.29 －0.74 －0.12 0.49 3.58 依据此表格中的数据，方程的近似解x0不可能为(　　) A. x0＝－0.125 B. x0＝0.375 C. x0＝0.525 D. x0＝1.5 6 [2025淮安月考]设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则下列说法中正确的是(　　) A. f(b)＝－3 B. f(－3)＝13 C. f(x)在区间(－∞，0)上单调递减 D. 函数f(x)仅有一个零点 7 已知函数f(x)＝a<b<c<d，且f(a)＝f(b)＝f(d)<f(c)，则下列说法中正确的是(　　) A. a≤－1 B. c∈[1，4] C. 2ad∈(0，5) D. 2a＋2b＝2 三、 填空题 8 [2025绵阳月考]函数f(x)＝－2sin x(－4≤x≤4，且x≠0)的所有零点的和为________． 9 [2025济南月考]已知a>0且a≠1，函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－5f(x)＋6＝0恰有3个不相等的实数解，则实数a的取值范围是________． 10 [2025南通月考]若函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是________． 四、 解答题 11 [2025山西开学考试]已知函数f(x)＝log2(a>0)的图象的对称中心为(2，0). (1) 求实数a的值； (2) 用函数单调性的定义证明f(x)在其定义域上单调递减； (3) 若方程f(x)＝4x－2x+1＋m在区间(0，2]上有解，求实数m的取值范围． 12 已知f(x)＝为奇函数． (1) 判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的判断； (2) 若关于x的方程2f2(x)－(2m＋1)|f(x)|＋m＝0有8个不同的解，求实数m的取值范围． 3．8　函数与方程 1. C　解析：如图，作出y＝x2与y＝的图象，它们只有一个交点，即f(x)＝－x2有且只有一个零点．又因为f(1)＝7－1＝6>0，f(2)＝－4＝－<0，所以f(1)f(2)<0，且f(x)在区间(1，2)上是连续函数，故f(x)的零点在区间(1，2)内． 2. C　解析：当x>0时，f(x)＝log2x－x，则f′(x)＝－＝，由f′(x)>0，得0<x<；由f′(x)<0，得x>，所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．又2<<4，且f(2)＝log22－×2＝0，f(4)＝log24－×4＝0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上有两个零点2和4.因为函数f(x)有且仅有4个零点，所以函数f(x)＝ax2－2x－1，x≤0有两个不同零点，设为x1，x2，则即解得－1<a<0，即实数a的取值范围是(－1，0). 3. D　解析：当x≥0时，f(x)＝f(x－2)，即f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.画出函数f(x)的图象．令－x＋m＝0，则x＝8m.又因为≤m<，所以4≤8m<6.易知方程f(x)＝－x＋m的根的个数即为函数y＝f(x)与y＝－x＋m的图象交点的个数．由图可知，当x＝0时，20＝1>m>2-2，当x＝－1时，－x＋m＝＋m>2-1，所以在区间(－1，0)上两函数的图象有一个交点；当x＝2时，≤m－<<20，所以在区间(0，2)上两函数的图象有一个交点；当x＝4时，0≤m－<<20，所以在区间(2，4)上两函数的图象有一个交点；当x>4时，－x＋m<2-2＝恒成立，所以两函数的图象无交点．综上，两函数的图象共有三个交点，即方程f(x)＝－x＋m的根的个数为3. 4. B　解析：由f(x)－2f(－x)＝sin x＋tan x①，得f(－x)－2f(x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x②，由①②，得f(x)＝(sin x＋tan x).易知f(x)为奇函数，则f(x)的图象关于原点对称，所以函数y＝f(x)在区间[－3π，3π]上的零点也关于原点对称，和为0，所以在区间(3π，4π]上的零点和即为区间[－3π，4π]上的零点和．令f(x)＝0，得sin x＝－tan x，x∈(3π，4π].作出函数y＝sin x和y＝－tan x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．易知y＝f(x)在x∈(3π，4π]上的零点为4π，故f(x)在区间[－3π，4π]上的所有零点之和为4π. 5. ABD　解析：因为h(x)＝2x＋log2(x＋1)－2是定义域上的增函数，且h(0.437 5)·h(0.75)<0，所以h(x)＝0的解在区间(0.437 5，0.75)内，结合选项可知，x0可能为0.525，故选ABD. 6. AD　解析：对于A，因为f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b，所以f(0)＝20＋b＝0，解得b＝－1，所以f(x)＝2x＋2x－1，则f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2－1)＝－3，故A正确；对于B，由题意，得f(－3)＝－f(3)＝－(23＋2×3－1)＝－13，故B错误；对于C，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，因为函数y＝2x和y＝2x－1在区间[0，＋∞)上均单调递增，所以f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．