第17讲 函数与方程 课时作业-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数零点专项，通过基础与提升分层训练，覆盖零点判断、二分法应用及性质综合，构建从概念到综合应用的递进逻辑，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础保分练|10题|含二分法适用性判断、零点个数、区间定位及简单参数计算|从零点定义、二分法原理到基本应用，形成概念→方法→简单应用的逻辑链| |能力提升练|3题|涉及不同函数零点比较、性质综合及多零点参数讨论|深化至函数性质（奇偶性、单调性）与零点的关联，构建综合应用逻辑|

[A组　基础保分练] 1.下列函数的图象均与x轴有交点,其中不宜用二分法求函数零点的是 (　　) 2.函数f(x)=的零点个数为(　　) A.1个　　　　　　　　　　 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2026·湖北十堰模拟)函数f(x)=x+ln x-4的零点所在的区间是 (　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 4.某同学用二分法求函数f(x)=ex+x-5的零点时,用计算器算得部分函数值如下表所示: f(1)≈-1.282 f(2)≈4.389 f(1.5)≈0.982 f(1.25)≈-0.260 f(1.375)≈0.330 f(1.312 5)≈0.028 则该函数零点的近似值(精确度为0.01)可以是(　　) A.1.20 B.1.21 C.1.27 D.1.32 5.(2026·湖南岳阳模拟)若函数f(x)有唯一零点,且f(x+1)=x2-1+a(ex+e-x),则a= (　　) A.- B. C. D.1 6.已知函数f(x)=12-x-lg x在区间(n,n+1)上有唯一零点,则正整数n= (　　) A.8 B.9 C.10 D.11 7.(多选)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(　　) A.y=x(2x+2-x) B.y=log2x2 C.y=lg(1-x)+lg(1+x) D.y= 8.(多选)函数f(x)=-ln(x+1)的零点所在区间不可能是 (　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 9.设正实数a,b,c分别满足a·2a=b·log3b=c·log2c=1,则a,b,c的大小关系为　　　　　.  10.若函数f(x)=2x-+a在区间(1,2)上存在零点,则常数a的取值范围为　　　　.  [B组　能力提升练] 11.已知a,b,c分别是函数f(x)=ex-,g(x)=ln x-,h(x)=x2-的零点,则 (　　) A.c<a<b B.a<c<b C.c<b<a D.a<b<c 12.(多选)已知函数f(x)=ax-()x(a>0且a≠1),则下列结论正确的是 (　　) A.函数f(x)的图象过定点(0,1) B.函数f(x)在其定义域上有零点 C.函数f(x)是奇函数 D.当a=2时,函数f(x)在其定义域上单调递增 13.(2026·山西临汾模拟)已知a>0,函数f(x)=g(x)=ax-a.若函数F(x)=f(x)-g(x)有3个零点,则实数a的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ [A组　基础保分练] 1.下列函数的图象均与x轴有交点,其中不宜用二分法求函数零点的是 (　　) 答案:C 解析:由题意知,利用二分法求函数的零点时,该函数的零点必须是变号零点,所以根据这个条件可知,不宜用二分法求函数零点的是选项C. 2.函数f(x)=的零点个数为(　　) A.1个　　　　　　　　　　 B.2个 C.3个 D.4个 答案:C 解析:当x≤1时,令f(x)=0,即-x2-3x-2=0,解得x=-1或x=-2, 当x>1时,令f(x)=0,即2x-2-4=0,解得x=4. 综上可知,函数f(x)有3个零点. 3.(2026·湖北十堰模拟)函数f(x)=x+ln x-4的零点所在的区间是 (　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案:C 解析:函数f(x)=x+ln x-4的定义域为(0,+∞),因为f(x)在(0,+∞)上连续且为增函数. 且f(2)=-2+ln 2<0,f(3)=-1+ln 3>0,则f(2)·f(3)<0. 由零点存在定理可知,函数f(x)=x+ln x-4的零点所在的区间是(2,3). 4.某同学用二分法求函数f(x)=ex+x-5的零点时,用计算器算得部分函数值如下表所示: f(1)≈-1.282 f(2)≈4.389 f(1.5)≈0.982 f(1.25)≈-0.260 f(1.375)≈0.330 f(1.312 5)≈0.028 则该函数零点的近似值(精确度为0.01)可以是(　　) A.1.20 B.1.21 C.1.27 D.1.32 答案:C 解析:f(1.25)≈-0.260<0,f(1.312 5)≈0.028>0, 由零点存在定理得,在区间(1.25,1.312 5)内存在零点, 由于1.27∈(1.25,1.312 5),1.20,1.21,1.32∉(1.25,1.312 5), 故该函数零点的近似值(精确度为0.01)可以是1.27,其他选项不正确. 5.(2026·湖南岳阳模拟)若函数f(x)有唯一零点,且f(x+1)=x2-1+a(ex+e-x),则a= (　　) A.- B. C. D.1 答案:C 解析:由于f(x)有唯一的零点,所以f(x+1)也有唯一的零点, 由于y=x2-1,y=a(ex+e-x)均为偶函数,所以g(x)=f(x+1)也为偶函数, 因此g(0)=f(1)=-1+2a=0,故a=. 6.已知函数f(x)=12-x-lg x在区间(n,n+1)上有唯一零点,则正整数n= (　　) A.8 B.9 C.10 D.11 答案:C 解析:函数f(x)=12-x-lg x的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上是减函数. ∵f(11)=12-11-lg 11=1-lg 11<0,f(10)=12-10-lg 10=1>0, ∴f(11)f(10)<0, 根据零点存在定理及其单调性,可得函数f(x)的唯一零点所在区间为(10,11), ∴n=10. 7.(多选)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(　　) A.y=x(2x+2-x) B.y=log2x2 C.y=lg(1-x)+lg(1+x) D.y= 答案:BC 解析:对于A,由y=f(x)=x(2x+2-x)得f(1)=≠-=f(-1),故y=x(2x+2-x)不是偶函数,故A错误. 对于B,由x2>0,解得x≠0,所以y=g(x)=log2x2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 又g(-x)=log2(-x)2=log2x2=g(x),所以y=log2x2是偶函数. 而g(1)=log21=0,所以y=log2x2是偶函数又存在零点,故B正确. 对于C,由解得-1<x<1, 所以函数y=h(x)=lg(1-x)+lg(1+x)的定义域为(-1,1),关于原点对称. 又h(-x)=lg(1+x)+lg(1-x)=h(x),所以y=lg(1-x)+lg(1+x)是偶函数. 而lg(1-0)+lg(1+0)=0,所以y=lg(1-x)+lg(1+x)存在零点, 所以y=lg(1-x)+lg(1+x)是偶函数又存在零点,故C正确. 对于D,由x-1≠0,解得x≠1,所以y=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以y=不是偶函数,故D错误. 8.(多选)函数f(x)=-ln(x+1)的零点所在区间不可能是 (　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案:ACD 解析:由f(x)=-ln(x+1)可知函数的定义域为(-1,+∞),函数在定义域上单调递减. 对于A,因为f(0)=2>0,f(1)=1-ln 2>0,所以f(0)f(1)>0,故函数在区间(0,1)上无零点,故A符合题意; 对于B,因为f(1)=1-ln 2>0,f(2)=-ln 3<0,所以f(1)f(2)<0,故函数在区间(1,2)上有零点,故B不符合题意; 对于C,因为f(2)=-ln 3<0,f(3)=-ln 4<0,所以f(2)f(3)>0,故函数在区间(2,3)上无零点,故C符合题意; 对于D,因为f(3)=-ln 4<0,f(4)=-ln 5<0,所以f(3)f(4)>0,故函数在区间(3,4)上无零点,故D符合题意. 9.设正实数a,b,c分别满足a·2a=b·log3b=c·log2c=1,则a,b,c的大小关系为　　　　　.  答案:b>c>a 解析:由已知可得=2a,=log3b,=log2c, 作出y=,y=2x,y=log3x,y=log2x的图象如图所示, 则y=2x,y=log3x,y=log2x的图象与y=的图象的交点的横坐标分别为a,b,c, 由图象可得b>c>a. 10.若函数f(x)=2x-+a在区间(1,2)上存在零点,则常数a的取值范围为　　　　.  答案:(-,-1) 解析:因为y=2x,y=-在(1,2)上均为增函数, 所以函数f(x)=2x-+a在区间(1,2)上为增函数,且函数图象连续不间断, 若f(x)在区间(1,2)上存在零点, 则 解得-<a<-1. 故常数a的取值范围为(-,-1). [B组　能力提升练] 11.已知a,b,c分别是函数f(x)=ex-,g(x)=ln x-,h(x)=x2-的零点,则 (　　) A.c<a<b B.a<c<b C.c<b<a D.a<b<c 答案:B 解析:令f(x)=ex-=0,g(x)=ln x-=0,h(x)=x2-=0, 得ex=,ln x=,x=1=c, 在同一平面直角坐标系中作出函数y=ex,y=,y=ln x的图象, 如图所示. 由图象知,a<1<b,即a<c<b. 12.(多选)已知函数f(x)=ax-()x(a>0且a≠1),则下列结论正确的是 (　　) A.函数f(x)的图象过定点(0,1) B.函数f(x)在其定义域上有零点 C.函数f(x)是奇函数 D.当a=2时,函数f(x)在其定义域上单调递增 答案:BCD 解析:对于A选项,因为f(0)=a0-()0=0,故函数f(x)的图象过定点(0,0),A错误; 对于B选项,因为f(x)=ax-()x的定义域为R,且f(0)=0, 故函数f(x)在其定义域上有零点,B正确; 对于C选项,因为f(x)=ax-a-x,该函数的定义域为R, 且f(-x)=a-x-ax=-f(x),即函数f(x)是奇函数,C正确; 对于D选项,当a=2时,f(x)=2x-()x, 因为函数y=2x,y=-()x均为R上的增函数, 所以函数f(x)=2x-()x在R上为增函数,D正确. 13.(2026·山西临汾模拟)已知a>0,函数f(x)=g(x)=ax-a.若函数F(x)=f(x)-g(x)有3个零点,则实数a的取值范围是　　　　.  答案:(0,) 解析:因为函数F(x)=f(x)-g(x)有3个零点,即方程f(x)-g(x)=0有3个解, 当x>0时,方程为=ax-a,即1=ax2-ax,即ax2-ax-1=0. 因为a>0,所以Δ=(-a)2+4a>0,所以方程有2个不相等的实数根.又<0, 所以ax2-ax-1=0有1个正根与1个负根. 又x>0,所以F(x)=f(x)-g(x)有一正的零点. 当x≤0时,方程为ax2+x=ax-a,即ax2+(1-a)x+a=0. 因为函数F(x)=f(x)-g(x)有3个零点,所以方程ax2+(1-a)x+a=0有2个非正根, 所以 解得-1<a<. 又a>0,所以0<a<, 所以实数a的取值范围是(0,). 学科网（北京）股份有限公司 $