又因为f(x)为R上的奇函数，所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，故C错误；对于D，因为f(0)＝0，且f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在R上仅有一个零点，故D正确．故选AD. 7. BCD　解析：画出函数f(x)的图象，由图象可知a<0，0<b<1，d∈(4，5)，故A错误；又b<c<d，所以c∈[1，4]，故B正确；因为|2a－1|＝5－d，所以1－2a＝5－d，所以2a＝d－4，所以2ad＝d(d－4).设g(d)＝2ad＝d(d－4)＝d2－4d，d∈(4，5)，由二次函数的性质，得g(d)在区间(4，5)上单调递增，故0<g(d)<5，故C正确；因为|2a－1|＝|2b－1|，所以1－2a＝2b－1，所以2a＋2b＝2，故D正确．故选BCD. 8. 0　解析：由f(x)＝0，得＝2sin x．易知函数y＝和函数y＝2sin x 都为奇函数．在同一平面直角坐标系中画出两函数在区间[－4，0)∪(0，4]内的图象如图所示，可得点A与C，点B与D都关于坐标原点成中心对称，所以函数f(x)＝－2sin x(－4≤x≤4且x≠0)的所有零点的和为0. 9. (2，3]　解析：由f2(x)－5f(x)＋6＝0，解得f(x)＝2或f(x)＝3.当x≥1时，f(x)＝2x，由f(x)＝2，解得x＝1，由f(x)＝3，解得x＝log23；当x<1时，f(x)＝ax，此时方程f2(x)－5f(x)＋6＝0只有1个实数解．若0<a<1，则f(x)＝ax在区间(－∞，1)上单调递减，f(x)∈(a，＋∞)，此时f(x)＝2和f(x)＝3都有解，不符合题意；若a>1，则f(x)＝ax在区间(－∞，1)上单调递增，f(x)∈(0，a)，则2<a≤3.故实数a的取值范围是(2，3]. 10. (3，27)　解析：由题意，得f′(x)＝3x2－k.因为f(x)在区间(－3，－1)上不单调，所以f′(x)在区间(－3，－1)内有零点．又f′(x)＝3x2－k在区间(－3，－1)上单调递减，所以f′(x)＝0在区间(－3，－1)上最多只有1个根，所以f′(－3)f′(－1)<0，即(27－k)(3－k)<0，解得3<k<27.故实数k的取值范围是(3，27). 11. (1) 由题意，得f(x)＋f(4－x)＝0， 即log2＋log2＝0， 即·＝1， 整理，得a(a－4)＋4x－x2＝4x－x2， 所以a(a－4)＝0(a>0)，解得a＝4. 经检验，a＝4符合题意． 故实数a的值为4. (2) 由(1)知，f(x)＝log2， 令>0，解得0<x<4. 不妨设x1<x2，x1，x2∈(0，4)， 则f(x1)－f(x2)＝log2－log2＝log2. 易知4x1<4x2，所以4x1－x1x2<4x2－x1x2. 又x1，x2∈(0，4)，所以0<4x1－x1x2<4x2－x1x2， 可知>1， 即f(x1)－f(x2)＝log2>0， 故f(x)在定义域(0，4)上单调递减． (3) 若方程f(x)＝4x－2x+1＋m在区间(0，2]上有解， 则函数y＝f(x)－4x＋2x+1(x∈(0，2])与y＝m的图象有交点． 在y＝－4x＋2x+1中，设2x＝t，则t∈(1，4]， 可得y＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1， 显然当t∈(1，4]时，该函数单调递减． 又t＝2x单调递增， 所以根据复合函数的单调性知，y＝－4x＋2x+1在区间(0，2]上单调递减， 结合(2)的结论，得y＝f(x)－4x＋2x+1(x∈(0，2])单调递减， 所以y≥f(2)－8＝－8. 又当x→0时，y→＋∞， 所以m≥－8. 故实数m的取值范围为[－8，＋∞). 12. (1) 因为函数f(x)＝为奇函数，且定义域为R， 所以f(0)＝＝0，解得a＝0， 所以f(x)＝. 当a＝0时，f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)， 所以函数f(x)＝为奇函数． f(x)＝在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．证明如下： 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝＝， 当x1，x2∈(0，1)时，x1x2－1<0，x2－x1>0，(x＋1)(x＋1)>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)＝在区间(0，1)上单调递增； 当x1，x2∈(1，＋∞)时，x1x2－1>0，x2－x1>0，(x＋1)(x＋1)>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减． (2) 因为2f2(x)－(2m＋1)|f(x)|＋m＝0， 所以2|f(x)|2－(2m＋1)|f(x)|＋m＝0， 即(|f(x)|－m)(2|f(x)|－1)＝0， 解得|f(x)|＝或|f(x)|＝m. 由(1)可作出|f(x)|的图象如图所示． 由图可知|f(x)|＝有4个解， 所以要使关于x的方程2f2(x)－(2m＋1)|f(x)|＋m＝0有8个不同的解， 则|f(x)|＝m有4个不同的解， 可得0<m<2且m≠， 即实数m的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $